2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Диофантово уравнение x^2-y^2=N
Сообщение25.11.2011, 21:25 
Уважаемые софорумники!
Решил диофантово уравнение $x^2-y^2=N$, где $N$ - натуральное число.
Подскажите, кто решал такое уравнение? Хочу сверить свои результаты.

 
 
 
 Re: Диофантово уравнение x^2-y^2=N
Сообщение25.11.2011, 21:29 
Побережный Александр в сообщении #508034 писал(а):
Подскажите, кто решал такое уравнение?
Пьер Ферма.

 
 
 
 Re: Диофантово уравнение x^2-y^2=N
Сообщение25.11.2011, 21:31 
Не подскажете как его решение выглядит?

 
 
 
 Re: Диофантово уравнение x^2-y^2=N
Сообщение25.11.2011, 21:48 
Аватара пользователя
Побережный Александр в сообщении #508034 писал(а):
Уважаемые софорумники!
Решил диофантово уравнение $x^2-y^2=N$, где $N$ - натуральное число.
Подскажите, кто решал такое уравнение? Хочу сверить свои результаты.

Я думаю, еще пифагорейцы. Более двух тысяч лет назад.

 
 
 
 Re: Диофантово уравнение x^2-y^2=N
Сообщение25.11.2011, 22:01 
Меня не интересуют общие фразы, меня интересует решение. Решение теоремы Пифагора известно, а аналогичное для этого уравнения имеется?

 
 
 
 Re: Диофантово уравнение x^2-y^2=N
Сообщение25.11.2011, 22:12 
Аватара пользователя
Побережный Александр в сообщении #508060 писал(а):
Решение теоремы Пифагора известно

У теоремы Пифагора решения нет.
А у Вашего уравнения решение есть всегда, кроме целых чисел, дающих остаток 2 при делении на 4, четверки и единицы.

 
 
 
 Re: Диофантово уравнение x^2-y^2=N
Сообщение25.11.2011, 22:19 
Я, видимо, что-то не понимаю. Почему вы утверждаете, что теорема Пифагора не имеет решений?

 
 
 
 Re: Диофантово уравнение x^2-y^2=N
Сообщение26.11.2011, 00:28 
Аватара пользователя
Потому что словосочетание "решение теоремы" бессмысленно.

 
 
 
 Re: Диофантово уравнение x^2-y^2=N
Сообщение26.11.2011, 01:13 
Аватара пользователя
Побережный Александр в сообщении #508070 писал(а):
Я, видимо, что-то не понимаю. Почему вы утверждаете, что теорема Пифагора не имеет решений?


Я сражаюсь с Вашим косноязычием. Теорему Пифагора нельзя решить. Никакую теорему нельзя решить. Теорему можно доказать. А решить можно уравнение.

 
 
 
 Re: Диофантово уравнение x^2-y^2=N
Сообщение26.11.2011, 04:02 
Аватара пользователя
Эта задача точно есть у Диофанта, книга 2, задача 10: "Найти два квадратных числа с заданной разностью". Можете посмотреть в книжке Арифметика и книга о многоугольных числах., страница 65.

 
 
 
 Re: Диофантово уравнение x^2-y^2=N
Сообщение26.11.2011, 06:06 
Аватара пользователя
Nilenbert в сообщении #508208 писал(а):
Эта задача точно есть у Диофанта, книга 2, задача 10: "Найти два квадратных числа с заданной разностью". Можете посмотреть в книжке Арифметика и книга о многоугольных числах., страница 65.

Не совсем так. Диофант решал уравнения в рациональных числах.
Решение для целых чисел можно посмотреть, например, в книжке В. Серпинского, О Решении Уравнений в Целых Числах, стр. 18.

 
 
 
 Re: Диофантово уравнение x^2-y^2=N
Сообщение26.11.2011, 09:02 
shwedka в сообщении #508215 писал(а):
Решение для целых чисел можно посмотреть, например, в книжке В. Серпинского, О Решении Уравнений в Целых Числах, стр. 18.

Спасибо за ссылку, а теперь вывод из первой части моего сообщения на этом форуме "Техническая задача, теорема Ферма" Может он пригодиться автору этой темы Александру Побережному. Тема чужая и что бы не забивать её покажу сразу вывод:
Количество числовых значений (d) удовлетворяющих формулам (все решения в целых числах)
$\[\frac{{{y^2}}}{{{d^2}}} = c\]$
$\[{\frac{{{y^2}}}{d} = c}\]$
В дальнейшем любое целое число будем обозначать буквой (C)
Так как нас интересует вид числа, а не его величина, равно количеству решений уравнения, $\[{x^2} + {y^2} = {z^2}\]$ в целых числах.
при (y) - фиксированное целое число.

 
 
 
 Решение Диофантового уравнение x^2-y^2=N
Сообщение27.11.2011, 00:25 
Здравствуйте, прошу простить меня за косноязычие. Посмотрел предложенную литературу и не нашел похожих с моими результатов. Подскажите, мои результаты можно считать решениями обсуждаемого диофантового уравнения?

Постановка задачи: решить $x^2-y^2=N$, где $N$ фиксированное натуральное число.

Решение: $x=\frac{N+k^2}{2k}$, $y=\frac{N-k^2}{2k}$, здесь $k$ натуральное число.

 
 
 
 Re: Диофантово уравнение x^2-y^2=N
Сообщение27.11.2011, 00:32 
Аватара пользователя
Решениями диофанова уравнения считать нельзя, т.к. они, вообще говоря, не целые. Надо дополнительно ограничить $k$.

 
 
 
 Re: Диофантово уравнение x^2-y^2=N
Сообщение27.11.2011, 06:56 
А он его решал в рациональных числах, как Диофант. Найти рациональную параметризацию кривой второго порядка тоже надо суметь (в данном случае нужно угадать хотя бы одну рациональную точку на гиперболе $x^2-y^2=N$).

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group