Многомерные расширения ТФКП

[bayak]

g______d в сообщении #502112 писал(а):

Нет, не согласен. Ровно по той же причине, которую я тогда указывал. У комплексно-аналитических функций есть принцип аналитического продолжения, а у гладких --- нет.

А переведите, пожалуйста, разговор в геометрическую плоскость. А то, следуя Вашей логике, у меня получается, что произвольное конформное преобразование некоторой области евклидовой плоскости может быть однозначно продолжено на всю плоскость, тогда как произвольное конформное преобразование некоторой области псевдоевклидовой плоскости не может быть однозначно продолжено на всю плоскость. Правильно я вас понял?

[Time]

g______d в сообщении #502112 писал(а):

Нет, не согласен. Ровно по той же причине, которую я тогда указывал. У комплексно-аналитических функций есть принцип аналитического продолжения, а у гладких --- нет.

Плоскость двойной переменной совсем не то же самое, что гладкая функция одной переменной или две одинаковых функции от двух разных аргументов. Так только представляется $h$-аналитическая функция в изотропном базисе. Отождествлять одно и другое, на мой взгляд, примерно то же самое, что утверждать, будто свойства двух изотропных прямых на псевдоевклидовой плоскости полностью эквивалентны свойствам всего двумерного псевдоевклидова пространства-времени между ними. Эти прямые с точки зрения всего остального пространства-времени даже интервал имеют нулевой. Куда уж тут ВСЕ свойства определять..
Так что, я бы не торопился утверждать в отношении плоскости двойной переменной, что все ее свойства идентичны свойствам гладкой (двух гладких и одинаковых) функции. Вы уверены, что на плоскости двойной переменной не выполняется принцип аналитического продолжения? Если не ошибаюсь, он сводится к тому, что по значению функции в точке и бесконечно малой ее окрестности можно восстановить эту функцию дальше. Если так, то на плоскости двойной переменной все обстоит примерно так же, с той разницей, что вмешиваются делители нуля, которые делят все пространство на четыре достаточно разобщенные части. Но ограничиваясь, например, внутренностью конуса будущего все должно быть хорошо. Или Вы о чем то другом?

g______d в сообщении #502112 писал(а):

Посмотрел я Ваш алгоритм. Там действительно написано, как для некоторых элементарных аналитических функций устроен их "гиперболический" аналог. Но функции бывают не только элементарные! Там что-то написано про ряды, да. Я не исключаю, что этот алгоритм можно продолжить даже на сходящиеся ряды Тейлора. По крайней мере, на это есть шансы.

Про алгоритм это в статье с Гарасько, а про ряды Тейлора - в статье с Кокаревым.
А разве не любая аналитическая функция комплексной переменной допускает разложение в ряд Тейлора? Пусть то же самое будет и для единственной гладкой функции одной переменной которая впаре со своим близнецом задает $h$-аналитичность функции двойной переменной (в предлагаемом новом ее понимании).

g______d в сообщении #502112 писал(а):

Но обратного алгоритма там нет, и Вы его никогда не напишете.

Что Вы тут понимали под "обратного алгоритма там нет"? Что нельзя установить соответствие для $h$-аналитической функции двойной переменной полученной при использовании гладкой не разлагающейся в сходящийся ряд Тейлора функции одной переменной и перейти к аналитической комплексной функции? Если так, то это всего лишь означает, что функции одной переменной должны быть не произвольными гладкими, а такими, которые как и комплексные функции разлагаются в ряд Тейлора.

g______d в сообщении #502112 писал(а):

Понимаете, гладкие функции не обязательно заданы формулой и не обязательно раскладываются в ряды. Их гораздо больше.

Выбрасывать, это не искать. Можно ограничить $h$-аналитичность связью не со всеми гладкими функциями, а с теми, что раскладываются в ряды. Что мешает?

g______d в сообщении #502112 писал(а):

Вы пытаетесь работать с функциями, как с формулами. Эта точка зрения исчерпала себя во второй половине 19 в. Функция --- это отображение с определенными свойствами (зависящими от того, какой класс функций рассматривается). Для произвольно выбранной гладкой функции практически наверняка просто теоретически нельзя выписать формулу.

Вы совсем не правильно понимаете главную цель. Речь ведь не о том, что бы использовать прелести произвольных гладких функций и достижения XX и XXI века. Задача в том, что бы распространить по максимуму все свойства обычных аналитических и антианалитических функций комплексной плоскости с их приложениями, через теорию того же комплексного потенциала, на их максимально полные аналоги на плоскости двойной переменной, то есть для двумерных задач физики, где есть только одно пространственное и одно временнОе измерение. Если это прокатывает, то дальше идем к трех и четырехмерным пространствам и времени, но не к псевдоримановым, а к финслеровым с метрикой Бервальда-Моора. Для начала вполне хватит разнообразия функций, раскладывающихся в ряды. Тем более, что задается многое одной единственной функцией одной вещественной переменной. Кстати, уже для трехмерных пространств аналитичность, вернее ее обобщение, будет связано не только с функциями одной переменной, но и двух.

Потом, в 19 веке еще не мыслили себе геометрию псевдоевклидова пространства-времени, думаю, с ней и до сих пор не нуачились полностью адекватно обращаться. Косвенным свидетельством резонности данного утверждения является отсутствие аналогичных трактовок конформных отображений евклидовой плоскости на псевдоевклидову. Что уж говорить о многомерных финслеровых пространствах. Хоть Риман о них и упомянул первым в 1854 году, а Финслер в 1918 даже диссертацию написал, до такого же хорошего уровня ориентирования как достигнуто на евклидовой плоскости еще далеко. Так что представляеют интерес даже элементарные функции двойной переменной, тем более, что ими наверняка дело не ограничивается. Ведь комплексные дают нам примеры не тольео элементарных функций? Вот и рассмотрим ВСЕ их аналоги на плоскости двойной переменной и применительно к их геометрическим и физическим интерпретациям.

[g______d]

bayak в сообщении #502123 писал(а):

А переведите, пожалуйста, разговор в геометрическую плоскость. А то, следуя Вашей логике, у меня получается, что произвольное конформное преобразование некоторой области евклидовой плоскости может быть однозначно продолжено на всю плоскость, тогда как произвольное конформное преобразование некоторой области псевдоевклидовой плоскости не может быть однозначно продолжено на всю плоскость. Правильно я вас понял?

Нет, неправильно. Оно может и не продолжаться, но если уж продолжается, то единственным образом. В отличие от гладкого отображения/гладкой функции.

[bayak]

g______d в сообщении #502129 писал(а):

Нет, неправильно. Оно может и не продолжаться, но если уж продолжается, то единственным образом. В отличие от гладкого отображения/гладкой функции.

Хорошо. Но это в равной мере относится и к конформным отображениям области псевдоевклидовой плоскости?

[g______d]

Time в сообщении #502124 писал(а):

Вы уверены, что на плоскости двойной переменной не выполняется принцип аналитического продолжения?

Для произвольных гладких функций он не выполняется нигде. По сути, Вы спрашиваете, не может ли появиться принцип аналитического продолжения для гладких функций, если их записать в других координатах. Ответ --- не может.

Time в сообщении #502124 писал(а):

Если не ошибаюсь, он сводится к тому, что по значению функции в точке и бесконечно малой ее окрестности можно восстановить эту функцию дальше. Если так, то на плоскости двойной переменной все обстоит примерно так же, с той разницей, что вмешиваются делители нуля, которые делят все пространство на четыре достаточно разобщенные части. Но ограничиваясь, например, внутренностью конуса будущего все должно быть хорошо. Или Вы о чем то другом?

Какую именно функцию? Произвольную гладкую --- нет. Произвольную $h$-голоморфную (согласно Вашему последнему определению) тоже нет, т. к. в нее входит произвольная гладкая.

Time в сообщении #502124 писал(а):

Про алгоритм это в статье с Гарасько, а про ряды Тейлора - в статье с Кокаревым. А разве не любая аналитическая функция комплексной переменной допускает разложение в ряд Тейлора?

Локально --- допускает. Я не особо настаиваю на том, что дырка именно здесь, хотя можно поспорить о радиусе сходимости.

Time в сообщении #502124 писал(а):

Что Вы тут понимали под "обратного алгоритма там нет"? Что нельзя установить соответствие для $h$-аналитической функции двойной переменной полученной при использовании гладкой не разлагающейся в сходящийся ряд Тейлора функции одной переменной и перейти к аналитической комплексной функции? Если так, то это всего лишь означает, что функции одной переменной должны быть не произвольными гладкими, а такими, которые как и комплексные функции разлагаются в ряд Тейлора.

Ну вот, Вы опять сужаете класс. Сначала утверждалось, что есть соответствие между всеми комплексно-аналитическими функциями и всеми $h$-голоморфными (согласно новому определению). А теперь Вы говорите, что от $h$-голоморфных требуется еще какая-то сходимость ряда. Т. е. уже соответствия (т. е. биекции) нет. Укажите, пожалуйста, два класса функций, между которыми есть биекция.

Time в сообщении #502124 писал(а):

Выбрасывать, это не искать. Можно ограничить $h$-аналитичность связью не со всеми гладкими функциями, а с теми, что раскладываются в ряды. Что мешает?

Мешает Ваше изначальное утверждение и общепринятое понятие словосочетания "взаимно однозначное соответствие".

-- 10.11.2011, 19:54 --

bayak в сообщении #502131 писал(а):

g______d в сообщении #502129 писал(а):

Нет, неправильно. Оно может и не продолжаться, но если уж продолжается, то единственным образом. В отличие от гладкого отображения/гладкой функции.

Хорошо. Но это в равной мере относится и к конформным отображениям области псевдоевклидовой плоскости?

Нет! Не относится. Я рад, что мы дошли до сути дела.

[bayak]

g______d в сообщении #502135 писал(а):

Нет! Не относится. Я рад, что мы дошли до сути дела.

А ведь это не очевидно. Почему конформные отображения псевдоевклидовой области не продолжаются единым образом? Что на этот счёт есть теорема? Что-то тут не так - на псевдоевклидовой плоскости ведь тоже есть углы (гиперболические), которые обязаны сохраняться при конформных преобразованиях.

[Time]

g______d в сообщении #502135 писал(а):

Ну вот, Вы опять сужаете класс. Сначала утверждалось, что есть соответствие между всеми комплексно-аналитическими функциями и всеми $h$-голоморфными (согласно новому определению). А теперь Вы говорите, что от $h$-голоморфных требуется еще какая-то сходимость ряда. Т. е. уже соответствия (т. е. биекции) нет. Укажите, пожалуйста, два класса функций, между которыми есть биекция.

Ну, если бы я был математиком, то может быть и указал бы. Знаю одно, что поскольку тот путь, который был в свое время пройден для комплексных чисел и функций от них, то есть через определение сходимости последовательности чисел - невозможен (из-за отсутствия представлений как работать с естественной топологией псевдоевклидовой плоскости), то остается только обходной маневр, который я и пытаюсь осуществить. Мы просто так должны определить $h$-голоморфность, что бы между такими функциями и голоморфными функциями комплексной переменной было максимально полное соответсвие. Поэтому мы и идем сейчас с Вами по пути отбрасывания всего лишнего, что делает еще не до конца суженные функции двойной переменной шире "чем нужно". То есть отбрасывем все, что мешает взаимнооднозначному соответствию. На сколько я понимаю, шансы что бы в конце такого отбрасывания лишнего среди свойств частного вида гладкой функции остались бы только те, что дают биекцию с комплексными аналитическими функциями - есть.

g______d в сообщении #502135 писал(а):

Мешает Ваше изначальное утверждение и общепринятое понятие словосочетания "взаимно однозначное соответствие".

Ну, мы же с Вами не отшлифованный годами аппарат обсуждаем, а находимся в поиске его отдельных составляющих. Вполне возможны и ошибки, и заблуждения. Главное, что бы направление поисков было выбрано правильно, в данном случае, это ожидание, что $h$-аналитичность функций двойной переменной можно определить так, что бы существовала биекция со ВСЕМИ аналитическими комплексными функциями, а приложения этих $h$-аналитических функций к геометрии двумерного пространства-времени были бы концептуально такими же как приложения аналитических функций к двумерным стационарным векторным полям.

[g______d]

bayak в сообщении #502142 писал(а):

g______d в сообщении #502135 писал(а):

Нет! Не относится. Я рад, что мы дошли до сути дела.

А ведь это не очевидно. Почему конформные отображения псевдоевклидовой области не продолжаются единым образом? Что на этот счёт есть теорема? Что-то тут не так - на псевдоевклидовой плоскости ведь тоже есть углы (гиперболические), которые обязаны сохраняться при конформных преобразованиях.

Да, есть. Читайте не только последний пост по теме. Конформные отображения псевдоевклидовой плоскости соответствуют парам гладких функций (точнее, парам диффеоморфизмов вещественной оси). Это доказано у Лаврентьева и Шабата. Диффеоморфизмы вещественной оси не продолжаются однозначно. Это известно любому первокурснику математической специальности.

[Time]

bayak в сообщении #502142 писал(а):

А ведь это не очевидно. Почему конформные отображения псевдоевклидовой области не продолжаются единым образом? Что на этот счёт есть теорема? Что-то тут не так - на псевдоевклидовой плоскости ведь тоже есть углы (гиперболические), которые обязаны сохраняться при конформных преобразованиях.

Если так можно выразиться, конформных преобразований псевдоевклидовой плоскости, оставляющих ее после преобразований плоскостью (кроме особых областей, естественно) существенно больше, чем аналогичных преобразований евклидовой плоскости. Задачу можно попробовать сформулировать так: можно ли среди всех конформных преобразований плоскости двойной переменной указать такие, что имеют взаимнооднозначное соответсвие со ВСЕМИ конформными преобразованиями комплексной плоскости? Если можно, то тогда и вопрос наличия для них аналога аналитического продолжения, возможно, решится положительно чуть ли не автоматически..
Во всяком случае мне так эта проблема видится.

-- Чт ноя 10, 2011 20:44:40 --

g______d,
Скажите, а требование, что бы гладкая функция одной вещественной переменной была бесконечно дифференцируемой, не реализует ситуацию с биекцией между задаваемой ею $h$-голоморфной функцией и соответствующей аналитической функцией комплексной переменной?

[Руст]

Пустой спор. Суть которой непонимание того, какую структуру определяем. В физике определяется геометрическая (непрерывная) структура, а не алгебраическая на объектах. Это означает (смотри мою цитированную ранее статью о двойственности между алгебраическими и непрерывными структурами), что структура определяется множеством морфизмовв простые объекты (кольца) и на них (на морфизмах в простые объекты) определяется структура алгебры дифференцируемых функций. Условие конформности и есть условие Коши-Римана (определяется для произвольных алгебр). В соответствии с тем, что Н является прямой суммой алгебры действительных чисел вытекает, что алгебра дифференцируемых (можете называть конформных) функций так же является прямой суммой алгебр действительных гладких функций одной переменной. В этом смысле различия между алгебрами функций настолько сильная, что попытка их сблизить с помощью сходящихся рядов Тейлора бессмысленная. Кокорев физик толковый и даже наиболее грамотный в математике физик. Однако все равно как математик ничего не представляет. Поэтому попытка его сопоставления двух алгебр функций путем выделения в одном из них подобной (в смысле топологии) подалгебры бессмысленна. Она бессмысленна ещё потому, что сами морфизмы (для непрерывной структуры) определяются алгебраически, как решения диф. уравнений. Которые в гиперболическом случае определяют в некоторой области польностью задавая граничные условия локально (это по сути причинно-следственность). В эллиптическом случае граничные условия необходимо знать глобально. Соответственно даже локально функция содержит всю информацию о граничных условиях и определяет жестко о значении функции во всем пространстве.

[g______d]

Time в сообщении #502159 писал(а):

g______d,
Скажите, а требование, что бы гладкая функция одной вещественной переменной была бесконечно дифференцируемой, не реализует ситуацию с биекцией между задаваемой ею $h$-голоморфной функцией и соответствующей аналитической функцией комплексной переменной?

Нет, не реализует. Бесконечно гладкие (именно это я имел в виду под словом "гладкие") и аналитические функции --- это разные вещи. Для бесконечно гладких функций нет аналитического продолжения.

[bayak]

g______d в сообщении #502148 писал(а):

Да, есть. Читайте не только последний пост по теме. Конформные отображения псевдоевклидовой плоскости соответствуют парам гладких функций (точнее, парам диффеоморфизмов вещественной оси). Это доказано у Лаврентьева и Шабата. Диффеоморфизмы вещественной оси не продолжаются однозначно. Это известно любому первокурснику математической специальности.

Действительно, так оно и есть. И углы там хитрые - задаются деформацией изотропного базиса.

Time в сообщении #502159 писал(а):

Если так можно выразиться, конформных преобразований псевдоевклидовой плоскости, оставляющих ее после преобразований плоскостью (кроме особых областей, естественно) существенно больше, чем аналогичных преобразований евклидовой плоскости. Задачу можно попробовать сформулировать так: можно ли среди всех конформных преобразований плоскости двойной переменной указать такие, что имеют взаимнооднозначное соответсвие со ВСЕМИ конформными преобразованиями комплексной плоскости? Если можно, то тогда и вопрос наличия для них аналога аналитического продолжения, возможно, решится положительно чуть ли не автоматически.. Во всяком случае мне так эта проблема видится.

А зачем оно (это соответствие) надо? Для физических интерпретаций оно ничего не даёт.

[g______d]

bayak в сообщении #502239 писал(а):

А зачем оно (это соответствие) надо? Для физических интерпретаций оно ничего не даёт.

Чтобы мотивировать слова "построен полный гиперболический аналог комплексных чисел", видимо.

[Time]

g______d в сообщении #502210 писал(а):

Нет, не реализует. Бесконечно гладкие (именно это я имел в виду под словом "гладкие") и аналитические функции --- это разные вещи. Для бесконечно гладких функций нет аналитического продолжения.

Ну, если Вы тут действительно правы, все равно, остается вариант рассматривать только такие функции двойной переменной, которые получаются из комплексно-аналитических путем соответствия "только в одну сторону". Поскольку нас больше интересует физика двумерного пространства-времени, стоящая за такими "хорошими" функциями двойной переменной, а не строгость математического определения еще и "в обратную сторону", постольку можно пока удовлетвориться и этим. Тем более, что таких функций бесконечное множество. Надеюсь, в логике такого "одностороннего" способа получения "h"-голоморфных функций Вы не найдете математического криминала. Или тоже что видите непроходного?

-- Чт ноя 10, 2011 22:40:32 --

bayak в сообщении #502239 писал(а):

А зачем оно (это соответствие) надо? Для физических интерпретаций оно ничего не даёт.

Конформные преобразования на евклидовой плоскости дают, а их гиперболические аналоги не дают? На мой взгляд, так не должно быть, тем более, что пока все построения основанные на такой логике дают вполне осмысленные векторные поля в двумерном пространстве-времени. Плюс подталкивают к поиску реальных взаимодействий устроенных именно так, как устроены эти векторные поля.
Вы правы только в том смысле, что среди всех известных современной физике пространственно-временнЫх двумерных векторных полей со строящимися по предложенному алгоритму корелируют только связанные с изометрическими преобразованиями. Они тоже относятся к классу конформных, но очень и очень частного вида. Почему бы не найти физическую интерпретацию и у всех тех конформных преобразований псевдоевклидовой плоскости, которые получаются, отталкиваясь от аналитических функций комплексной переменной?

-- Чт ноя 10, 2011 22:47:47 --

g______d в сообщении #502240 писал(а):

Чтобы мотивировать слова "построен полный гиперболический аналог комплексных чисел", видимо.

Не угадали.

[bayak]

Time в сообщении #502242 писал(а):

Почему бы не найти физическую интерпретацию и у всех тех конформных преобразований псевдоевклидовой плоскости, которые получаются, отталкиваясь от аналитических функций комплексной переменной?

Это очень искусственный приём.