Однородное гравитационное поле

[Munin]

В ОТО? В ньютоновской-то теории задача банальна.

[Someone]

A-u-uuu в сообщении #499287 писал(а):

Простейшее релятивистское обобщение однородного поля тяжести Ньютона :
$ds^2=-Adx^2-Ady^2-Cdz^2+Ddt^2$, где $A,C,D$ положительные функции координаты $z$ дают $A=(1-8gz)^{\frac {1}{2}}, C=(1-8gz)^{-\frac{5}{4}}, D=(1-8gz)^{-\frac{1}{4}}$

М-м-м... Собственно говоря, если ввести новую координату $z'=\frac 1{3g}(1-8gz)^{\frac 38}$, то получится метрика

$$ds^2=(3gz')^{-\frac 23}dt^2-(3gz')^{\frac 43}(dx^2+dy^2)-dz'^2,$$

отличающаяся от рассмотренной в сообщении http://dxdy.ru/post130377.html#p130377 только масштабами переменных $t,x,y$ (я ни в коем случае не претендую на авторство). Какое отношение указанная Вами метрика имеет к полю внутри проколотой сферы (которое в ньютоновском приближении, как Вам уже писали, действительно эквивалентно полю отрицательной массы, расположенной на месте "дырки")?

Ненулевые символы Кристоффеля для Вашей метрики следующие:

$$\Gamma^0_{03}=\Gamma^0_{30}=\frac g{1-8gz},$$

$$\Gamma^1_{13}=\Gamma^1_{31}=\Gamma^2_{23}=\Gamma^2_{32}=-\frac{2g}{1-8gz},$$

$$\Gamma^3_{00}=g,$$

$$\Gamma^3_{11}=\Gamma^3_{22}=2g\sqrt[4]{(1-8gz)^3},$$

$$\Gamma^3_{33}=\frac{5g}{1-8gz}.$$

Посмотрев на уравнения движения

$$\begin{cases}\frac{d^2t}{ds^2}+\frac{2g}{1-8gs}\frac{dt}{ds}\frac{dz}{ds}=0,\\ \frac{d^2x}{ds^2}-\frac{4g}{1-8gz}\frac{dx}{ds}\frac{dz}{ds}=0,\\ \frac{d^2x}{ds^2}-\frac{4g}{1-8gz}\frac{dx}{ds}\frac{dz}{ds}=0,\\ \frac{d^2y}{ds^2}-\frac{4g}{1-8gz}\frac{dy}{ds}\frac{dz}{ds}=0,\\ \frac{d^2z}{ds^2}+g\left(\frac{dt}{ds}\right)^2+2g\sqrt[4]{(1-8gz)^3}\left(\left(\frac{dx}{ds}\right)^2+\left(\frac{dy}{ds}\right)^2\right)+\frac{5g}{1-8gz}\left(\frac{dz}{ds}\right)^2=0,\end{cases}$$

можно понять, что при условии $\lvert 8gz\rvert\ll 1$, $\left\lvert\frac{dt}{ds}-1\right\rvert\ll 1$, $\left\lvert\frac{dx}{ds}\right\rvert\ll 1$, $\left\lvert\frac{dy}{ds}\right\rvert\ll 1$, $\left\lvert\frac{dz}{ds}\right\rvert\ll 1$ ускорение мало отличается от $g$, направленного параллельно оси $Oz$ в отрицательную сторону.

А что Вы, собственно говоря, хотели сказать или обсудить?

A-u-uuu в сообщении #499287 писал(а):

Таким образом, в первом приближении, гравитационное поле внутри массивной проколотой сферы будет однородным, а движение пробного тела равноускоренным.
Этот случай существенно отличается от лифта Эйнштейна, т.к. требуемая "локальность" необходимая для однородности гравитационного поля может иметь космологические масштабы.

А зачем такой огород городить? Возьмём пустую вселенную, в ней одинокую небольшую по размерам массу. Вдали от этой массы поле будет нисколько не хуже "однородным", чем поле проколотой сферы (более того, поле по существу такое же).

[Утундрий]

Кстати, мы ту тему кажется так и не добили? Там странноватое несимметричное решение получилось с пустым плоским по одну сторону и пустым искривленным, ограниченным от пустого плоского бесконечно долго ускоряющимся материальным слоем.

[epros]

A-u-uuu в сообщении #500648 писал(а):

А, однородность, вообще определена в ТО ?
...
Может быть однородность это тоже самое, что плоскость пространства-времени.

Однородность - это независимость от координаты. В статической равноускоренной СО величина ускорения свободного падения, увы, зависит от координаты $x$.

A-u-uuu в сообщении #500648 писал(а):

Это формула А.Ф.Богородского "Всемирное тяготение" НД Киев - 1971 г. Глава 5, параграф 17 (стр.185), она же разбирается в статье Д. Ионеску "Можно ли перенести понятие однородного гравитационного поля из классической механики в релятивистскую теорию гравитации" Теоретическая и математическая физика Том 130 № 2, февраль 2002.

Не знаю откуда и что Вы в данном случае вытащили, но метрика статической равноускоренной СО (в координатах Риндлера) выглядит так:
$ds^2 = x^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$

A-u-uuu в сообщении #500648 писал(а):

Возможно, но я не согласен, что прокол эквивалентен отрицательной массе. Площадь прокола существенна.

В Ньютоновской механике прокол можно заменить отрицательной точечной массой. В ОТО просто так прокол в статической сфере Вы не проделаете - это сразу нарушит статичность решения. Как изменить напряжения в сфере, чтобы после прокола она осталась статичной - это, вообще говоря, весьма нетривиальная задача.

Так что лучше выбросьте из головы Ваши проколотые сферы. К полю бесконечной плоскости они точно не имеют отношения.

[Munin]

epros в сообщении #501013 писал(а):

В ОТО просто так прокол в статической сфере Вы не проделаете - это сразу нарушит статичность решения.

Не факт.

[epros]

Munin в сообщении #501076 писал(а):

epros в сообщении #501013 писал(а):

В ОТО просто так прокол в статической сфере Вы не проделаете - это сразу нарушит статичность решения.

Не факт.

На статической сфере имеют место тангенциальные компоненты давления. Если из сферы что-то вырезать, то на границе возникает скачок давления. Соответственно, вырезанная область должна немедленно заполниться окружающим веществом (поток направляется градиентом давления).

[Munin]

epros в сообщении #501086 писал(а):

На статической сфере имеют место тангенциальные компоненты давления. Если из сферы что-то вырезать, то на границе возникает скачок давления.

Ну, пускай.

epros в сообщении #501086 писал(а):

Соответственно, вырезанная область должна немедленно заполниться окружающим веществом (поток направляется градиентом давления).

Это определяется законами динамики вещества. Например, может ничего не произойти. Рассмотрите твёрдую оболочку, как скорлупа яйца. А ваши представления соответствуют только варианту жидкости или газа. Собственно, из жидкости или газа и самой сферической оболочки не сделаешь...

[epros]

Munin в сообщении #501099 писал(а):

Это определяется законами динамики вещества. Например, может ничего не произойти. Рассмотрите твёрдую оболочку, как скорлупа яйца. А ваши представления соответствуют только варианту жидкости или газа. Собственно, из жидкости или газа и самой сферической оболочки не сделаешь...

Это для динамики любого вещества. Градиент давлений = нескомпенсированная сила. Тут два варианта: либо возникает (ускоренный) поток вещества, либо градиент давлений чем-то скомпенсируется. И тот и другой варианты соответствуют изменению картинки распределения тензора энергии-импульса, т.е. не подходят под статический случай.

[Шимпанзе]

Munin в сообщении #500848 писал(а):

В ОТО? В ньютоновской-то теории задача банальна.

Внешнее гравитационное поле "создаётся" самой оболочкой. Из уравнения Пуассона следует, что потенциал внутри непорочной оболочки везде равен
$\varphi= Gm/R$
Здесь $m$- масса, $R$ - радиус оболочки. От толщины оболочки потенциал не зависит.
На мой взгляд , задача для проколотой оболочки не банальна для обоих теорий.

[Munin]

epros в сообщении #501104 писал(а):

Это для динамики любого вещества. Градиент давлений = нескомпенсированная сила.

Кто вам сказал, что она нескомпенсированная?

epros в сообщении #501104 писал(а):

Тут два варианта: либо возникает (ускоренный) поток вещества, либо градиент давлений чем-то скомпенсируется. И тот и другой варианты соответствуют изменению картинки распределения тензора энергии-импульса, т.е. не подходят под статический случай.

Изменение по сравнению с предыдущей задачей - это не изменение со временем. Оно не противоречит стационарности (интересно, детей вы тоже учите язык коверкать?).

Шимпанзе в сообщении #501185 писал(а):

На мой взгляд , задача для проколотой оболочки не банальна для обоих теорий.

Ну что ж, значит, вы принципа суперпозиции недоучили. Мне не жаль.

[epros]

Munin в сообщении #501379 писал(а):

Кто вам сказал, что она нескомпенсированная?

ОТО. Там по определению кроме гравитации и тяготеющей материи с заданным тензором энергии-импульса ничего больше нет. Так что скомпесировать нечем.

Munin в сообщении #501379 писал(а):

Изменение по сравнению с предыдущей задачей - это не изменение со временем. Оно не противоречит стационарности (интересно, детей вы тоже учите язык коверкать?).

Чтобы не флудить, читайте что ли внимательнее. Выше я писал, что просто так прокол в сфере без нарушения её статичности проделать нельзя. Разумеется, если изменить распределение тензора энергии-импульса (на всей сфере, а не только в месте прокола), то статичности проколотой сферы можно добиться. И в следующем предложении об этом прямо было сказано:

epros в сообщении #501013 писал(а):

Как изменить напряжения в сфере, чтобы после прокола она осталась статичной - это, вообще говоря, весьма нетривиальная задача.

Не читаете, ёлы-палы, а берётесь комментировать...

[Lukin]

Я че-то пока не догнал.
Если в системе из двух тел одно отрицательной массы, а другое положительной, то тела ускоряются в одну сторону, при равных массах равное постоянное ускорение, расстояние неизменно (как в однородном поле), гравицапа, короче.
Дырка (отрицательной массы) не может ускоряться вместе с вырезанным фрагментом в одну сторону, т.к. дырка сама по себе, без сферы не существует, по той же причине к дырке не может быть приложена сила противодействия.
Значит сила противодействующая ускорению фрагмента придает сонаправленный импульс сфере (тот, который предназначался дырке).
С другой стороны, сила противодействующая ускорению фрагмента в системе фрагмент+сфера придает сфере противоположно направленный импульс (собственно, тоже равный по модулю импульсу фрагмента или дырки).
Т.к. масса сферы и в том и в другом случае одинакова $M_1=M_0- m_f + m_d$, где $M_1$ - масса проколотой сферы, $M_0$ - масса целой сферы, $m_f$ - масса вырезанного фрагмента, $m_d$ - масса дырки, то ерунда получается: сфера неподвижна, а фрагмент движется (ну и ЦМ пришел в движение).
Кроме того, дырки бывают разными, если проколоть треть или половину сферы, то отрицательной массы многовато получится.
Так же в начальный момент движения, когда расстояние между дыркой отрицательной массы и заполнявшим ее фрагментом стремиться к нулю, сила и ускорение фрагмента стремятся к бесконечности, причем чем ближе к точке старта, тем бесконечней.

[Munin]

epros в сообщении #501445 писал(а):

ОТО. Там по определению кроме гравитации и тяготеющей материи с заданным тензором энергии-импульса ничего больше нет. Так что скомпесировать нечем.

Это у вас какое-то странное определение. В той ОТО, которую я знаю, которая изложена в учебниках, у материи задан не просто ТЭИ, а лагранжиан, и своя отдельная динамика. В том числе могущая удерживать материю на месте, когда гравитация её куда-то тянет. Иначе ОТО была бы нелепой и неадекватной теорией.

epros в сообщении #501445 писал(а):

Чтобы не флудить, читайте что ли внимательнее. Выше я писал, что просто так прокол в сфере без нарушения её статичности проделать нельзя. Разумеется, если изменить распределение тензора энергии-импульса (на всей сфере, а не только в месте прокола), то статичности проколотой сферы можно добиться.

Ну наконец-то вы это произнесли.

epros в сообщении #501445 писал(а):

И в следующем предложении об этом прямо было сказано

Я нахожу, что "можно" и "нетривиальная задача" - разные утверждения, второе не имплицирует первого. Так что не было сказано.

Lukin в сообщении #501458 писал(а):

Т.к. масса сферы и в том и в другом случае одинакова $M_1=M_0- m_f + m_d$

Вы по ошибке учли одно и то же два раза. Правильная формула: $M_1=M_0-m_f=M_0+m_d,$ где $m_d=-m_f<0.$

[epros]

Munin в сообщении #501463 писал(а):

у материи задан не просто ТЭИ, а лагранжиан, и своя отдельная динамика

Не имеет отношения к сути дела. ТЭИ со скачком давления вдоль соответствующей оси при любом лагранжиане и динамике не может описывать статическое решение.

Munin в сообщении #501463 писал(а):

Я нахожу, что "можно" и "нетривиальная задача" - разные утверждения, второе не имплицирует первого.

В данном контексте имплицирует, вполне понятным для непредвзятого читателя образом.

[Munin]

epros в сообщении #501473 писал(а):

ТЭИ со скачком давления вдоль соответствующей оси при любом лагранжиане и динамике не может описывать статическое решение.

А это уже Декларацыя. Доказывайте.

epros в сообщении #501473 писал(а):

В данном контексте имплицирует, вполне понятным для непредвзятого читателя образом.

Для меня не имплицирует. Значит, квантора всеобщности уже нет. А вашего "непредвзятого читателя" ещё поискать, вы тут с конкретным мной (в частности) разговариваете.

-- 09.11.2011 19:35:19 --

epros в сообщении #501473 писал(а):

ТЭИ со скачком давления вдоль соответствующей оси при любом лагранжиане и динамике не может описывать статическое решение.

Кстати, у меня для вас новость. Яичная скорлупа с дырочкой существует.