Доказательство БТФ

[Someone]

Я внимательней посмотрел, что Вы делаете. Вы проверяете младшие разряды чисел и пытаетесь показать, что невозможно подобрать $a$, $b$, $c$ так, чтобы для младших разрядов выполнялось равенство. Так?

Если это так, то я могу Вам сказать, что уравнение $a^n+b^n=c^n$ имеет решения по любому модулю, откуда следует, в частности, что любое количество младших цифр всегда можно подобрать так, чтобы равенство для них выполнялось, поэтому Вы не правы.

Рекомендую также внимательно почитать тему Сорокина Виктора. Он делает то же самое (но там встречаются и другие идеи). Там же найдёте и численные примеры. Правда, тема страшно большая (43 страницы, 645 сообщений). Если Вы меня попросите найти в этой теме что-нибудь конкретное, боюсь, я буду в затруднении.

[Iosif1]

Someone писал(а):

Я внимательней посмотрел, что Вы делаете. Вы проверяете младшие разряды чисел и пытаетесь показать, что невозможно подобрать , так, чтобы для младших разрядов выполнялось равенство. Так?

Если это так, то я могу Вам сказать, что уравнение имеет решения по любому модулю, откуда следует, в частности, что любое количество младших цифр всегда можно подобрать так, чтобы равенство для них выполнялось, поэтому Вы не правы.

Так, и не совсем так .Действительно, уравнение
${a^n+b^n=C^n}$(1)
имеет решение по любому модулю (используемому до настоящего времени). Очень существенное уточнение. Но это если оценивать правую и левую части равенства 1 целиком.. В используемом доказательстве оценка степеней производится не целиком, а обособлено, по каждой из степеней, обеспечивающих $c^n$, как произведение. И, оказалось, что оценка степени $c_x^n$ посредством модуля, равного показателю рассматриваемой степен (а вернее $n$ - того счисления) позволяет уже по величине второго разряда установить, что ни каким подбором оснований $a$ и $b$ обеспечить второй символ (разряд) , соответствующий точной степени нельзя. Дело в том, что последовательность разрядов в степени при использовании $n$ - того счисления детерминирована, и первый разряд определяет второй. И именно для оценки второго разряда использование предлагаемого модуля оказывается эффективно.
Если бы Вы не только внимательно посмотрели, но и захотели бы оценить работу, с вашими энциклопедическими знаниями, это, по моему мнению, не составило бы труда. Я, конечно, не достоин, но БТФ заслужила хотя бы своим ожиданием.
Что касается темы Сорокина Виктора, я с ней уже знакомился по Вашей рекомендации, но там не все так, как в предлагаемой работе. И я даже просил его посмотреть мою работу, но просьба почему-то осталась без ответа. Мне хочется поотвечать на Ваши вопросы. Iosif1

[Someone]

Iosif1 писал(а):

Так, и не совсем так .Действительно, уравнение
${a^n+b^n=C^n}$(1)
имеет решение по любому модулю (используемому до настоящего времени). Очень существенное уточнение. Но это если оценивать правую и левую части равенства 1 целиком.. В используемом доказательстве оценка степеней производится не целиком, а обособлено, по каждой из степеней, обеспечивающих $c^n$, как произведение. И, оказалось, что оценка степени $c_x^n$ посредством модуля, равного показателю рассматриваемой степен (а вернее $n$ - того счисления) позволяет уже по величине второго разряда установить, что ни каким подбором оснований $a$ и $b$ обеспечить второй символ (разряд) , соответствующий точной степени нельзя.

Ну давайте возьмём численный пример, который я показывал Сорокину Виктору для $n=3$. Тамошние обозначения отличаются от Ваших, но легко понять, что $c_i=C$, $c_x=C_1$, $b_i=B$, $b_x=B_1$, $a_i=A$, $a_x=A_1$. Продемонстрируйте, как Ваши рассуждения показывают невозможность равенства $a^n+b^n=c^n$ в этом случае. Какое из необходимых соотношений не выполняется?

[Iosif1]

Someone писал(а):

Продемонстрируйте, как Ваши рассуждения показывают невозможность равенства в этом случае. Какое из необходимых соотношений не выполняется?

Если не возражаете, давайте в моих обозначениях.
Сорокин Виктор использует двоичное счисление, я счисление, равное рассматриваемому показателю степени. В троичном счислении при сравнении по модулю $n$могут иметь место три класса вычетов: 0, 1, 2.
Поэтому, если предположить, что сомножитель $n$ присутствует в равенстве: ${a^n+b^n=c^n}$ (1) в
основании $b$, мы должны подбирать тождественные основания $a$ и $c$ по $mod$ 3 (в общем случае $n$)
Заметим теперь, что разряды при возведении основания в степень выстраиваются в строгой последовательности (второй разряд диктуется первым, третий - двумя первыми, то-есть всей предшествующей последовательностью разрядов. (Если можно так сказать, продиктованной последовательностью разрядов) Поэтому второй разряд, следующий за первым, выбранным нами, уже является как бы известным априори, другим он быть не может. На основании выше сказанного, мы получаем возможность определять может или нет конкретное число рассматриваться как степень уже по величине второго разряда..
Вами приведено классическое доказательство того, что $F_c$ должно быть точной степенью. Поэтому я не останавливаюсь на рассмотрении этого.
Всего при рассмотрении третьей степени могут быть следующие последовательности трехразрядных разрядов: 001; 222; 000. (В третичном счислении)
Почему мы рассматриваем трехразрядную последовательность?
Нам же необходимо обеспечить такое значение $b^n$ , в котором наличиствует набор разрядов 000. (Если мы заложили в основание $b$ один сомножитель $n$..
И тут выясняется, что для того, чтобы это обеспечить, необходимо, чтобы основания $a$ и $b$ были тождественны по модулю $n^2$, то-есть имели в своем составе по два идентичных разряда. (А нам то казалось, что сравнение по модулю 3 достаточно). И после выяснения этого становится ясно, что нам не удается обеспечить второй разряд не только в $F_c$, но и в $D_c$: 01+01= 11(В третичном счислении). Полученная последовательность разрядов не зафиксирована в последовательностях разрядов, соответствующих степенным выражениеям. Iosif1

[Someone]

Iosif1 писал(а):

...

Извините, очень много слов, и ни одного по делу. Причём, впечатление такое, что Вы даже не посмотрели пример, на который указывает ссылка. Сорокин Виктор, точно так же, как и Вы, рассматривал запись чисел в $n$-ичной системе счисления. В частности, пример, который Вам следовало посмотреть, записан в троичной системе счисления.

Не отнимайте у меня время пустословием, я и так занят. Посмотрите указанный пример (щёлкните по слову, выделенному цветом) и скажите, как Ваше доказательство его отвергает.

[Jnrty]

Чтобы Iosif1 не отговаривался, что он не нашёл ссылку, копирую пример сюда. Это и другим читателям и участникам дискуссии будет удобно.

Someone писал(а):

Я Вам могу подкинуть примерчик для арифметических упражнений (индекс в записи чисел означает основание системы счисления):

Пусть $a=\dots 00110002002102110101_3$, $b=\dots 02020002112011222200_3$, $c=\dots 01220021101122010101_3$;
можно проверить, что $a^3+b^3\equiv c^3\pmod{3^{21}}$.

Обозначим $A=\dots 1020102021012020021_3$, $B=\dots 0102212000002221200_3$, $C=\dots 0012121002221111001_3$;
можно проверить, что $a+b\equiv C^3\pmod{3^{20}}$, $c-a\equiv\frac{B^3}{3}\pmod{3^{20}}$, $c-b\equiv A^3\pmod{3^{20}}$.

Вычисляем $\frac{a^3+b^3}{a+b}=\dots 10020211122110021001_3$, $\frac{c^3-a^3}{c-a}=\dots 02210011002202002010_3$, $\frac{c^3-b^3}{c-b}=\dots 11222222110211100101_3$.

Обозначим $A_1=\dots 0120011112011210111_3$, $B_1=\dots 0212000000001012021_3$, $C_1=\dots 0111122102100022101_3$;
можно проверить, что $\frac{a^3+b^3}{a+b}\equiv C_1^3\pmod{3^{20}}$, $\frac{c^3-a^3}{c-a}\equiv 3B_1^3\pmod{3^{20}}$, $\frac{c^3-b^3}{c-b}\equiv A_1^3\pmod{3^{20}}$.

Проверьте свои рассуждения конкретными вычислениями.

[Iosif1]

Someone писал(а):

Не отнимайте у меня время пустословием, я и так занят. Посмотрите указанный пример (щёлкните по слову, выделенному цветом) и скажите, как Ваше доказательство его отвергает.

Сажусь за изучение доказательства Сорокина Виктора более детально. Однако, я в его доказательстве при расчетах, что в моей работе является основополагающим, использование $n$ - того счисления не увидел, в противном случае, он бы не оставил вариант с одним из оснований, кратных $n$, без доказательства. Хотя все очень близко. Как только буду готов, незамедлительно отвечу. Iosif1

Добавлено спустя 5 минут 27 секунд:

Jnrty писал(а):

Проверьте свои рассуждения конкретными вычислениями.

Большое Вам спасибо за помощь. Iosif1

[Someone]

Iosif1 писал(а):

Сажусь за изучение доказательства Сорокина Виктора более детально.

Мне кажется, пока не стоит. Всё равно там ничего хорошего нет, хотя он теорию чисел получше Вас знает. Лучше примерьте своё доказательство к моему примеру.

Iosif1 писал(а):

Однако, я в его доказательстве при расчетах, что в моей работе является основополагающим, использование $n$ - того счисления не увидел

Использует, и очень существенно. У него всё на этом основано. Другое дело, что в его теме не одно доказательство обсуждается, а несколько разных.

[Iosif1]

Jnrty писал(а):

Чтобы Iosif1 не отговаривался, что он не нашёл ссылку, копирую пример сюда. Это и другим читателям и участникам дискуссии будет удобно.

Анализируя приведенный пример я обнаружил (все вычисления в тритичном счислении) несоответствие в величине $b^3$, полученных в первом случае как ${(B*B_1)^3}$, а во втором как ${c^3-a^3}$ на восьмом разряде. Дело в том, что ${{200}^3}$ $=$ не $02000000$, а $22000000$. На что, конечно, можно сказать, что можно подобрать числа более удачно. Тем более, что и я мог ошибиться в расчетах.
Дело в том, что такое представление аргументов (бессистемное) не обеспечивает наглядности. В то же время я хотел бы согласиться с Someone, что Сорокин Виктор на много лучше меня знает теорию чисел. Я претендую только на звание очень узкого специалиста этой теории. Однако, об этом не мне судить.
Отсутствие наглядности устраняется системным использованием $n$ -того счисления.
Системным использованием $n$ - того счисления мы именуем использование, не требующее поразрядных расчетов.
выбрав в приведенном примере $a$ и $c$ с одинаковым количеством одинаковых разрядов ( по пять), мы добиваемся того, что $b^n$ имеет шесть нулевых разрядов, что соответствует основанию $b$ с двумя нулевыми разрядами.
Такой же результат может быть достигнут, если основание $a$ и $c$ будут иметь по пять продиктованных разрядов. (называемых нами "штампом"). Этого можно добиться посредством умножения оснований на единый дополнительный сомножитель. Для основания 101 дополнительным сомножителем является сомножитель 201, обеспечивающий три первых разряда: 001.
Такое изображение оснований позволяет производить расчет "структурно".
При таком выражении аргументов мы не только заранее знаем следующий разряд, идущий за "штампом", а и набор следующих разрядов после штампа вколичестве, равном количеству разрядов, имеющихся в штампе основания. То-есть, последовательность разрядов, следующих за штампом основания, соответствует на упомянутую "глубину" (В рассматриваемом случае в количестве пяти). А при возведении основания $b$ в рассматриваемую степень нулевые разряды не влияют на последовательность разрядов, следующих за ними. Последовательность разрядов, следующих за нулевым "штампом" в степени, определяется "штампом", следующим за нулевым "штампом" основания. Поэтому несоответствие разрядов, в анализируемой степени при различной последовательности ее расчета становится очевидным. Жду новых вопросов в первую очередь от Someone. Очень бы хотелось услышать и Сорокина. Не могу понять, почему он сдался. Iosif1

[Someone]

Iosif1 писал(а):

Анализируя приведенный пример я обнаружил (все вычисления в тритичном счислении) несоответствие в величине $b^3$, полученных в первом случае как ${(B*B_1)^3}$, а во втором как ${c^3-a^3}$ на восьмом разряде. Дело в том, что ${{200}^3}$ $=$ не $02000000$, а $22000000$.

Не знаю, почему у Вас получилось неравенство. У меня система компьютерной математики Mathematica 4.1 даёт $b^3=\dots 102220201122222000000_3$, $c^3-a^3=\dots 102220201122222000000_3$, $(B\cdot B_1)^3=\dots 102220201122222000000_3$, то есть, все известные цифры совпадают.

Другое дело, что, например, $b=\dots 02020002112011222200_3$ и $B\cdot B_1=\dots 0200002112011222200_3$ различаются в семнадцатой цифре. Оставьте во всех числах по $16$ цифр, и всё, что нужно, будет совпадать, а $16$ цифр - это, как я понял, намного больше того, что требуется для Вашего доказательства. Заметьте, что $16$ цифр числа $b$ определяют $21$ цифру числа $b^3$, поэтому $4$ старшие цифры числа $b$ в моём примере, вообще говоря, случайные.

Так в каком месте в Вашем доказательстве возникнет противоречие, если применить его к этому примеру?

[Iosif1]

Someone писал(а):

Так в каком месте в Вашем доказательстве возникнет противоречие, если применить его к этому примеру?

На восьмом разряде. Но я повторяю, я могу ошибаться: я считаю вручную. И это, по- моему не существенно. Все равно необходимо доказать закономерность возникающего несоответствия, даже если я прав.
Если у Вас есть программа, позволяющая производить расчеты в третичном счислении, лучше осуществить проверку расчетов, производимых нами. Я понимаю, что я виду себя не корректно, но у меня в таблицах Эксель такой аппарат не получился, верно из-за моей некомпетентности.
В расчетах, производимых вручную мне помогала системное использование $n$ -того счисления. Закономерности, обнаруженные при возведении оснований в степень, выраженных в $n$ -том счислении, позволяет производить и обратное действие: извлечение корня $n$ -той степени. При этом мы знаем точно какие будут “штампы” основания и следующий за ним набор разрядов в количестве, равном количеству разрядов в «штампе» основания. Априори следующий разряд будет отличным от разряда, отображенного следующим в степени за перечисленным набором разрядов. (разряд р). Для того, чтобы владеть закономерностью изменения разряда р нами использовались расчеты, производимые с различным набором разрядом оснований, влияющих на его величину.
Далее мы действовали аналогично рассмотрению доказательства БТФ при единичном сомножителе $n$ в основании $b$.. Раз в этом случае обеспечивается наглядность несоответствия получаемой величины точной степени, это должно иметь место и при отличном наполнении основания сомножителями $n$.
И мы действовали аналогично, а именно: определяли $D_c$ и $F_c$ , извлекали из них корни, и определив величину $c$, а затем наполняемость $D_b$, как бы по кругу. (по нашему мнению, чем то напоминающее бесконечный спуск Пьера Ферма). Таким образом, показывая несостоятельность предположения, опровергающее утверждение БТФ. Для вариантов, когда «штамп», следующий за нулевым «штампом» в основании $b$ короче «штампа» основания $c$ на два символа расчеты не требуются. Уверенные в обязательности проверки проводимых расчетов математической общественностью, мы опубликовались без рассмотрения этих вариантов, чтобы не наплодить ляпсусов. К сожалению, я не владею математическим языком, что несомненно усложняет наше общение, но стараюсь по мере сил. Жду продолжение диалога. Iosif1

[Someone]

Iosif1 писал(а):

На восьмом разряде. Но я повторяю, я могу ошибаться: я считаю вручную. И это, по- моему не существенно.

Пересчитайте ещё раз, повнимательнее.

[PAV]

Iosif1
Есть просьба не использовать фраз типа "мы делали", "мы знаем" и тд, когда говорите о себе лично.
Здесь не математическая статья, а форум, и такие обороты выглядят странно и режут глаз.

[Iosif1]

Someone писал(а):

Пересчитайте ещё раз, повнимательнее.

Приведенный Вами пример может претендовать на попытку опровержения утверждения БТФ. Моя проверка, проведенная в ручном режиме, подтверждает точность сопоставляемых Вами разрядов.
Предлагаемое доказательство не конкретизирует разряда, априори не допускающего продолжение тождественности разрядов сравниваемых величин при подборе какого то основания. Этот опыт может продолжаться и продолжаться. Да я думаю, что я ничего нового Вам не открыл. Проверкой является сопоставление такого подобранного равенства посредством рассмотрения степеней, составляющих его как произведений . Для этого, на основании подобранных оснований $a$и $b$ определяем $D_c$ и $F_c$ для того, чтобы найти корни этих величин, при условии, что они являются точными степенями. Для чего необходимо иметь таблицу, содержащую все варианты степеней с рассматриваемым количеством разрядов. и оснований, им соответствующих. Найдя методом подбора основания, соответствующие $D_c$ и $F_c$, после перемножения последних сопоставляем разряды выбранного основания $c$ и полученного в результате описанной проверки.
Я детально не останавливался на рассмотрении данной закономерности. Произведя расчеты выборочно, что убедило меня в истинности того, что расхождения наличиствуют. Но трудоемкость составления выше описанных таблиц, а вернее невозможность составления их мною, позволило искать оценку рассматриваемому варианту доказательства. Тем более, что я не знал о том, что попытка доказательства БТФ с использованием такого рода счислений уже существует. Зная это, я бы вступил в дискуссию по этому варианту, что, конечно, было бы логичнее. Если Вы считаете, что для завершения доказательства БТФ рассмотрение закономерностей существующих несоответствий, или потверждение их наличия необходимо, я попробую продолжить создание аппарата, позволяющего производить расчеты в $n$-том счислении с использованием таблиц Эксель. Я надеялся на помощь со стороны при проведении этих расчетов, если уж они нужны. Но только Вы стали говорить со мной предметно. За что Вам большое спасибо! Мой тон на форуме, как я понял, не всегда приветствуется. Если я выражаюсь как то не так, я не специально, это от отсутствия соответствующей практики. Если Вы предлагаете делать дополнительные расчеты, тогда параллельно я предлагаю Вам рассмотреть другие варианты доказательства БТФ, по моему мнению, вполне убедительные. При этом с наличием расчетов , их подтверждающих. С уважением Iosif1

P.S.31 января 2007
Вдогонку. Пока не дождавшись согласия.
Следует сказать, что несоответствие обнаруживается часто уже на этапе рассмотрения выражений $D_c$ и $F_c$, на основании сопоставления последовательности разрядов этих величин с последовательностью разрядов, имеющих место в точных степенях. Но, может иметь место вариант, когда $D_c$ является точной степенью. Например, если в качестве основания $a$ использовать произведение $17*7$, что вполне соответствует требованию, предъявляемому к этому основанию, ввиду того, что обеспечивается получение двух взаимно простых точных степеней в выражении ${a^3}$, и $b$, равное ${2*3$, то $D_c=125=5^3}$ . Правда $F_c$, в этом случае не является точной степенью.!
При единичном сомножителе $n$ представленное выше доказательство успешно справляется с тем, что опровержение утверждения БТФ невозможно. При этом выстраивается закономерность, подтверждающая истинность такого утверждения. А при большем количестве таких сомножителей в основании приходиться каждый раз подтверждать справедливость этого утверждения для конкретного варианта. Формализовать закономерность для этого случая мне не удалось. Поэтому используется второй вариант доказательства.
Во втором варианте доказательства БТФ я, как и в первом варианте, оцениваю классы вычетов величин $F_a$, $F_b$, $F_c$, но уже не посредством штампов, а посредством сравнения по различным модулям.
Если сравнивать точные $n$ - тые степени по различным модулям, представленными простыми числами, можно заметить, что степени не всегда принадлежат ко всем классам вычетов по данному модулю, то-есть числа не всех классов вычетов по данному модулю могут быть $n$ - тыми степенями.
Такие модули именуются контрольными.
Например, кубы при сравнении по ${mod 7}$ принадлежат всего к трем классам вычетов из возможных семи. То-есть, числа не из всех классов вычетов по данному модулю могут быть точными кубами. Подобные закономерности имеют место и при рассмотрении других степеней. Например, при ${n=5}$ контрольным модулем является ${mod 11}$ . При этом количество таких контрольных модулей бесконечно, как и простых чисел. На основании проведенного анализа удалось выявить закономерность, что модуль $M$, представленный простым числом, является контрольным для степени:

${N=(M-1)/2}$

Также он является контрольным для и для степеней, являющихся сомножителями произведения ${M-1}$.
Используя эту закономерность, удалось показать, что одновременно величины $D_c$ и $F_c$ могут быть предположительно точными степенями, если сомножитель, равный используемому модулю принадлежит какой-то рассматриваемой величине, входящей в рассматриваемые степенные выражения, составляющие анализируемое равенство.
То-есть не только сомножители $n$, но и все сомножители, равные контрольным модулям должны быть задействованы при конструировании равенства, способного опровергнуть утверждение БТФ. А так как их бесчисленное множество, это конечно невозможно.
Доказательство построено на рассмотрении вариантов, когда величина $D_c$ обязательно точная степень. Задаваясь при этом определенной величиной $a$, на основании чисел натурального числового ряда мы сопоставляем величины ${c^3}$ и $F_c$ по рассматриваемому модулю. При рассмотрении имеющейся закономерностии оказывается достаточным рассмотрение по каждому конкретному $a$ количество расчетов, равное величине используемого модуля. То-есть выстраивается закономерность, которую можно формализовать. Получаемая тенденция при использовании чисел натурального числового ряда в качестве основания величины $D_c$ тоже циклична, и поэтому достаточно рассмотрение одного набора (блока) чисел в количестве равном величине используемого модуля.

[Iosif1]

Someone писал(а):

Посмотрите указанный пример (щёлкните по слову, выделенному цветом) и скажите, как Ваше доказательство его отвергает.

Уважаемый Someone.
Я не знаю, ожидаете ли Вы ответа, но будучи заинтересованным лицом надеюсь на это.
Вы выбрали достаточно трудуемкий вариант для расчета, чтобы оставить сомнение в невозможности доказательства БТФ. Теперь, после рассмотрения контрольных модулей можно рассмотреть и вариант, когда основание $b$содержит два сомножителя $n$ (${n^2}$). Как я уже упоминал, мною не рассматривался такой вариант досконально. Но наличие несоответствий величины ${c^3}$, полученной как произведение величины $D_c$ на $F_c$ и как точной степени определялось. Привожу один из вариантов..
Для доказательства такого варианта достаточно рассмотреть равенство 1, выраженное в девятиричном счислении. Это обеспечивает большую компактность расчетов. Однако, по моему мнению, принципиального значения это не имеет.
Предположим, что ${a=487_{10}=601_9}$ ; (или ${..1301_9}$)
А начальное значение ${b=396_{10}=480_9}$ ; (или ${…2420_9}$)
В опыте нас интересуют только первые четыре разряда.
В этих вариантах обеспечивается тождественность первых трех разрядов сопоставимых величин. В первом случае:
${D_c*F_c=8001_9} $
${a^3=2001_9} $
а во втором случае:
${D_c*F_c=8001_9} $
${a^3=4001_9} $
Мне не удалось научить таблицы Эксель осуществлять перемножение в девятиричном счислении. Но с переводом десятичного в девятиричное мне удается легко справляться.
Подбор оснований осуществляется посредством перебора основания $a$ для выбранного основания $b$, отвечающих требованиям предполагаемого равенства. В данном случае для каждого нового расчета производилось увеличение основания $a$ на 18.
После нахождения расчета, дающего совпадение первых трех разрядов, производился поиск полученной величины ${c^3}$ в наборе точных степеней.
Ответ был всегда отрицательный. Конечно, такой опыт не может претендовать на окончательную достоверность, и поэтому нами были найдены другие варианты доказательства справедливости БТФ. Не знаю удовлетворил ли Вас мой ответ. Если бы у меня получался расчет в девятиричном или троичном счислениях, я бы с удовольствием рассмотрел и пример, приведенный Вами. Iosif1