Производящие функции

[likusta]

Почему верно следующее утверждение:
Если $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$ производящая функция, то $A(0)=a_0$. Ведь $ s $ имеет формальный смысл, и значения $A(s)$ не определенны точке.

[_hum_]

Может, потому, что производящая функция все-таки считается функцией, а не просто формальной записью?

[Joker_vD]

_hum_ в сообщении #501221 писал(а):

Может, потому, что производящая функция все-таки считается функцией, а не просто формальной записью?

Вообще-то, она все-таки формальная запись.

likusta
Все просто: если вы подставите $0$ вместо $s$, то получите $A(0)=a_0+0+0+\ldots+0+\ldots$. По соглашению, сумма любого количества нулей (хоть несчетного) равна нулю.

[_hum_]

Joker_vD

(Оффтоп)

Как же ж тогда они эти формальные выражения $\sum_{k=0}^\infty a_k s^k$ приравнивают функциям $f(s)$, с тем, чтобы по коэффициентом разложения в ряд Тейлора последних найти числовое выражение для $a_k$? И какой вообще смысл относиться к ним как к записям, а не как к степенным рядам?

[Joker_vD]

_hum_

(Оффтоп)

А вот иногда оказывается, что такая формальная запись задает функцию, т.е. нарисованный формальный ряд сходится для некоторых вещественных $s$. Кстати, почему вы противопоставляете "записи" и "степенные ряды"? И числовой, и степенной ряд определяются как формальные суммы определенного вида. Потом вводят понятие суммы и предельной функции, но это уже другая история.

[likusta]

Спасибо!
Хотел еще узнать, если нам даны две производящие функции:
$A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$
$B(t)=b_0+b_1t+b_2t^2+\ldots$
и $ B(0)=b_0=0$
Тогда чему будет равно $A(B(t))$? Как делается эта подстановка, не могу понять.

[arseniiv]

[Ух ты, нигде не видел нужды в такой подстановке.] Так же и делается. Заменяете $s$ на $B(t)$ в $a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \ldots$, потом раскрываете скобки. Возвести $b_0 + b_1 t + b_2 t^2 + \ldots$ в квадрат можно так: пишете что-то вроде

$\begin{array}{|l|l|l|l|l|} \hline & {\color{blue}b_0} & {\color{blue}b_1 t} & {\color{blue}b_2 t^2} & {\color{blue}\cdots} \\\hline {\color{blue}b_0} & & & & \\\hline {\color{blue}b_1 t} & & & & \\\hline {\color{blue}b_2 t^2} & & & & \\\hline {\color{blue}\vdots} & & & & \\\hline \end{array}$

потом перемножаете элементы строк и столбцов, вписывая в клетки (так иногда большущие многочлены умножают, вроде),

\definecolor{gr}{rgb}{0,0.5,0} $\begin{array}{|l|l|l|l|l|} \hline & {\color{blue}b_0} & {\color{blue}b_1 t} & {\color{blue}b_2 t^2} & {\color{blue}\cdots} \\\hline {\color{blue}b_0} & b_0 b_0 & b_0 b_1 t & {\color{gr}b_0 b_2 t^2} & \cdots \\\hline {\color{blue}b_1 t} & b_0 b_1 t & {\color{gr}b_1 b_1 t^2} & b_1 b_2 t^3 & \cdots \\\hline {\color{blue}b_2 t^2} & {\color{gr}b_0 b_2 t^2} & b_1 b_2 t^3 & b_2 b_2 t^4 & \cdots \\\hline {\color{blue}\vdots} & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\\hline \end{array}$

а потом видите, что одинаковые степени $t$ стоят на побочных (или как они называются? ) диагоналях. Получается, что коэффициент при $t^2$ будет равен $b_0 b_2 + b_1 b_1 + b_2 b_0$ и, вообще, коэффициент при $t^n$ будет $\sum_{i = 0}^n b_i b_{n-i}$. Последовательность с такими членами, наверно, вы знаете, называется свёрткой последовательности $(b_i)$ с собой. Аналогично можно получить последовательности, производящая функция которых $B^3(t)$ и так далее.

-- Вт ноя 08, 2011 23:31:35 --

Да, там ведь надо ещё сворачивать…

Таким образом вы получите, что

$$A(B(t)) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + a_3 s^3 + \ldots = a_0 + a_1 \sum_{i=0}^{\infty} b_i t^i + a_2 \sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^i b_j b_{i-j} t^i + a_3 \sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^i \sum_{k=0}^j b_k b_{j-k} b_{i-j} t^i + \ldots,$$

если не напутал с последними индексами у $b$.

Как теперь разделить коэффициенты при разных $t^n$, пока не дошло, но это должно быть, по идее, широко известным.

-- Вт ноя 08, 2011 23:42:03 --

Посмотрим, какие множители «приходят» из разных сумм.

Например, к $t$ из первой суммы приходит $b_1$, из второй — $b_0 b_1 + b_1 b_0$, из третьей — $b_0 b_0 b_1 + b_0 b_1 b_0 + b_1 b_0 b_0$ и т. д.. Для этого случая можно сразу сказать, что коэффициент при $t$ в итоге будет $b_1 (1 + 2b_0 + 3b_0^2 + 4b_0^3 + \ldots) = b_1 \sum_{n=0}^{\infty} (n + 1) b_0^n$.

Смотрим на $t^2$: из первой суммы $b_2$, из второй — $b_0 b_2 + b_1 b_1 + b_2 b_0$, из третьей — $b_0 b_0 b_2 + b_0 b_2 b_0 + b_2 b_0 b_0 + b_0 b_1 b_1 + b_1 b_0 b_0 + b_1 b_0 b_1$… Не могу сразу сказать, какой свёрнутой и относительно простой суммой можно было бы выразить.

Дела будут намного проще, если в $(a_n)$ или $(b_n)$ все члены, начиная с какого-нибудь, нулевые. Или в обоих.

[_hum_]

Joker_vD

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #501245 писал(а):

_hum_
А вот иногда оказывается, что такая формальная запись задает функцию, т.е. нарисованный формальный ряд сходится для некоторых вещественных $s$. Кстати, почему вы противопоставляете "записи" и "степенные ряды"? И числовой, и степенной ряд определяются как формальные суммы определенного вида. Потом вводят понятие суммы и предельной функции, но это уже другая история.

Ну, не знаю, меня учили, что числовой ряд - это в первую очередь последовательность соответствующих частичных сумм - то есть вполне математический объект (последовательность чисел или функций), а не какая-то абстрактная формальная запись (бесконечная строка из символов).

[caxap]

likusta в сообщении #501201 писал(а):

Ведь $ s $ имеет формальный смысл, и значения $A(s)$ не определенны точке.

Верно. Но тут ситуация почти такая же, как с (формальными) многочленами. Пусть имеется многочлен $f=\sum_{k=0}^n a_k s^k \in K[s]$. Ему можно однозначно поставить в соответствие функцию $\Pi(f)\colon K\to K,\ x\mapsto \sum_{k=0}^n a_k x^k$. В качестве вольности речи $\Pi$ опускают. У Кострикина ("Введение в алгебру") я что-то видел по этому поводу.

С формальными рядами (= "производящими функциями") несколько сложнее найти естественное $\Pi$, ибо не всегда ясно, что иметь под бесконечной суммой. Однако часто (напр. при $K=\mathbb R$) -- ясно; это обычная сумма ряда.

likusta в сообщении #501248 писал(а):

Тогда чему будет равно $A(B(t))$? Как делается эта подстановка, не могу понять.

Формально.

[Хорхе]

Когда-то я уже высказывал свое убеждение, но повторю.

Производящие функции -- это все-таки формальные записи (поэтому термин "производящая функция" не люблю, мне нравится в украинском -- "генератриса"). Это запись последовательности, которая благодаря своему степеннорядному виду удобнее в обращении и удобнее для интуиции. Этот формальный объект, конечно, может при надобности и при возможности обретать конкретное воплощение в виде аналитической функции. Более того, любая генератриса -- предел генератрис, для которых существуют аналитические воплощения (например, многочленов), и поэтому применяя аналитическо-функциональную интуицию к генератрисам, мы редко ошибемся.

Из-за этого убеждения, например, я никогда не скажу студентам: "для вывода генератрисы чисел Фибоначчи умножим рекуррентное соотношение на $x^n$ и сложим по $n$ от нуля до бесконечности". (Хотя это, безусловно можно делать, если понимать, что это сложением и генератрис -- без всякого "умножения на $x^n$"!, -- а не со сложение каких-то, скажем, действительнозначных функций.)

upd: пока писал, caxap изложил практически мою мысль. Все ж пусть будет.

[Joker_vD]

_hum_

(Оффтоп)

Наверное, это дело вкуса. Мне, как алгебраисту, ближе определение через формальную запись — на произвольном поле $k$ топологию редко вводят, а ряды Тейлора все равно встречаются. Но и определение как последовательности частичных сумм тоже имеет право на существование, вот только оно подразумевает, что сейчас будет вводиться ее предел — поэтому такое определение удобнее для топологов.

[Padawan]

likusta в сообщении #501248 писал(а):

Спасибо!
Хотел еще узнать, если нам даны две производящие функции:
$A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$
$B(t)=b_0+b_1t+b_2t^2+\ldots$
и $ B(0)=b_0=0$
Тогда чему будет равно $A(B(t))$? Как делается эта подстановка, не могу понять.

Если это действительно функции, то есть сходятся в некоторой окрестности нуля, то надо просто взять, подставить, возвести каждое слагаемое в степень и почленно сложить, о чём и говорил arseniiv. Если же это формальные степенные ряды, то это действие не определено, и скорее всего бессмысленно. Короче, формальные ряды друг в друга подставлять нельзя. Нет такой операции.

Добавление: Если $b_0=0$, то всё-таки можно, см. ниже.

[Хорхе]

Нет, композиция формальных степенных рядов $A(B(t))$ таки определена, если $b_0=0$, и определена именно так, как написал arseniiv. И это как раз очень важно!

[Padawan]

Хорхе
Да, Вы правы, прошу прощения. Так как $b_0=0$, то $B^m(t)$ начинается со степени $t^m$, а значит в итоговой сумме в коэффициент при $t^k$ войдет только конечное число слагаемых -- от $B^0(t), B^1(t),\ldots, B^k(t)$.
У arseniiv $b_0$ присутствует, и, соотвественно, суммы бесконечные. Это меня и сбило с толку

[_hum_]

Хорхе

(Оффтоп)

А можно в качестве ликбеза какой-нибудь простой пример, где было бы видно, что манипулирование с формальными степенными рядами, которые при этом не могут представлять никакую функцию, может быть полезным?