Диофантово уравнение x^2-y^2=N

[Побережный Александр]

Уважаемые софорумники!
Решил диофантово уравнение $x^2-y^2=N$, где $N$ - натуральное число.
Подскажите, кто решал такое уравнение? Хочу сверить свои результаты.

[nnosipov]

Побережный Александр в сообщении #508034 писал(а):

Подскажите, кто решал такое уравнение?

Пьер Ферма.

[Побережный Александр]

Не подскажете как его решение выглядит?

[shwedka]

Побережный Александр в сообщении #508034 писал(а):

Уважаемые софорумники!
Решил диофантово уравнение $x^2-y^2=N$, где $N$ - натуральное число.
Подскажите, кто решал такое уравнение? Хочу сверить свои результаты.

Я думаю, еще пифагорейцы. Более двух тысяч лет назад.

[Побережный Александр]

Меня не интересуют общие фразы, меня интересует решение. Решение теоремы Пифагора известно, а аналогичное для этого уравнения имеется?

[shwedka]

Побережный Александр в сообщении #508060 писал(а):

Решение теоремы Пифагора известно

У теоремы Пифагора решения нет.
А у Вашего уравнения решение есть всегда, кроме целых чисел, дающих остаток 2 при делении на 4, четверки и единицы.

[Побережный Александр]

Я, видимо, что-то не понимаю. Почему вы утверждаете, что теорема Пифагора не имеет решений?

[Someone]

Потому что словосочетание "решение теоремы" бессмысленно.

[shwedka]

Побережный Александр в сообщении #508070 писал(а):

Я, видимо, что-то не понимаю. Почему вы утверждаете, что теорема Пифагора не имеет решений?

Я сражаюсь с Вашим косноязычием. Теорему Пифагора нельзя решить. Никакую теорему нельзя решить. Теорему можно доказать. А решить можно уравнение.

[Nilenbert]

Эта задача точно есть у Диофанта, книга 2, задача 10: "Найти два квадратных числа с заданной разностью". Можете посмотреть в книжке Арифметика и книга о многоугольных числах., страница 65.

[shwedka]

Nilenbert в сообщении #508208 писал(а):

Эта задача точно есть у Диофанта, книга 2, задача 10: "Найти два квадратных числа с заданной разностью". Можете посмотреть в книжке Арифметика и книга о многоугольных числах., страница 65.

Не совсем так. Диофант решал уравнения в рациональных числах.
Решение для целых чисел можно посмотреть, например, в книжке В. Серпинского, О Решении Уравнений в Целых Числах, стр. 18.

[Апис]

shwedka в сообщении #508215 писал(а):

Решение для целых чисел можно посмотреть, например, в книжке В. Серпинского, О Решении Уравнений в Целых Числах, стр. 18.

Спасибо за ссылку, а теперь вывод из первой части моего сообщения на этом форуме "Техническая задача, теорема Ферма" Может он пригодиться автору этой темы Александру Побережному. Тема чужая и что бы не забивать её покажу сразу вывод:
Количество числовых значений (d) удовлетворяющих формулам (все решения в целых числах)
$\[\frac{{{y^2}}}{{{d^2}}} = c\]$
$\[{\frac{{{y^2}}}{d} = c}\]$
В дальнейшем любое целое число будем обозначать буквой (C)
Так как нас интересует вид числа, а не его величина, равно количеству решений уравнения, $\[{x^2} + {y^2} = {z^2}\]$ в целых числах.
при (y) - фиксированное целое число.

[Побережный Александр]

Здравствуйте, прошу простить меня за косноязычие. Посмотрел предложенную литературу и не нашел похожих с моими результатов. Подскажите, мои результаты можно считать решениями обсуждаемого диофантового уравнения?

Постановка задачи: решить $x^2-y^2=N$, где $N$ фиксированное натуральное число.

Решение: $x=\frac{N+k^2}{2k}$, $y=\frac{N-k^2}{2k}$, здесь $k$ натуральное число.

[Xaositect]

Решениями диофанова уравнения считать нельзя, т.к. они, вообще говоря, не целые. Надо дополнительно ограничить $k$.

[nnosipov]

А он его решал в рациональных числах, как Диофант. Найти рациональную параметризацию кривой второго порядка тоже надо суметь (в данном случае нужно угадать хотя бы одну рациональную точку на гиперболе $x^2-y^2=N$).