2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Однородное гравитационное поле
Сообщение07.11.2011, 23:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
В ОТО? В ньютоновской-то теории задача банальна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное гравитационное поле
Сообщение08.11.2011, 00:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17999
Москва
A-u-uuu в сообщении #499287 писал(а):
Простейшее релятивистское обобщение однородного поля тяжести Ньютона :
$ds^2=-Adx^2-Ady^2-Cdz^2+Ddt^2$, где $A,C,D$ положительные функции координаты $z$ дают $A=(1-8gz)^{\frac {1}{2}}, C=(1-8gz)^{-\frac{5}{4}}, D=(1-8gz)^{-\frac{1}{4}}$
М-м-м... Собственно говоря, если ввести новую координату $z'=\frac 1{3g}(1-8gz)^{\frac 38}$, то получится метрика $$ds^2=(3gz')^{-\frac 23}dt^2-(3gz')^{\frac 43}(dx^2+dy^2)-dz'^2,$$ отличающаяся от рассмотренной в сообщении http://dxdy.ru/post130377.html#p130377 только масштабами переменных $t,x,y$ (я ни в коем случае не претендую на авторство). Какое отношение указанная Вами метрика имеет к полю внутри проколотой сферы (которое в ньютоновском приближении, как Вам уже писали, действительно эквивалентно полю отрицательной массы, расположенной на месте "дырки")?

Ненулевые символы Кристоффеля для Вашей метрики следующие: $$\Gamma^0_{03}=\Gamma^0_{30}=\frac g{1-8gz},$$ $$\Gamma^1_{13}=\Gamma^1_{31}=\Gamma^2_{23}=\Gamma^2_{32}=-\frac{2g}{1-8gz},$$ $$\Gamma^3_{00}=g,$$ $$\Gamma^3_{11}=\Gamma^3_{22}=2g\sqrt[4]{(1-8gz)^3},$$ $$\Gamma^3_{33}=\frac{5g}{1-8gz}.$$ Посмотрев на уравнения движения $$\begin{cases}\frac{d^2t}{ds^2}+\frac{2g}{1-8gs}\frac{dt}{ds}\frac{dz}{ds}=0,\\ \frac{d^2x}{ds^2}-\frac{4g}{1-8gz}\frac{dx}{ds}\frac{dz}{ds}=0,\\ \frac{d^2x}{ds^2}-\frac{4g}{1-8gz}\frac{dx}{ds}\frac{dz}{ds}=0,\\ \frac{d^2y}{ds^2}-\frac{4g}{1-8gz}\frac{dy}{ds}\frac{dz}{ds}=0,\\ \frac{d^2z}{ds^2}+g\left(\frac{dt}{ds}\right)^2+2g\sqrt[4]{(1-8gz)^3}\left(\left(\frac{dx}{ds}\right)^2+\left(\frac{dy}{ds}\right)^2\right)+\frac{5g}{1-8gz}\left(\frac{dz}{ds}\right)^2=0,\end{cases}$$ можно понять, что при условии $\lvert 8gz\rvert\ll 1$, $\left\lvert\frac{dt}{ds}-1\right\rvert\ll 1$, $\left\lvert\frac{dx}{ds}\right\rvert\ll 1$, $\left\lvert\frac{dy}{ds}\right\rvert\ll 1$, $\left\lvert\frac{dz}{ds}\right\rvert\ll 1$ ускорение мало отличается от $g$, направленного параллельно оси $Oz$ в отрицательную сторону.

А что Вы, собственно говоря, хотели сказать или обсудить?

A-u-uuu в сообщении #499287 писал(а):
Таким образом, в первом приближении, гравитационное поле внутри массивной проколотой сферы будет однородным, а движение пробного тела равноускоренным.
Этот случай существенно отличается от лифта Эйнштейна, т.к. требуемая "локальность" необходимая для однородности гравитационного поля может иметь космологические масштабы.
А зачем такой огород городить? Возьмём пустую вселенную, в ней одинокую небольшую по размерам массу. Вдали от этой массы поле будет нисколько не хуже "однородным", чем поле проколотой сферы (более того, поле по существу такое же).

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное гравитационное поле
Сообщение08.11.2011, 00:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
30/12/24
12599
Кстати, мы ту тему кажется так и не добили? Там странноватое несимметричное решение получилось с пустым плоским по одну сторону и пустым искривленным, ограниченным от пустого плоского бесконечно долго ускоряющимся материальным слоем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное гравитационное поле
Сообщение08.11.2011, 09:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10986
A-u-uuu в сообщении #500648 писал(а):
А, однородность, вообще определена в ТО ?
...
Может быть однородность это тоже самое, что плоскость пространства-времени.
Однородность - это независимость от координаты. В статической равноускоренной СО величина ускорения свободного падения, увы, зависит от координаты $x$.

A-u-uuu в сообщении #500648 писал(а):
Это формула А.Ф.Богородского "Всемирное тяготение" НД Киев - 1971 г. Глава 5, параграф 17 (стр.185), она же разбирается в статье Д. Ионеску "Можно ли перенести понятие однородного гравитационного поля из классической механики в релятивистскую теорию гравитации" Теоретическая и математическая физика Том 130 № 2, февраль 2002.
Не знаю откуда и что Вы в данном случае вытащили, но метрика статической равноускоренной СО (в координатах Риндлера) выглядит так:
$ds^2 = x^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$

A-u-uuu в сообщении #500648 писал(а):
Возможно, но я не согласен, что прокол эквивалентен отрицательной массе. Площадь прокола существенна.
В Ньютоновской механике прокол можно заменить отрицательной точечной массой. В ОТО просто так прокол в статической сфере Вы не проделаете - это сразу нарушит статичность решения. Как изменить напряжения в сфере, чтобы после прокола она осталась статичной - это, вообще говоря, весьма нетривиальная задача.

Так что лучше выбросьте из головы Ваши проколотые сферы. К полю бесконечной плоскости они точно не имеют отношения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное гравитационное поле
Сообщение08.11.2011, 13:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
epros в сообщении #501013 писал(а):
В ОТО просто так прокол в статической сфере Вы не проделаете - это сразу нарушит статичность решения.

Не факт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное гравитационное поле
Сообщение08.11.2011, 13:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10986
Munin в сообщении #501076 писал(а):
epros в сообщении #501013 писал(а):
В ОТО просто так прокол в статической сфере Вы не проделаете - это сразу нарушит статичность решения.
Не факт.
На статической сфере имеют место тангенциальные компоненты давления. Если из сферы что-то вырезать, то на границе возникает скачок давления. Соответственно, вырезанная область должна немедленно заполниться окружающим веществом (поток направляется градиентом давления).

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное гравитационное поле
Сообщение08.11.2011, 14:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
epros в сообщении #501086 писал(а):
На статической сфере имеют место тангенциальные компоненты давления. Если из сферы что-то вырезать, то на границе возникает скачок давления.

Ну, пускай.

epros в сообщении #501086 писал(а):
Соответственно, вырезанная область должна немедленно заполниться окружающим веществом (поток направляется градиентом давления).

Это определяется законами динамики вещества. Например, может ничего не произойти. Рассмотрите твёрдую оболочку, как скорлупа яйца. А ваши представления соответствуют только варианту жидкости или газа. Собственно, из жидкости или газа и самой сферической оболочки не сделаешь...

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное гравитационное поле
Сообщение08.11.2011, 14:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10986
Munin в сообщении #501099 писал(а):
Это определяется законами динамики вещества. Например, может ничего не произойти. Рассмотрите твёрдую оболочку, как скорлупа яйца. А ваши представления соответствуют только варианту жидкости или газа. Собственно, из жидкости или газа и самой сферической оболочки не сделаешь...
Это для динамики любого вещества. Градиент давлений = нескомпенсированная сила. Тут два варианта: либо возникает (ускоренный) поток вещества, либо градиент давлений чем-то скомпенсируется. И тот и другой варианты соответствуют изменению картинки распределения тензора энергии-импульса, т.е. не подходят под статический случай.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное гравитационное поле
Сообщение08.11.2011, 17:18 
Заблокирован
Аватара пользователя


21/04/06

4930
Munin в сообщении #500848 писал(а):
В ОТО? В ньютоновской-то теории задача банальна.

Внешнее гравитационное поле "создаётся" самой оболочкой. Из уравнения Пуассона следует, что потенциал внутри непорочной оболочки везде равен
$\varphi= Gm/R$
Здесь $m$- масса, $R$ - радиус оболочки. От толщины оболочки потенциал не зависит.
На мой взгляд , задача для проколотой оболочки не банальна для обоих теорий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное гравитационное поле
Сообщение08.11.2011, 23:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
epros в сообщении #501104 писал(а):
Это для динамики любого вещества. Градиент давлений = нескомпенсированная сила.

Кто вам сказал, что она нескомпенсированная?

epros в сообщении #501104 писал(а):
Тут два варианта: либо возникает (ускоренный) поток вещества, либо градиент давлений чем-то скомпенсируется. И тот и другой варианты соответствуют изменению картинки распределения тензора энергии-импульса, т.е. не подходят под статический случай.

Изменение по сравнению с предыдущей задачей - это не изменение со временем. Оно не противоречит стационарности (интересно, детей вы тоже учите язык коверкать?).

Шимпанзе в сообщении #501185 писал(а):
На мой взгляд , задача для проколотой оболочки не банальна для обоих теорий.

Ну что ж, значит, вы принципа суперпозиции недоучили. Мне не жаль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное гравитационное поле
Сообщение09.11.2011, 08:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10986
Munin в сообщении #501379 писал(а):
Кто вам сказал, что она нескомпенсированная?
ОТО. Там по определению кроме гравитации и тяготеющей материи с заданным тензором энергии-импульса ничего больше нет. Так что скомпесировать нечем.

Munin в сообщении #501379 писал(а):
Изменение по сравнению с предыдущей задачей - это не изменение со временем. Оно не противоречит стационарности (интересно, детей вы тоже учите язык коверкать?).
Чтобы не флудить, читайте что ли внимательнее. Выше я писал, что просто так прокол в сфере без нарушения её статичности проделать нельзя. Разумеется, если изменить распределение тензора энергии-импульса (на всей сфере, а не только в месте прокола), то статичности проколотой сферы можно добиться. И в следующем предложении об этом прямо было сказано:
epros в сообщении #501013 писал(а):
Как изменить напряжения в сфере, чтобы после прокола она осталась статичной - это, вообще говоря, весьма нетривиальная задача.
Не читаете, ёлы-палы, а берётесь комментировать...

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное гравитационное поле
Сообщение09.11.2011, 10:04 


06/07/11
192
Я че-то пока не догнал.
Если в системе из двух тел одно отрицательной массы, а другое положительной, то тела ускоряются в одну сторону, при равных массах равное постоянное ускорение, расстояние неизменно (как в однородном поле), гравицапа, короче.
Дырка (отрицательной массы) не может ускоряться вместе с вырезанным фрагментом в одну сторону, т.к. дырка сама по себе, без сферы не существует, по той же причине к дырке не может быть приложена сила противодействия.
Значит сила противодействующая ускорению фрагмента придает сонаправленный импульс сфере (тот, который предназначался дырке).
С другой стороны, сила противодействующая ускорению фрагмента в системе фрагмент+сфера придает сфере противоположно направленный импульс (собственно, тоже равный по модулю импульсу фрагмента или дырки).
Т.к. масса сферы и в том и в другом случае одинакова $M_1=M_0- m_f + m_d$, где $M_1$ - масса проколотой сферы, $M_0$ - масса целой сферы, $m_f$ - масса вырезанного фрагмента, $m_d$ - масса дырки, то ерунда получается: сфера неподвижна, а фрагмент движется (ну и ЦМ пришел в движение).
Кроме того, дырки бывают разными, если проколоть треть или половину сферы, то отрицательной массы многовато получится.
Так же в начальный момент движения, когда расстояние между дыркой отрицательной массы и заполнявшим ее фрагментом стремиться к нулю, сила и ускорение фрагмента стремятся к бесконечности, причем чем ближе к точке старта, тем бесконечней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное гравитационное поле
Сообщение09.11.2011, 10:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
epros в сообщении #501445 писал(а):
ОТО. Там по определению кроме гравитации и тяготеющей материи с заданным тензором энергии-импульса ничего больше нет. Так что скомпесировать нечем.

Это у вас какое-то странное определение. В той ОТО, которую я знаю, которая изложена в учебниках, у материи задан не просто ТЭИ, а лагранжиан, и своя отдельная динамика. В том числе могущая удерживать материю на месте, когда гравитация её куда-то тянет. Иначе ОТО была бы нелепой и неадекватной теорией.

epros в сообщении #501445 писал(а):
Чтобы не флудить, читайте что ли внимательнее. Выше я писал, что просто так прокол в сфере без нарушения её статичности проделать нельзя. Разумеется, если изменить распределение тензора энергии-импульса (на всей сфере, а не только в месте прокола), то статичности проколотой сферы можно добиться.

Ну наконец-то вы это произнесли.

epros в сообщении #501445 писал(а):
И в следующем предложении об этом прямо было сказано

Я нахожу, что "можно" и "нетривиальная задача" - разные утверждения, второе не имплицирует первого. Так что не было сказано.

Lukin в сообщении #501458 писал(а):
Т.к. масса сферы и в том и в другом случае одинакова $M_1=M_0- m_f + m_d$

Вы по ошибке учли одно и то же два раза. Правильная формула: $M_1=M_0-m_f=M_0+m_d,$ где $m_d=-m_f<0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное гравитационное поле
Сообщение09.11.2011, 11:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10986
Munin в сообщении #501463 писал(а):
у материи задан не просто ТЭИ, а лагранжиан, и своя отдельная динамика
Не имеет отношения к сути дела. ТЭИ со скачком давления вдоль соответствующей оси при любом лагранжиане и динамике не может описывать статическое решение.

Munin в сообщении #501463 писал(а):
Я нахожу, что "можно" и "нетривиальная задача" - разные утверждения, второе не имплицирует первого.
В данном контексте имплицирует, вполне понятным для непредвзятого читателя образом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное гравитационное поле
Сообщение09.11.2011, 18:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
epros в сообщении #501473 писал(а):
ТЭИ со скачком давления вдоль соответствующей оси при любом лагранжиане и динамике не может описывать статическое решение.

А это уже Декларацыя. Доказывайте.

epros в сообщении #501473 писал(а):
В данном контексте имплицирует, вполне понятным для непредвзятого читателя образом.

Для меня не имплицирует. Значит, квантора всеобщности уже нет. А вашего "непредвзятого читателя" ещё поискать, вы тут с конкретным мной (в частности) разговариваете.

-- 09.11.2011 19:35:19 --

epros в сообщении #501473 писал(а):
ТЭИ со скачком давления вдоль соответствующей оси при любом лагранжиане и динамике не может описывать статическое решение.

Кстати, у меня для вас новость. Яичная скорлупа с дырочкой существует.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 61 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group