Большая теорема Ферма. Элементарное доказательство.
«Большая теорема Ферма» утверждает, что не существует отличных от нуля целых чисел x,y,z , для которых
![\[
x^n + y^n = z^n
\] \[
x^n + y^n = z^n
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/8/618d457755432a1370f117494e357c6482.png)
(1)
где n простое
![\[
\ge 3
\] \[
\ge 3
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/7/09788df277ff04a59e56000e2e70922f82.png)
.
Для того, чтобы доказать, что уравнение (1) неразрешимо в целых числах, достаточно привести к противоречию предположение о существовании решения (x,y,z), состоящего из попарно взаимно простых чисел.
x , y , z – попарно взаимно простые числа. (2)
Для них найдётся такое k, что
![\[
x + y = z + k
\] \[
x + y = z + k
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/a/5bac29ce92963ed73357026dc35a922c82.png)
(3)
Возведём обе части равенства (3) в пятую степень:
![\[
x^5 + 5x^4 y + 10x^3 y^2 + 10x^2 y^3 + 5xy^4 + y^5 = z^5 + 5z^4 k + 10z^3 k^2 + 10z^2 k^3 + 5zk^4 + k^5
\] \[
x^5 + 5x^4 y + 10x^3 y^2 + 10x^2 y^3 + 5xy^4 + y^5 = z^5 + 5z^4 k + 10z^3 k^2 + 10z^2 k^3 + 5zk^4 + k^5
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/4/344dea5656c0a446b9d536847f51a60882.png)
(4)
![\[
x^5 + y^5 = z^5 + k^5 + 5z^4 k + 10z^3 k^2 + 10z^2 k^3 + 5zk^4 - 5x^4 y - 10x^3 y^2 - 10x^2 y^3 - 5xy^4
\] \[
x^5 + y^5 = z^5 + k^5 + 5z^4 k + 10z^3 k^2 + 10z^2 k^3 + 5zk^4 - 5x^4 y - 10x^3 y^2 - 10x^2 y^3 - 5xy^4
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/a/20a0160912d351763abe38528ac099c182.png)
(5)
![\[
x^5 + y^5 = z^5 + k^5 - (x + y)(5x^3 y + 5x^2 y^2 + 5xy^3 ) + (z + k)(5z^3 k + 5z^2 k^2 + 5zk^3 )
\] \[
x^5 + y^5 = z^5 + k^5 - (x + y)(5x^3 y + 5x^2 y^2 + 5xy^3 ) + (z + k)(5z^3 k + 5z^2 k^2 + 5zk^3 )
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/1/5512538dc5b143267481ff8dbda884ad82.png)
(6)
Рассмотрим случай, когда
![\[
n = 5
\] \[
n = 5
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/8/bc8c55e61b25cdff3fe9200761c885a482.png)
в равенстве (1):
![\[
x^5 + y^5 = z^5
\] \[
x^5 + y^5 = z^5
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/5/6e53f1ceac89447448bdb78b5644839282.png)
, (7)
значит, с учётом (3),
![\[
k^5
\] \[
k^5
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/e/fae7086e0b4be7de534e1b928cc1dcac82.png)
делится на
![\[
(z + k)
\] \[
(z + k)
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/1/381dcfbc6cb22c8cf14bf05d1740d57582.png)
, т.е. z и k имеют общий делитель.
Обозначим его q.
Вернёмся к уравнению (6).
В правой части все слагаемые делятся на q :
![\[
x^5 + y^5 = z^5 + k^5 - qA
\] \[
x^5 + y^5 = z^5 + k^5 - qA
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/3/b43da4ab44b46856067acc51adef239482.png)
(8)
Т.к. выражение (7) верно для
![\[
n = 5
\] \[
n = 5
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/8/bc8c55e61b25cdff3fe9200761c885a482.png)
, то оно верно и для любого показателя
![\[
tn
\] \[
tn
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/1/6a1b4c35ef16cd919484bf735f2474e282.png)
,
кратного n, в частности ,
![\[
tn = 10
\] \[
tn = 10
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/0/840ae7fc3b29cb54f23c011b530c04f982.png)
:
![\[
x^{10} + y^{10} = z^{10}
\] \[
x^{10} + y^{10} = z^{10}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/4/da4ecdc90244312baebc0c8ec98dba1982.png)
, (9)
т.к.
Возведём обе части уравнения (8) в квадрат:
![\[
x^{10} + y^{10} + 2x^5 y^5 = z^{10} + k^{10} + 2z^5 k^5 - 2k^5 qA + q^2 A^2 - 2z^5 qA
\] \[
x^{10} + y^{10} + 2x^5 y^5 = z^{10} + k^{10} + 2z^5 k^5 - 2k^5 qA + q^2 A^2 - 2z^5 qA
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/7/05720b33f1773e8bf4d6c5f767adfe6382.png)
(10)
Видим, что при выполнении условия (9) , в правой части уравнения (10) все слагаемые
делятся на q, а в левой остаётся
![\[
2x^5 y^5
\] \[
2x^5 y^5
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/2/4e2473a6b21560a0f4845188c452329082.png)
, который по условию (2) не делится на q.
Таким образом, уравнение (9) не выполняется для попарно взаимно простых x,y,z ,
откуда следует, что и при
![\[
n = 5
\] \[
n = 5
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/8/bc8c55e61b25cdff3fe9200761c885a482.png)
большая теорема Ферма верна.
Рассуждения, приведённые выше, справедливы для любого простого
![\[
n \ge 3
\] \[
n \ge 3
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/6/be6f502e53e0e4ddd03c3f45f97cb12982.png)
.
Таким образом, большая теорема Ферма доказана.
Справедливость теоремы для
![\[
n = 4
\] \[
n = 4
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/0/600b8a7343236f2f41945f81246216a482.png)
вытекает из того, что при
![\[
t = 4
\] \[
t = 4
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/a/bbab96174dd92d45a3a52acae8f2dc2a82.png)
уравнение
![\[
x^{20} + y^{20} = z^{20}
\] \[
x^{20} + y^{20} = z^{20}
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/0/bc0001a68f38abff1876a563ae598ce182.png)
,
не может быть выполнено для тройки взаимно простых x,y,z.
P.S. Интересен случай
![\[
n = 2
\] \[
n = 2
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/2/902a60545bc92cd184670f823d83792e82.png)
.
Возведём обе части уравнения (3) в квадрат:
![\[
x^2 + y^2 = z^2 + k^2 + 2zk - 2xy = z^2 + k^2 - 2(xy - zk) = z^2 + k^2 - 2(x - k)(y - k)
\] \[
x^2 + y^2 = z^2 + k^2 + 2zk - 2xy = z^2 + k^2 - 2(xy - zk) = z^2 + k^2 - 2(x - k)(y - k)
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/c/e/9ce62eba5ddc81a9d1cdb324604c5f4e82.png)
.
И при
![\[
x^2 + y^2 = z^2
\] \[
x^2 + y^2 = z^2
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/a/dda997c4cb0428ec6cfb65adcc44ffc682.png)
k не имеет общего делителя с z .
Но это так, к слову.