Большая теорема Ферма.Маленькое доказательство

Валерий2 · 28/11/06 106

Большая теорема Ферма. Элементарное доказательство.
«Большая теорема Ферма» утверждает, что не существует отличных от нуля целых чисел x,y,z , для которых
$x^n + y^n = z^n$ (1)
где n простое $\ge 3$ .
Для того, чтобы доказать, что уравнение (1) неразрешимо в целых числах, достаточно привести к противоречию предположение о существовании решения (x,y,z), состоящего из попарно взаимно простых чисел.

x , y , z – попарно взаимно простые числа. (2)
Для них найдётся такое k, что
$x + y = z + k$ (3)
Возведём обе части равенства (3) в пятую степень:
$x^5 + 5x^4 y + 10x^3 y^2 + 10x^2 y^3 + 5xy^4 + y^5 = z^5 + 5z^4 k + 10z^3 k^2 + 10z^2 k^3 + 5zk^4 + k^5$ (4)
$x^5 + y^5 = z^5 + k^5 + 5z^4 k + 10z^3 k^2 + 10z^2 k^3 + 5zk^4 - 5x^4 y - 10x^3 y^2 - 10x^2 y^3 - 5xy^4$ (5)
$x^5 + y^5 = z^5 + k^5 - (x + y)(5x^3 y + 5x^2 y^2 + 5xy^3 ) + (z + k)(5z^3 k + 5z^2 k^2 + 5zk^3 )$ (6)
Рассмотрим случай, когда $n = 5$ в равенстве (1):
$x^5 + y^5 = z^5$ , (7)
значит, с учётом (3), $k^5$ делится на $(z + k)$ , т.е. z и k имеют общий делитель.
Обозначим его q.
Вернёмся к уравнению (6).
В правой части все слагаемые делятся на q :
$x^5 + y^5 = z^5 + k^5 - qA$ (8)
Т.к. выражение (7) верно для $n = 5$ , то оно верно и для любого показателя $tn$ ,
кратного n, в частности , $tn = 10$ :
$x^{10} + y^{10} = z^{10}$ , (9)
т.к. $(x^2 )^5 + (y^2 )^5 = (z^2 )^5$
Возведём обе части уравнения (8) в квадрат:
$x^{10} + y^{10} + 2x^5 y^5 = z^{10} + k^{10} + 2z^5 k^5 - 2k^5 qA + q^2 A^2 - 2z^5 qA$ (10)
Видим, что при выполнении условия (9) , в правой части уравнения (10) все слагаемые
делятся на q, а в левой остаётся $2x^5 y^5$ , который по условию (2) не делится на q.
Таким образом, уравнение (9) не выполняется для попарно взаимно простых x,y,z ,
откуда следует, что и при $n = 5$ большая теорема Ферма верна.
Рассуждения, приведённые выше, справедливы для любого простого $n \ge 3$ .
Таким образом, большая теорема Ферма доказана.
Справедливость теоремы для $n = 4$ вытекает из того, что при $t = 4$ уравнение
$x^{20} + y^{20} = z^{20}$ , $\left[ {(x^5 )^4 + (y^5 )^4 = (z^5 )^4 } \right]$
не может быть выполнено для тройки взаимно простых x,y,z.

P.S. Интересен случай $n = 2$ .
Возведём обе части уравнения (3) в квадрат:
$x^2 + 2xy + y^2 = z^2 + 2zk + k^2$
$x^2 + y^2 = z^2 + k^2 + 2zk - 2xy = z^2 + k^2 - 2(xy - zk) = z^2 + k^2 - 2(x - k)(y - k)$ .
И при $x^2 + y^2 = z^2$ k не имеет общего делителя с z .
Но это так, к слову.

PAV · 29/07/05 8248 Москва

Неверен переход от (7) к (9).

Если бы Ваше рассуждение было верно, то поскольку равенство (1) выполняется для $n=2$ , то отсюда следовала бы справедливость его и для всех показателей $tn$ , т.е. для всех четных.

Добавлено спустя 7 минут 22 секунды:

Верен был бы переход от (9) к (7), но не в том смысле, в котором Вы используете. Если бы уравнение (9) имело решения, то и уравнение (7) имело бы решение. Но это было бы какое-то другое решение, другие числа. Все рассуждения, которые можно вывести для заданной тройки $(x,y,z)$ , для которой верно (9), нельзя переносить механически на тройку, для которой верно (7).

e2e4 · 21/03/06 1545 Москва

Цитата:

...значит, с учётом (3), $k^5$ делится на $z+k$ , т.е. z и k имеют общий делитель.

Это откуда следует?

Валерий2 · 28/11/06 106

Во-первых, $n \ge 3$ и простое.Если для любого такого n Вы найдёте тройку взаимно простых x,y,z, то тогда все чётные степени,кратные n, будут удовлетворять равенству (1).
Во-вторых, суть доказательства и состоит в том, что только при $n \ge 3$ z и k имеют общий делитель, что приводит к невозможности взаимной простоты x,y,z. (Посмотрите, пожалуйста, P.S.).
В-третьих, в (9) обозначьте $x^2$ через $x_1$ , $y^2$ через $y_1$ , $z^2$ через $z_1$ и повторите рассуждения.
В-четвёртых,тройка взаимно простых чисел остаётся таковой вне зависимости от степени

PAV · 29/07/05 8248 Москва

Еще раз повторяю, из (7) не следует (9), ни для этих чисел, ни для каких других.

Someone · 23/07/05 17973 Москва

Валерий2 писал(а):

Рассмотрим случай, когда $n = 5$ в равенстве (1):
$x^5 + y^5 = z^5$ , (7)
...
Т.к. выражение (7) верно для $n = 5$ , то оно верно и для любого показателя $tn$ , кратного n, в частности , $tn = 10$ :
$x^{10} + y^{10} = z^{10}$ , (9)

Это с какой же стати?

Валерий2 · 28/11/06 106

В уравнении (9) $x^2$ , $y^2$ , $z^2$ - целочисленное решение уравнения (7), причём состоящее из взаимно простых чисел

PAV · 29/07/05 8248 Москва

Вы изначально исходите из того, что $(x,y,z)$ - решение (7). Некоторое конкретное. В этом же месте Вы дополнительно требуете еще, чтобы $(x^2,y^2,z^2)$ также было решением (7). А с чего оно должно существовать? Даже если допустить, что решение такого вида (состоящее из квадратов) существует (что вовсе не обязано выполняться) - пусть $(a^2,b^2,c^2)$ , то тогда совершенно необязательно, что тройка $(a,b,c)$ является решением, а тогда неверны все промежуточные формулы.

bot · 21/12/05 5908 Новосибирск

Трагикомическое в этой ситуации то, что из (7) следует (9).
Это просто потому, что (7) ложно, а из ложного утверждения выводится всё, что угодно. Однако ложность посылки ведь Вами ещё не доказана, а потому и принимать истинность импликации на веру Вы не можете.
В полемике с ферматистами в таких случаях (много раз сталкивался) у них есть несомненный козырь - не можем мы контрпример привести, а коль скоро опровергнуть сию имликацию мы не можем, то это служит ферматистом аргументом в свою пользу.
Вместе с тем, ровно как и здесь, используется не декларируемая импликация, а более общая, опровергнуть которую ничего не стоит.
В данном случае говорится:

Цитата:

Т.к. выражение (7) верно для $n=5$ , то оно верно и для любого показателя $tn$ ,
кратного n, в частности $tn=10$

Ну где, скажите, у Вас используется, что $n=5$ ?
Фактически Вы говорите о том, что импликация $x^n+y^n=z^n \rightarrow x^{tn}+y^{tn}=z^{tn}$ справедлива при любых n и t, а потом применяете это для частного случая n=5, t=2.
Последуем Вашему примеру и возьмём n=1, t=2.
Что получим? Дословно Ваше:

Цитата:

Т.к. выражение (7) верно для $n=1$ , то оно верно и для любого показателя $tn$ ,
кратного n, в частности $tn=2$ :
$x^2+y^2=z^2$ ,
т.к. $(x^2)^1 + (y^2)^1=(z^2)^1$

Надеюсь, Вы сумеете теперь из двух полученных утверждений $x+y=z$ и $x^2+y^2=z^2$ вывести, что $xy=0$ ? А что это будет означать? Разве оно не получено с Вашей помощью из одного лишь равенства $x+y=z$ ?
Будь это так, то берём произвольные, x, y, z (к примеру, x=1, y=2, z=1+2=3) и получаем, что по меньшей мере одно из x, y равно нулю.

Someone · 23/07/05 17973 Москва

Валерий2 писал(а):

В уравнении (9) $x^2$ , $y^2$ , $z^2$ - целочисленное решение уравнения (7), причём состоящее из взаимно простых чисел

Первоначально $x,y,z$ - решение уравнения $x^5+y^5=z^5$ . С какой стати $x^2, y^2, z^2$ тоже будет решением этого уравнения?

Валерий2 · 28/11/06 106

Уважаемый Semeone, посмотрите, пожалуйста, ответ в 17:44:50.
Этот же ответ адресую тем, кто задаёт вопрос по поводу $tn$ .
Уважаемый bot,
во-первых, Вы невнимательны к сообщению 17:07:37;
во-вторых, Вы передёргиваете, когда ведёте рассуждения, исходя из уравнения $x + y = z$ : все мои рассуждения ведутся из уравнения $x + y = z + k$ обычным возведением обеих частей в степень;
в-третьих, внимательно прочитайте мои ответы другим участникам;
и в-четвёртых, просьба вести себя на форуме покорректней.

Уважаемые участники форума, Вы повторяете одни и те же вопросы, не читая ответы другим участникам.
Предлагаю Вам следующий алгоритм рассуждений:
1. возведите обе части уравнения (3) в 10 степень;
2. предположите, что $x^{10} + y^{10} = z^{10}$ ;
3. представьте $x^{10} = (x^2 )^5$ , $y^{10} = (y^2 )^5$ , $z^{10} = (z^2 )^5$ ;
4. обозначьте $(x^2 )$ через $x_1$ , $y^2$ через $y_1$ , $z^2$ через $z_1$ и далее все рассуждения, начиная с (3).
И ещё. Ответы на все Ваши вопросы Вы можете посмотреть в книге М.М.Постникова "Введение в теорию алгебраических чисел" Москва "Наука" 1982.
(смотрите §1).

PAV · 29/07/05 8248 Москва

Мы все читаем Ваши ответы, а вот Вы не думаете над нашими вопросами. Ваша ошибка совершенно банальна.
Вы не можете одновременно требовать выполнения (7) и (9) для одних и тех же чисел (x,y,z). Или одно, или другое. Ибо в противном случае (7) возводится в квадрат, из него вычитается (9) и мы получаем, что произведение $x^5y^5$ равно нулю.

Валерий2 · 28/11/06 106

Уважаемый PAV, посмотрите, пожалуйста, сообщение 17:44:50

PAV · 29/07/05 8248 Москва

Посмотрел. Не единожды. Ответьте на вопрос. Вы предполагаете одновременно (7) и (9) для одних и тех же $(x,y,z)$ ? Да или нет? Только одно слово, без лишних пояснений.

Валерий2 · 28/11/06 106

(7) имеет целочисленное решение $x^2$ , $y^2$ , $z^2$

Научный форум dxdy

Правила форума

Большая теорема Ферма.Маленькое доказательство

Кто сейчас на конференции