Многомерные расширения ТФКП

[g______d]

hamilton в сообщении #503937 писал(а):

Дело не столько в этом, сколько в том, что человек ничего не понял. Хотя Вы и некоторые другие считают, что это очевидные вещи.
Почему же тогда у Людковского получилась лженаука? На сотни страниц текстов. Вы это уже видели и имели возможность оценить качество...

Знаете, для меня пока Людковский остается темной лошадкой. У него совершенно непонятные статьи (возможно, только мне). В базах mathnet.ru и web of science у него только самоцитирования (из порядка 50 работ), в mathscinet пока посмотреть не могу. Прямо так что у него лженаука, я слышал только от Вас. Правда, Вы ссылались на других людей тоже.

Т. е. да, что-то в его работах есть странное, и от своих слов ранее (что он не пройдет где-то там рецензирование) я не отказываюсь, но вот прямо так в руках у меня нет никаких доказательств.

-- 15.11.2011, 01:57 --

hamilton в сообщении #503937 писал(а):

g______d в сообщении #503934 писал(а):

Новое определение почти всегда нужно только тогда, когда оно упрощает жизнь в какой-то старой ситуации. Либо когда оно позволяет доказать что-то новое и важное про старые объекты, либо упростить, опять же, старые доказательства.

Это неверно. Новые объекты могут иметь качественно новые свойства по сравнению со старыми. Вы не видите нового, потому что ищете только старое, то, что уже хорошо известно...

Обратите на слова "почти всегда".

hamilton в сообщении #503937 писал(а):

К какой категории Вы относите меня, меня мало интересует - это Ваша личная точка зрения. Ваши суждения относительно свойств функций носят иногда глубокий, а иногда совершенно легковесный характер.

А Ваши?

[shwedka]

hamilton в сообщении #503937 писал(а):

Вы не видите нового, потому что ищете только старое, то, что уже хорошо известно...
Взять для примера кватернионную экспоненту. Да что Вы про нее знаете, кроме того, что уже хорошо известно?

А что хорошо не известного Вы знаете об этой экспоненте? Пока что только пустые разговоры о светлом будущем и некоммутативных моделях!

[hamilton]

g______d в сообщении #503944 писал(а):

Обратите на слова "почти всегда".

обратите внимание на собственное добавление...

g______d в сообщении #503934 писал(а):

Исключения из этого, конечно, есть, но не думаю, что это на уровне нас с Вами.

g______d в сообщении #503944 писал(а):

Прямо так что у него лженаука, я слышал только от Вас

А Вы сколько времени знакомы с этой темой?

[g______d]

hamilton в сообщении #503950 писал(а):

g______d в сообщении #503944 писал(а):

Обратите на слова "почти всегда".

обратите внимание на собственное добавление...

g______d в сообщении #503934 писал(а):

Исключения из этого, конечно, есть, но не думаю, что это на уровне нас с Вами.

В чем проблема? Я действительно так не думаю.

-- 15.11.2011, 02:17 --

hamilton в сообщении #503950 писал(а):

А Вы сколько времени знакомы с этой темой?

Именно потому что не особо знаком, и не делаю лично для себя таких серьезных выводов. По крайней мере, публично.

[hamilton]

g______d в сообщении #503944 писал(а):

А Ваши?

Если из сегодняшних длительных объяснений ничего по сути не вынесли, не вижу смысла продолжать.
Все пойдет туда же - в корзину.
Спокойной ночи.

[Руст]

Я не читал указанные работы. Как я понял, hamilton отказался от того, чтобы дифференцируемые функции образовали алгебру, так как трансляционно не инвариантны (можно сдвигать аргумент только на действительные числа). Соответственно предпочтение отдано тому, чтобы $f(x)\in D\to f(x+a)\in D \forall a$. Можно классифицировать и этот класс функций, они становятся односторонними (по дифференцируемости только слева или справа) и не образуют алгебру. Однако, в случае не ассоциативности вряд ли они будут замкнуты относительно композиции.

[sergei1961]

Меня заинтересовало упоминание про связи с теорией осесимметрического потенциала Вайнштейна, как говорят на Западе - GASPT. Это уже классическая математика. Можно дать конкретные ссылки именно на связи с этим уравнением Вайнштейна.

[hamilton]

Руст в сообщении #503989 писал(а):

Я не читал указанные работы. Как я понял, hamilton отказался от того, чтобы дифференцируемые функции образовали алгебру, так как трансляционно не инвариантны (можно сдвигать аргумент только на действительные числа). Соответственно предпочтение отдано тому, чтобы . Можно классифицировать и этот класс функций, они становятся односторонними (по дифференцируемости только слева или справа) и не образуют алгебру. Однако, в случае не ассоциативности вряд ли они будут замкнуты относительно композиции.

Вы молодец, это очень глубокие проблемы, но пока они ждут новых исследований. Понимание того, что далеко не все свойства могут быть автоматически перенесены в более широкую область, уже половина успеха. Думаю, что Вы сможете продвинуть вперед многие неясные вопросы.
Как ни странно, чувствуют это необходимое условие обобщения буквально единицы...

sergei1961 в сообщении #503993 писал(а):

Меня заинтересовало упоминание про связи с теорией осесимметрического потенциала Вайнштейна, как говорят на Западе - GASPT. Это уже классическая математика. Можно дать конкретные ссылки именно на связи с этим уравнением Вайнштейна.

Да, это так и есть.
Насколько я знаю, этот подход гораздо больше распространен в Америке, чем в Европе.
Темой активно занимался R.P. Gilbert. Есть классическая книга его с одним из учеников
R.P. Gilbert, J. Buchanan First order elliptic systems - A function theoretic approach, 1983.
Леутвилер до разработки своего нового направления был одним из лучших мировых специалистов в теории потенциала.
Он рассказывал мне, что вынужден был уезжать в Канаду и работать там несколько лет, чтобы найти единомышленников.
Первые статьи по модицифированному клиффордову анализу, как он сначала назвал свое новое направление, опубликовал в журнале Complex Variables Theory Appl., которым многие годы руководил R.P. Gilbert.
Heinz Leutwiler где-то начиная с 1970 года больше 10 лет работал по теории потенциала с Maynard Arsove.
В интернете есть несколько его фотографий http://owpdb.mfo.de/person_detail?id=2529
H. Leutwiler, Best constants in the Harnack inequality for the Weinstein equation (1987) http://www.springerlink.com/content/uh330g463p420755/
O. Akin and H. Leutwiler, On the invariance of the solutions of the Weinstein equation under M¨obius transformations, Classical and Modern Potential Theory and Applications
(K. GowriSankaran et al, ed.), Kluwer Academic Publisher, Dordrecht (1994), 19-29.
A. Huber, On the uniqueness of generalized axially symmetric potentials, Annals of Mathematics 60 (2), (1954), 351–358.
B. Brelot-Collin and M. Brelot, Repr´esentation int´egrale des solutions positives de l’´equation L_k(u) =... (k constante r´eelle) dans le demi-espace E(x_n > 0),
de R^n. Acad. Roy. Belg. Bull. Cl. Sci. (5) 58 (1972), 317–326.

К сожалению, последние бесплодные попытки развить новое направление в стиле французов сильно подорвали его моральные силы, и в последние годы он отошел от активной работы...

[hamilton]

Все дело в том, что при переходе от постоянных коэффициентов к переменным многие методы из тфкп перестают работать.
В теории функций многих комплексных переменных коэффициенты базовой системы уравнений также постоянны.
Поэтому для разработки новой теории функций необходимо применять более сложные конструкции - типа методов исследования обобщенных аналитических функций И.Н.Векуа.
Хотя в классическом смысле Вейерштрасса функции кватернионной и октонионной переменных остаются аналитическими.
В этом и заключается парадокс, который для многих поколений математиков, начиная с 1853 года, оказался слишком трудным...
Если бы я послушал в 1985 году Шабата, что бы я сделал в этом направлении? Ноль. Так же, как и сейчас все ортодоксы...

[Руст]

У меня создалось впечатление, что эта теория все еще сырая. Я бы развил это в сочетании с двойственностью из теории категорий. Как в физике переменные скорости (элементы касательного пространства) и импульсы (кокасательные пространство) отголоски этой категорной двойственности, здесь функции от переменных х и от переменных p (импульсов) разные. Как я понимаю, ваша теория инвариантная относительно трансляций дает функции в переменных p (функции от операторов). Если вы вышлете основные ваши работы с полными определениями (не потребующими поиска их в других источниках) я бы смог судит о дальнейших перспективах этого направления.

[shwedka]

hamilton в сообщении #503952 писал(а):

Если из сегодняшних длительных объяснений

Объяснений не наблюдалось. Было
1. Демонстрация нежелания отвечать на конкретные математические вопросы
2. Недобросовестная реклама несозданной теории
3. Восхваление гуру

Если было что-то еще, укажите!

[hamilton]

Руст в сообщении #504045 писал(а):

Я бы развил это в сочетании с двойственностью из теории категорий.

Попробуйте - но это без моей помощи...

Руст в сообщении #504045 писал(а):

Как я понимаю, ваша теория инвариантная относительно трансляций дает функции в переменных p (функции от операторов).

Корреляция такого понимания с моим очень близка к нулю.

Руст в сообщении #504045 писал(а):

У меня создалось впечатление, что эта теория все еще сырая.

Создавайте свою собственную не сырую... надеюсь, я Вам не мешаю своими сырыми разговорами...
В науке разрешается только незыблемые монументы устанавливать? Любой монумент может быть разрушен.

sergei1961 в сообщении #503993 писал(а):

Это уже классическая математика. Можно дать конкретные ссылки именно на связи с этим уравнением Вайнштейна.

В каждой из статей, начиная 1992 года, можно увидеть the Weinstein equation, например
Leutwiler H., Modified Clifford analysis, Complex Variables Theory Appl. 17 (1992), pp.153 - 171.
Leutwiler H., Modied quaternionic analysis in R3 // Complex Variables Theory Appl. 20 (1992), pp.19 - 51.
Leutwiler H., More on modied quaternionic analysis in R3 // Forum Math. 7 (1995), pp.279 - 305.
Leutwiler H., Rudiments of function theory in R3 // Expositiones Math. 14 (1996), pp.97 -123.
Leutwiler H., Quaternionic analysis in R3 versus its hyperbolic modication, Proc. of Cliord Algebras and Its Applications (Prague, 2000).
NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry, vol.25, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2001, pp.193 - 211.

[g______d]

hamilton, Ваши приемы ведения дискуссии весьма впечатляют. Вы не привели практически ни одного математического аргумента. Ссылки на личную мотивацию разных математиков не считаются. Мы говорим о математике, а не о математиках.

Более по сути. Разумеется, я заранее догадывался, что ответы на мои вопросы относительно произведения и композиции отрицательные. Я их задал только потому, что внятного ответа о том, каких же свойств от теории функций Вы требуете, я так и не добился. Подведем промежуточные итоги:

Произведения и композиции нет.

Аналитичность в смысле Вейерштрасса хотелось бы оставить.

Вы требовали, чтобы были функции, ассоциированные с классическими голоморфными. Понятие ассоциированности вводится уже после определения класса функций и является достаточно искусственным.

Тем не менее, гармонические функции удовлетворяют всем этим требованиям. Знакомы ли Вы и с их теорией? Дополнительно к этому, их класс трансляционно инвариантен, и функции, голоморфной в области, тоже можно сопоставить гармоническую, причем не единственным образом (можно занулить остальные координаты, выбор которых произволен). Это тоже достаточно искусственный прием, но ничем не хуже того, что предложил Leutwiler. Ну или опровергните это, но, пожалуйста, более математическими средствами.

-- 15.11.2011, 15:28 --

Руст в сообщении #504045 писал(а):

Как я понимаю, ваша теория инвариантная относительно трансляций дает функции в переменных p (функции от операторов).

Как я понял, действительно дает. Получаются вещественные функции на $\mathbb R$ (оригиналы). В общем, неудивительно, поскольку октонионные преобразования Лапласа от них --- это и есть новый разрекламированный класс функций.

[g______d]

Добавлю к своему последнему замечанию то, что я уже говорил про $h$-аналитические функции. Если рассматриваемый класс функций находится во взаимно однозначном соответствии с некоторым достаточно широким классом вещественных функций, то это одномерный вещественный анализ. В данном случае это соответствие --- преобразование Лапласа.

Может быть, это только примеры и класс на самом деле более широкий, но про него в работах уважаемого hamilton практически ничего не сказано.

[Руст]

g______d в сообщении #504092 писал(а):

Добавлю к своему последнему замечанию то, что я уже говорил про $h$-аналитические функции. Если рассматриваемый класс функций находится во взаимно однозначном соответствии с некоторым достаточно широким классом вещественных функций, то это одномерный вещественный анализ. В данном случае это соответствие --- преобразование Лапласа.

Думаю ошибаетесь. Это у Time было так. Здесь мне кажется получается то, что в образе $f(p)=\sum_ka_kp^k$ с действительными $a_k$. Этот класс не представляется в виде суммы 4-х функций одной переменной даже в образе $f(p)$. Соответственно они образуют алгебру только относительно исходного умножения надо брать свертку (умножение в образе) как в квантовых группах.