Определить разрывы функций и их характер

[samuil]

Someone в сообщении #504728 писал(а):

Вы определение предела (по Коши) знаете?

Значение $~A$ называется пределом (предельным значением) функции $f \left( x \right)$ в точке $~x_0$, если для любого наперёд взятого положительного числа $\varepsilon$ найдётся отвечающее ему положительное число $\delta = \delta \left( \varepsilon \right)$ такое, что для всех аргументов $~x$, удовлетворяющих условию $0 < \left| x - x_0 \right| < \delta$, выполняется неравенство $\left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon$

Я так понял, что нас интересует окрестность точки $x_0$, а не сама точка $x_0$ (то есть функция может быть не определена в этой точке, но предел иметь). Теперь понял, что сама точка $x_0$ не удовлетворяет неравенству $0 < \left| x - x_0 \right| < \delta$, так как неравенство $0<0$ несколько странное

Someone в сообщении #504728 писал(а):

Какое отношение $\delta$-функция имеет к пределу?

Не знаю, да и что такое $\delta$-функция -- толком не знаю... Видимо я не в тему про нее сказал тогда

[Someone]

Ну и замечательно. Теперь видно, что никакие $\delta$-функции к делу отношения не имеют. Поэтому можно не сомневаться, что предел функции, всюду равной $1$, кроме некоторого дискретного множества, также равен $1$. Что хорошо видно и из процитированного Вами определения.

(Оффтоп)

samuil в сообщении #504722 писал(а):

Значит меня Википедия обманывает!

К тому, что написано в Википедии, относитесь осторожно. Там любой желающий может написать всё, что захочет. Может быть, потом модераторы почистят, но Вы-то уже прочли...

[samuil]

Ок, спасибо, понятно! А как быть с...

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек

$f(x)=\sqrt{\dfrac{1-\cos{\pi x}}{4-x^2}}$

Меня смущает то, что там предел справа не определен, слева существует и конечен.

Как же классифицировать такую точку?!

[Joker_vD]

samuil в сообщении #504894 писал(а):

Меня смущает то, что там предел справа не определен, слева существует и конечен.

Как же классифицировать такую точку?!

Второго рода. А что, есть еще варианты?

[samuil]

Есть еще вариант - что разрыв устранимый, так в ответах написано. Ведь не может быть разрыв второго рода быть устранимым...

[samuil]

Значит в ответах -- неправильно?

[Joker_vD]

samuil
Ну или вы неправильно нашли предел справа.

[samuil]

Joker_vD в сообщении #505857 писал(а):

samuil
Ну или вы неправильно нашли предел справа.

Спасибо!

(Оффтоп)

Дело в том, что область определения функции $f(x)=\sqrt{\dfrac{1-\cos{\pi x}}{4-x^2}}$ -- это $D(y): x\in(-2;2)$, а точка $x=-2+0$ не входит в $D(y)$, а значит в ней функция определена...У меня где-то значит должна быть ошибка в рассуждениях...не могу найти

$$\lim\limits_{x\to 2+o}f(x)=\lim\limits_{x\to 2+o}\sqrt{\dfrac{1-\cos{\pi x}}{4-x^2}}= =\lim\limits_{x\to 2+o}\sqrt{\dfrac{\lim\limits_{x\to 2+o}(1-\cos{\pi x})}{\lim\limits_{x\to 2+o}(4-x^2)}}$$

$\lim\limits_{x\to 2+o} (4-x^2)= 4-(2+o)^2=4-(4+4o+o^2)=-4o-o^2<0$

$\lim\limits_{x\to 2+o}(1-\cos{\pi x})=1-\cos(2\pi+\pi\cdot o)=1-\cos{(2\pi)}\cdot \cos{(\pi\cdot o)}=1-1=0$

$$\lim\limits_{x\to 2+o}f(x)=\sqrt{\dfrac{0}{-4o-o^2}$

Вообще не понятно что....(((