Многомерные расширения ТФКП

[g______d]

Time, я по-прежнему жду определения h-голоморфной функции.

Kallikanzarid, я понимаю Ваши претензии. Думаю, что суть ответов Time сообщений через 20 сведется к тому, что я сказал, --- что локальная группа конформных преобразований двумерной плоскости с римановой метрикой бесконечномерна, и это специфика именно двумерной ситуации. К сожалению, в данном случае Ваши вопросы (хотя я и признаю их справедливость) порождают лишь простыни нечитаемого текста. Это верно и для псевдоевклидовой метрики, причем глобально и более тривиально.

Вопрос о том, какие физические следствия несет конформная инвариантность двумерной псевдоевклидовой метрики, носит название Lorentzian Conformal Field Theory и, разумеется, изучался.

Повторяю свое высказываение. Я протестую против того, что метрика БМ имеет какое-то разумное отношение к комплексному анализу, как и лоренцева конформная теория поля.

-- 09.11.2011, 03:32 --

Кстати, Игоръ, отвечая на один из Ваших постов. Как я понял, группа конформных преобразований пространства БМ просто-напросто является прямым произведением четырех экземпляров группы диффеоморфизмов $\mathbb R$. Т. е. "перемешивания координат" не происходит. Это вряд ли является аргументом в пользу ее физической значимости :)

[g______d]

Time, извините, я пропустил одно из Ваших сообщений, отвечавших на мой пост. Мое последнее сообщение (к которому, возможно, прикрепится данный текст) я писал, его не прочитав.

Насчет локальности. Чтобы хоть как-то работать с конформными евклидовыми преобразованиями как с элементами группы, нужно их рассматривать в окрестности некоторой точки. Это стандартная процедура. Например, можно рассматривать степенные ряды вида $a_1 z+a_2 z^2+\ldots$, $a_1\neq 0$, имеющие ненулевой радиус сходимости в окрестности нуля. Они будут образовывать группу относительно композиции. Это и будет (видимо) то, что принято называть локальной конформной группой.

Для псевдоевклидовых конформных преобразований такое не нужно, они определены глобально и образуют бесконечномерную группу (являющуюся прямым произведением нескольких экземпляров Diff$(\mathbb R^n)$)

Я по-прежнему считаю неверным утверждение о том, что гладкую функцию двух переменных можно представить в виде функции двух независимых комплексных переменных. То же я утверждаю про любое конечное число функций. Поэтому я пока не считаю, что математическое определение в статье дано.

Я не требую слишком многого. Пусть у Вас есть функция $f$ двойной переменной. Это отображение из $\mathbb R^2$ в $\mathbb R^2$. Выпишите, пожалуйста, уравнения, которым она должна удовлетворять, чтобы быть $h$-голоморфной.

[Kallikanzarid]

Time в сообщении #501397 писал(а):

Плоским в определенной своей области пространство остается в том случае, если найдется такая глоабальная система координат, что метрический тензор будет приведен к каноническому виду во всех точках этой области. Обычно, это означает, что метрический тензор можно привести к диагональному виду. На счет различий в "активной" и в "пассивной" точках зрения на преобразования вам лучше посмотреть работы позапрошлого века, пока не заняла своего главенствующего места общая теория относительности c ее, в основном "пассивной" точкой зрения на преобразовния, понимаемые в основном как переходы между криволинейными системами координат. При активной точке зрения на преобразования, рассматриваются не переходы от одних нелинейных координат к другим, а изменения самого пространства. Говорю, возможно, не вполне строго, если не устраивает, поищите сами более подходящие для вас определения. Это точно не мое изобретение.

Так посчитайте кривизну, в чем проблема?

[Time]

g______d в сообщении #501410 писал(а):

Time, я по-прежнему жду определения h-голоморфной функции

Оно дано на странице 51 обсуждавшейся статьи. Если оно Вам не нравится, или Вы его не понимаете, я тут ничего поделать не могу.
Ну, разве что, на словах добавить, что h-голоморфные функции от двойной переменной в отличии от h-аналитических должны иметь полное и взаимнооднозначное соответствие с аналитическими(=голоморфными) функциями комплексной переменной по алгоритму, описанному на стр. 18 того же сборника. Для голоморфности последних есть строгое определение на основании сходимости соответсвующих степенных рядов. Для h-голоморфных функций из-за проблем с топологией псевдоевклидовой плоскости определить строго понятие через сходимость ряда на сегодня не представляется возможным, поэтому пока можно действовать только по аналогии с сопоставляемыми рядами на комплексных числах.

g______d в сообщении #501410 писал(а):

Вопрос о том, какие физические следствия несет конформная инвариантность двумерной псевдоевклидовой метрики, носит название Lorentzian Conformal Field Theory и, разумеется, изучался.

Замечательно. Тогда дайте, пожалуйста, в духе Lorentzian Conformal Field Theory физическую интерпретацию такой частного вида h-голоморфной функции двойной переменной как:
$F(h)=q(ln(h))$, где $q=a+Ib$-константа из множества двойных чисел, $a$ и $b$ вещественные константы, $I^2=1$.
На всякий случай напомню, что в теории обычного комплексного потенциала, аналогичной голоморфной функции комплексной переменной, соответствует векторное поле одиночного точечного вихреисточника с обильностью $a$ и завихренностью $b$.

Хотите даже не заглядывая в гугл по поводу "Вашей" Lorentzian Conformal Field Theory угадаю, что там даже и близко не рассамтривался двумерный псевдоевклидов случай? Что вся теория построена вокруг конформных (в том смысле конформности, определение которому давали Игоръ и Kallikanzarid) преобразований обычного четырехмерного псевдоевклидова(псевдориманова) проcтранства-времени, где нет места тем h-голоморфным функциям двойной переменной, о которых я пытаюсь с Вами говорить. И потому четырехмерные пространства, получаемые после так определенного конформного растяжения/сжатия (если преобразование не сводилось к 15 параметрической группе из теоремы Лиувиля) ВСЕГДА оказываются глобально искривленными, то есть пространство Минковского превращается в частного вида ПСЕВДОРИМАНОВО пространство-время. Но на всякий случай подожду Вашего ответа на мой вопрос по поводу двумерного случая с применением конкретной $h$-голоморфной функции.

По поводу простыней..
Я бы писал коротко, но это не помогает. Правда длинно, к сожалению, так же не помогает. Может что-то с консерваторией не в порядке?

g______d в сообщении #501410 писал(а):

Повторяю свое высказываение. Я протестую против того, что метрика БМ имеет какое-то разумное отношение к комплексному анализу,

Это сколько угодно. Я Вас о другом пять раз спрашивал. Есть ли у Вас соображения по поводу можно или нельзя для $h$-голоморфных функций двойной переменной (не для комплексного анализа) предложить полевую (то есть в виде двумерных векторных полей) физически интерпретируемую трактовку? Если можно, то как это делается на примере того же логарифма, или приведите хотя бы одну конкретную ссылку на то, где это сделано. Если нельзя, то попробуйте дать ответ почему.

g______d в сообщении #501410 писал(а):

Кстати, Игоръ, отвечая на один из Ваших постов. Как я понял, группа конформных преобразований пространства БМ просто-напросто является прямым произведением четырех экземпляров группы диффеоморфизмов . Т. е. "перемешивания координат" не происходит. Это вряд ли является аргументом в пользу ее физической значимости :)

Вы совершенно все правильно поняли, только стОит добавить, что в двумерном случае Бервальда-Моора для его бесконечной конформной группы все обстоит ТОЧНО ТАК ЖЕ, с заменой 4-х измерений на 2. Следует ли отсюда вывод, что и для двумерного псевдоевклидова (и псевдориманова) частного случая - "это вряд ли является аргументом в пользу ее (бесконечной конформной группы 2-мерного БМ) физической значимости"? Ответьте, пожалуйста, именно на этот вопрос..

g______d в сообщении #501422 писал(а):

Насчет локальности. Чтобы хоть как-то работать с конформными евклидовыми преобразованиями как с элементами группы, нужно их рассматривать в окрестности некоторой точки. Это стандартная процедура.

У меня стойкое ощущение, что Вы вообще не знакомы с теорией комплексного потенциала. Скажите честно: ведь, скорее всего, никогда не работали? В лучшем случае, смутно помните пару лекций на эту тему..

g______d в сообщении #501422 писал(а):

Для псевдоевклидовых конформных преобразований такое не нужно, они определены глобально и образуют бесконечномерную группу

Замечательно. Вот и дайте в соответствии с этим пониманием, как устроена бесконечномерная конформная группа многомерных пространств БМ, физическую интерпретацию $h$-голоморфных функций для двумерного частного случая, когда 2-мерный БМ совпадает с 2-мерным псевдоевклидовым пространством. Пусть на примере того же натурального логарифма..

g______d в сообщении #501422 писал(а):

Я по-прежнему считаю неверным утверждение о том, что гладкую функцию двух переменных можно представить в виде функции двух независимых комплексных переменных. То же я утверждаю про любое конечное число функций. Поэтому я пока не считаю, что математическое определение в статье дано.

Надеюсь, физическую интерпретацию для частного вида $h$-голоморфной функции логарифм я дождусь независимо от того, что я Вам не предоставил удовлетворительного для Вас определения $h$-голоморфности в общем виде.

g______d в сообщении #501422 писал(а):

Я не требую слишком многого. Пусть у Вас $f$ есть функция двойной переменной. ... Выпишите, пожалуйста, уравнения, которым она должна удовлетворять, чтобы быть -голоморфной.

Вы ж на них уже несколько раз в статье на 51 странице посмотрели!
Но если так хочется увидеть еще раз, пожалуйста:
$f(h,\bar h)_{,\bar h}=0$.

Частным случаем h-голоморфной функции двойной переменной является натуральный логарифм. Формально эту функцию можно определить в виде степенного ряда от двойных чисел, точно так же как натуральный логарифм от комплексных чисел задается в виде степенного ряда на комплексных числах.

-- Ср ноя 09, 2011 11:02:48 --

Kallikanzarid в сообщении #501430 писал(а):

Так посчитайте кривизну, в чем проблема?

Посчитать кривизну в вашем примере не проблема, проблема в наборе буковок для формул..
А у вас в чем проблема? Трудно открыть и посмотреть одну страницу по ссылке?

[Kallikanzarid]

Time в сообщении #501455 писал(а):

Посчитать кривизну в вашем примере не проблема, проблема в наборе буковок для формул..
А у вас в чем проблема? Трудно открыть и посмотреть одну страницу по ссылке?

Какую именно страницу?

[g______d]

Time в сообщении #501455 писал(а):

Оно дано на странице 51 обсуждавшейся статьи. Если оно Вам не нравится, или Вы его не
Хотите даже не заглядывая в гугл по поводу "Вашей" Lorentzian Conformal Field Theory угадаю, что там даже и близко не рассамтривался двумерный псевдоевклидов случай?

Не угадали. Дальше википедии ходить не пришлось.

http://en.wikipedia.org/wiki/Conformal_ ... eld_theory

Правда, лоренцева теория действительно только упоминается. Впрочем, я уверен, что профессиональные физики найдут более подробную ссылку.

Time в сообщении #501455 писал(а):

Это сколько угодно. Я Вас о другом пять раз спрашивал. Есть ли у Вас соображения по поводу можно или нельзя для $h$-голоморфных функций двойной переменной (не для комплексного анализа) предложить полевую (то есть в виде двумерных векторных полей) физически интерпретируемую трактовку?

Я над этим не думал и пока не вижу к этому никакой мотивации. Физическая интерпретация классического комплексного анализа, связанная с теорией потенциала, --- это скорее побочный продукт. Я не спорю, что он интересен и полезен инженерам. Но мне не кажется, что тот факт, что какая-то конкретная "$h$-голоморфная" функция (общего определения которых Вы не дали), имеет физический смысл, будет являться стимулом к изучению (несуществующей) "теории $h$-голоморфных функций". И уж точно мне не кажется совсем честным говорить, что Вы построили многомерное расширение ТФКП. Разберитесь в двумерном сначала.

Time в сообщении #501455 писал(а):

У меня стойкое ощущение, что Вы вообще не знакомы с теорией комплексного потенциала. Скажите честно: ведь, скорее всего, никогда не работали? В лучшем случае, смутно помните пару лекций на эту тему..

Признаю, что профессионально не работал. Я не инженер. Но в этом вопросе она совершенно не причем! Я Вам по-доброму попытался объяснить, как именно можно придать строгий смысл фразе "бесконечномерная группа конформных преобразований", которого у Вас не было. Несколько позже, возможно, напишу подробнее --- хотя мне кажется, что я написал достаточно понятно, просто Вы увидели там то, что хотели увидеть.

Time в сообщении #501455 писал(а):

Вы ж на них уже несколько раз в статье на 51 странице посмотрели!
Но если так хочется увидеть еще раз, пожалуйста:
$f(h,\bar h)_{,\bar h}=0$.

Эту формулу я видел. Речь о том, что левая часть этой формулы не определена. У нас есть функция двух вещественных переменных $f(x,y)$, а откуда берется $f(h,\bar h)$, я так и не прочитал внятно.

-- 09.11.2011, 13:07 --

g______d в сообщении #501504 писал(а):

Разберитесь в двумерном сначала.

Ну или давайте вместе разберемся.

[Time]

Kallikanzarid в сообщении #501489 писал(а):

акую именно страницу?

Извиняюсь, страница 153 и немного на 154
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... -gbook.pdf
Страница 153 и чуть чуть на 154.
Но и на ошибочно указанной странице 53 и чуть далее на 54 как раз рассматривается не общий случай как на 153-154 страницах, а применительно к комплексной плоскости.

-- Ср ноя 09, 2011 14:45:33 --

g______d в сообщении #501504 писал(а):

Не угадали. Дальше википедии ходить не пришлось.

http://en.wikipedia.org/wiki/Conformal_ ... eld_theory

Правда, лоренцева теория действительно только упоминается. Впрочем, я уверен, что профессиональные физики найдут более подробную ссылку.

Так это совсем не то, что я от Вас добивался. О таком применении h-голоморфных функций двойной переменной давно говорил Игорь. Это приложения к КВАНТОВОЙ теории поля, а я просил приложения к классической геометрии векторных полей в двумерном пространстве-времени.
С профессиональными физиками я общался довольно много. Пока ни один не смог припомнить приложений h-голоморфных функций к классической (а не квантовой) теории поля. За исключением, естественно тех, с ком у меня совместные статьи.

g______d в сообщении #501504 писал(а):

Я над этим не думал и пока не вижу к этому никакой мотивации.

Не думали и не видите мотивации не Вы один. Так действовали (вернее бездействовали) 99,9.. % математиков и физиков. Надеюсь, отсутсвие у них мотивации для размышлений не является объективным запретом для размышлений другим и наличии у этих других достаточной мотивации?

g______d в сообщении #501504 писал(а):

Физическая интерпретация классического комплексного анализа, связанная с теорией потенциала, --- это скорее побочный продукт.

Вот именно. Надеюсь, Вы помните что данная тема посвящена "Многомерным расширениям ТФКП". Если такое расширение возможно, у него так же просто обязан проявиться "этот скорее побучный продукт" в виде теории уже гиперкомплексного потенциала. Вот я к Вам и пристаю с вопросами по поводу еще несуществующей в массовом сознании теории h-комплексного потенциала двойной переменной. Вы успешно отбрыкиваетесь.. Что уж говорить про теорию многомерного гиперкомплексного потенциала в финслеровом пространстве-времени, если Вы не хотите разобраться в обычном (и давно привычном) двумерном псевдоевклидовом пространстве.

g______d в сообщении #501504 писал(а):

Я не спорю, что он интересен и полезен инженерам.

Что бы стать интересным инженерам, теорию комплексного потенциала сперва развивали математики, а затем и физики. Фамилии не нужно напоминать? Или все сделали инженеры?

g______d в сообщении #501504 писал(а):

Но мне не кажется, что тот факт, что какая-то конкретная "$h$-голоморфная" функция (общего определения которых Вы не дали), имеет физический смысл, будет являться стимулом к изучению (несуществующей) "теории -голоморфных функций".

Конкретную h-голоморфную функцию я просил проинтерпретировать в смысле связанного с нею векторного поля лишь для примера. Если б Вы дали интерпретацию одной из $h$-голоморфных функций, автоматически логика выстроенная для такой интерпретация распространилась бы и на все другие частные случаи $h$-голоморфных функций, а, значит, и на общий случай.

g______d в сообщении #501504 писал(а):

И уж точно мне не кажется совсем честным говорить, что Вы построили многомерное расширение ТФКП. Разберитесь в двумерном сначала.

Во-первых, никто и не говорил, что мы УЖЕ построили многомерное расширение ТФКП. Разговор больше о направлении, в котором его можно было бы строить и отдельные робкие попытки подобраться к такому построению. Что касается двумерного случая теории $h$-комплексного потенциала, то она в основном уже построена. Скажите, Вы прочитали вторую статью из обсуждавшегося сборника или ограничились одной только 51 страницей, на основании показавшегося Вам неверным единственного утверждения?

g______d в сообщении #501504 писал(а):

Признаю, что профессионально не работал. Я не инженер.

Вы считаете, что знать теорию комплексного потенциала и нюансы его приложений исключительная прерогатива инженеров? Для современных математиков или физиков это ниже их достоинства? И потом мы тут с Вами не столько о ней говорим, в конце концов это давно и заслуженно считается классикой, а о возможности или невозможности перенесения методов ТКП на плоскость двойной переменной, $h$-голоморфные функции и возможность связать с ними векторные поля в двумерном пространстве-времени. Это точно задачка не для инженеров. Они воспользуются "побочным продуктом" такой теории (если она, конечно, появится и станет общепринятой) только много лет спустя после ее шлифовки и опробации.

g______d в сообщении #501504 писал(а):

Эту формулу я видел. Речь о том, что левая часть этой формулы не определена. У нас есть функция двух вещественных переменных $f(x,y)$

Мы ходим по кругу. Я же Вам уже говорил, что рассматривается не одна функция $f(x,y)$, а две $f_1(x,y)$ и $f_2(x,y)$. Посмотрите внимательно и полностью строчку (8) на странице 46.

g______d в сообщении #501504 писал(а):

Ну или давайте вместе разберемся.

Есть вполне разумный и конструктивный вариант. Если действительно есть желание разобраться, Вы хотя бы по диагонали пролистаете теорию и приложения комплексного потенциала для потенциальных и соленоидальных двумерных стационарных векторных полей, а потом от начала и до конца прочитаете уже обсуждавшуюся статью "$h$-голоморфные функции двойной переменной и их приложения". Там всего-то около 30 страниц, причем достаточно большая их часть занята графическими иллюстрациями. После этого я согласен разбираться с тем, что Вы мне укажете в качестве непонятных мест или неверностей, с Вашей точки зрения.

[Kallikanzarid]

Time в сообщении #501533 писал(а):

Извиняюсь, страница 153 и немного на 154
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... -gbook.pdf
Страница 153 и чуть чуть на 154.
Но и на ошибочно указанной странице 53 и чуть далее на 54 как раз рассматривается не общий случай как на 153-154 страницах, а применительно к комплексной плоскости.

Я попросил вас вычислить кривизну метрики $f^* g$ на $\mathbb{R}^2$, где $f(x, y) = \left(\frac{x}{x^2 + y^2}, \frac{-y}{x^2 + y^2}\right)$ (соответствующую комплексной функции $z \mapsto \frac{1}{z}$) в точке $(1, 0)$. Почему-то я нигде на странице 53 не увидел вычисление кривизны.

[g______d]

Time, я не хожу по кругу. Функцию двух переменных нельзя заменить двумя функциями одной переменной. Вы делаете примерно то же, только заменяете функцию четырех переменных двумя функциями двух переменных. Об этом я уже говорил. Подумайте над этим фактом пару минут спокойно. Это на уровне общей математической культуры.

[Time]

На указанной странице показано, что для всех аналитических функций метрика пространства получаемая после связанного с такой функцией конформного преобразования имеет вид:
$ds^2=(k(x,y))^2((dx)^2+(dy)^2)$,
где $k(x,y)$ - равен модулю производной от той аналитической функции, которая задает исследуемое конформное преобразование.
Применительно для указанной вами аналитической функции $F(z)=1/z$ и ее производной компоненты которой выписаны Вами имеем:
$ds^2=\frac{1}{x^2+y^2} ((dx)^2+(dy)^2)$
Для Вас разве, не очевидно, что это метрика плоского пространства? Ведь введением новых уже криволинейных координат она сводится к метрике вида:
$ds^2=(dx')^2+(dy')^2$
а это метрика плоского пространства.
Если кривизна для такой метрики где и отлична от нуля, то только в точке где $\frac{1}{x^2+y^2}=0$. Это точка $(0,0)$. Ваша точка $(1,0)$ с этой особой точкой не совпадает. Поэтому и без вычислений очевидно, что соответствующее пространство плоское везде, кроме точки $(0,0)$.
Может Вы хотели попросить вычислить кривизну именно в точке $(0,0)$? В этой точке, согласен, пространство получаемое после предложенного конформного преобразования уже нельзя считать плоским. Но на то они и особые точки отображения..

-- Ср ноя 09, 2011 16:41:34 --

g______d в сообщении #501580 писал(а):

Time, я не хожу по кругу. Функцию двух переменных нельзя заменить двумя функциями одной переменной. Вы делаете примерно то же, только заменяете функцию четырех переменных двумя функциями двух переменных. Об этом я уже говорил. Подумайте над этим фактом пару минут спокойно. Это на уровне общей математической культуры.

Давайте ближе к первоисточнику, то есть к странице 46.
Покажите, пожалуйста, в каком месте делается замена функции двух переменных двумя функциями одной? Или замена функции четырех переменных двумя функциями двух переменных? Я вижу только две функции от двух переменных каждая ($f_1(x,y), f_2(x,y)$), которые осуществляют отображение $\mathbb R^2$ в $\mathbb R$. Затем эти две функции переписываются в виде ДВУХ функций от комплексной и сопряженной к ней переменной.

При всех этих построениях еще не идет речь о преобразованиях на комплексной плоскости. Речь тут о произвольных гладких отображениях $\mathbb R^2$ в $\mathbb R^2$.. Что тут Вас настораживает или делает рассуждения неприемлимыми?

Вы тоже подумайте пару минут. Про математическую культуру не хочу говорить..

[Time]

Kallikanzarid,
Хочу исправить непринципиальную ошибку. Конформное отображение вида:
$ds^2=\frac{1}{x^2+y^2} ((dx)^2+(dy)^2)$
осуществляет не аналитическая функция $f=1/z$, а другая - $lnz$, так как $1/z$ ее производная, при этом $\frac{1}{x^2+y^2}$ квадрат модуля этой производной.
Поэтому если рассматривать строго то конформное отображение, которое осуществляет функция $f=1/z$, то нужно вычислить модуль ее производной и подставить в формулу.
Получится почти тоже самое, только множитель другой, а именно:
$ds^2=\frac{1}{(x^2+y^2)^2} ((dx)^2+(dy)^2)$
Кривизна пространства после такого конформного преобразования все равно везде равна нулю, кроме особой точки в $(0,0)$

[g______d]

Time в сообщении #501581 писал(а):

Я вижу только две функции от двух переменных каждая ($f_1(x,y), f_2(x,y)$), которые осуществляют отображение $\mathbb R^2$ в $\mathbb R$. Затем эти две функции переписываются в виде ДВУХ функций от комплексной и сопряженной к ней переменной.

Вот в последней фразе и дело. Комплексная и сопряженная к ней переменная --- это две комплексных переменных, т. е. 4 вещественных. Где-то в районе ф-лы (5) говорилось, что эти переменные независимы. Именно в этом месте функция от двух переменных превращается в функцию четырех переменных. Или, если угодно, функция двух вещественных переменных превращается в функцию двух комплексных.

Про это я писал в одном из постов. Если все же эти переменные являются зависимыми (как на самом деле предполагает ф-ла (5)), то нельзя рассматривать частную производную по одной из них.

Поверьте, это серьезное замечание (мне так кажется). Я бы не стал тратить свое время на прямые придирки к словам. Поскольку автор статьи --- Вы, на Вас ложится задача объяснить, как одна или две гладкие функции двух вещественных переменных превращаются в одну или две функции комплексной и сопряженной переменной.

[Time]

Я посоветовался с соавтором как Вам лучше ответить, все же, что касается не столько уровня идей, сколько их нормального изложения - это его епархия. Посмотрите, может Вас удовлетворит такой ответ.
Вопрос в равной степени относится и к рассуждениям в стандартной ТФКП, используемым например у Шабата в книге "Введение в комплексный анализ". Переменные $h$ и $\bar h$ действительно нельзя считать независимыми как двойные переменные, поскольку задание $h$ автоматом определяет $\bar h$. Но чтобы задать $h$ необходимо задать два вещественных параметра $t$ и $x$. Т.е. пара двойных переменных $h$ и $\bar h$ эквивалентна паре вещественных в том смысле, что переход от $(h,\bar h)$ к $(t,x)$ представляет собой (комплексный) диффеоморфизм, точнее даже линейное преобразование с комплексными коэффициентами и отличным от нуля якобианом. Формальные операторы дифференцирования $d/dh=(1/2)(d/dt+jd/dx)$ и $d/{d\bar h}=(1/2)(d/dt-jd/dx)$ действуют на сами переменные так, что $dh/{d\bar h}=dh/{d\bar h}=0$, поэтому частное дифференцирование функций типа $F(h,\bar h)$ по переменным $h$ и $\bar h$ законно.
Для комплексной плоскости все аналогично.

Хоть, Вы и сказали, что у Вас нет мотивации для рассмотрения физической и геометрической инетрпретации $h$-голоморфных функций, вообще, и функции $ln(h)$, в частности, я все же рискну посоветовать посмотреть стр.99-101 уже обсуждавшегося сборника
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... ngp-13.pdf
На них как раз и дается интерпретация логарифму, которой я от Вас добивался. Останется желание - дальше рассматривается интерпретация в том же духе обратных степенных функций и гиперболической функции Жуковского. Нет проблем точно так же дать интерпретацию любой другой $h$-голоморфной функции. Что бы было лучше понятно, зачем это все нужно и к чему в принципе ведет, было бы хорошо посмотреть заключения на стр. 75-76 и 121-125. В любом случае, это легче, чем читать статьи полностью.. Ну, а там сами решайте, стОит ли тратить время на полный текст.

Как авторы мы заранее признаем, что не ставили перед собой задачи быть абсолютно строгими в математическом плане, решалась иная задача, о которой как раз и сказано в двух заключениях.

[glonas]

Time в сообщении #501955 писал(а):

Как авторы мы заранее признаем, что не ставили перед собой задачи быть абсолютно строгими в математическом плане, решалась иная задача, о которой как раз и сказано в двух заключениях.

Математически мощное утверждение. Пожалуй, самое мощное на все 28 страниц темы.

[Time]

glonas
Скажите, Вы действительо уверены, что создание самой ТФКП с самого начала сопровождалось абсолютно строгими в математическом плане выкладками и без оставления без внимания ряда проблем (в этом и есть математическая нестрогость), решение которых по принципу "все и сразу" нормальными людьми просто не возможно?