Производящие функции

[Хорхе]

Например, тут, примеры I.19, II.15. Есть и более продвинутые примеры, но это надо далеко лезть и искать.

На самом деле манипулирование с формальными степенными рядами в первую очередь полезно тем, что Вам не нужно задумываться о сходимости. Вот два примера утверждения, одно аналитическое, другое в духе формальных степенных рядов.

Теорема Если эпф (экспоненциальная производящая функция) $A$ комбинаторного класса с метками $\mathcal A$ аналитична в окрестности нуля и $A(0)=0$, то эпф класса, элементами которого являются циклы, составленные из элементов $\mathcal A$, аналитична в окрестности нуля и задается формулой $-\log (1-A(z))$.

Теорема' Если в комбинаторном классе $\mathcal A$ с метками нет нейтрального объекта, то эг (экспоненциальная генератриса) класса, элементами которого являются циклы, составленные из элементов $\mathcal A$ задается формулой $-\log (1-A(z))$, где $A$ -- эг $\mathcal A$.

Разница налицо: если мы говорим на языке формальных степенных рядов, то нам не надо каждый раз делать эти оговорки про аналитичность.

[_hum_]

Хорхе

(Оффтоп)

Тяжеловато, конечно...
Пока создалось такое представление, что просто вынесли из работы с обычными степенными рядами алгебраическую структуру и начали ее рассматривать отдельно (как кольцо формальных степенных рядов/последовательностей коэффициентов). А поскольку в манипуляциях многочленами и степенными рядами "зашита" комбинаторика (вот только где именно - повторное применение дистрибутивности при возведении в степень?), то эта алгебраическая структура оказалась полезной для формулировки и решения комбинаторных задач.