одно интегральное уравнение

[drug39]

Имеется уравнение
$ \int_{-1}^1 \frac{\sigma(x)}{x-\xi}dx=0 $.
Подскажите, пожалуйста, какое-нибудь простое четное частное решение, кроме этого
$\sigma(x)$ ~ $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

[Хорхе]

Проверьте и исправьте уравнение. Так, как написано, только нуль подходит.

[Полосин]

Насколько я понимаю, речь идет об уравнении
$\int\limits_{-1}^1\dfrac{\sigma(t)dt}{t-x}=0$, $-1<x<1$. Никаких других нетривиальных решений, кроме указанного (с произвольным постоянным множителем), оно не имеет. Подробнее см., например, Ф.Д. Гахов. Краевые задачи.

[drug39]

Справедливо замечено, забыл сказать, что $-1<\xi<1$. Спасибо, Гахова я постараюсь посмотреть. Должен еще добавить, что гладкость функции $\sigma(x)$ у концов отрезка не требуется, всвязи с этим, предполагаю, решений должно быть больше.

[Полосин]

Напрасно предполагаете: как раз отказ от требования ограниченности на концах и позволяет построить нетривиальное решение однородной задачи. В общем, читайте Гахова.

[drug39]

Для строгой постановки задачи похоже Вы правы. Я предлагаю рассмотреть рассширенную постановку. Если бы уравнение выглядело бы так
$ \int_{-1}^1 \frac{\sigma(x)}{x-\xi}dx=\delta(\xi+1)-\delta(\xi-1) $,
разьве решение было таким же?...

[Oleg Zubelevich]

дельта-функций на границе области, в которой решается задача, не бывает в стандартной науке. Точнее говоря, такая дельта-функция это просто тождественный 0

[drug39]

Ну, пусть, для математической строгости,
$ \int_{-1}^1 \frac{\sigma(x)}{x-\xi}dx=\delta(\xi+1-o)-\delta(\xi-1+o) $,
где $o\rightarrow +0$.

[drug39]

Раз решение уравнения
$ \int_{-1}^1 \frac{\sigma(x)}{x-\xi}dx=0, -1<\xi<1, $
оказалось хорошо известным, то не дадите ли по ходу решение похожего уравнения
$ \int_{-1}^1 \frac{\tau(x)}{(x-\xi)|x-\xi|}dx=0, -1<\xi<1 $.

[Morkonwen]

drug39 в сообщении #515032 писал(а):

Раз решение уравнения
$ \int_{-1}^1 \frac{\sigma(x)}{x-\xi}dx=0, -1<\xi<1, $
оказалось хорошо известным, то не дадите ли по ходу решение похожего уравнения
$ \int_{-1}^1 \frac{\tau(x)}{(x-\xi)|x-\xi|}dx=0, -1<\xi<1 $.

Мои проблемы похожи на ваши. Глянул по совету Гахова, там мощная общая теория например для уравнений вида

$\phi(t)+\int_{L} \frac{M(t,\tau) \phi(\tau)}{\tau-t}d\tau=f(t)$
с неизвестным $ \phi(t)$ которые из-за особенности становятся нефредгольмовыми и
интеграл в уравнении сходится только в главном значении. и решение есть только в этом смысле. А вот то второе что вы назвали я что то не уверен что интеграл даже в главном значении сойдется.

Еще мне интересно как вы нашли это решение без общей теории? В эллиптических координатах что ли решали соответствующую электростатическую задачу?

[drug39]

В теорию аналитического решения пока не вник, но вижу, что оба уравнения можно решить численными методами. Первое уравнение можно решить из простых геометрических соображений, без всяких элиптических координат. Вся теория, например, в элекричестве Сивухина параграф 25.

[Morkonwen]

drug39 в сообщении #516527 писал(а):

Но вижу, что оба уравнения можно решить численными методами.

Ну численные методы могут давать чуть ли ни что угодно если не доказано строго, что они сойдутся к решению реальному. Это в общем то центральная проблема численных методов и из-за этого по ним есть тонны литературы.

[drug39]

Нашел частное решение уравнения
$ \int_{-1}^1 \frac{\tau(x)}{(x-\xi)|x-\xi|}dx=\delta(\xi-1+o)-\delta(\xi+1-o), -1<\xi<1 $.
Если с коэффициентами не напутал, то вот оно:
$\tau(x)=1+\delta(x-1+o)+\delta(x+1-o).$
Чтобы построить общее решение, остается найти решение однородного уравнения $ \int_{-1}^1 \frac{\tau(x)}{(x-\xi)|x-\xi|}dx=0 $ и приплюсовать его к частному решению.

[sergei1961]

Вроде есть теория гиперсингулярных интегралов-не про такие уравнения, с расходящимися в обычном смысле интегралами?

[drug39]

Morkonwen в сообщении #516469 писал(а):

А вот то второе что вы назвали я что то не уверен что интеграл даже в главном значении сойдется.

Похоже, действительно, строгого решения не существует. Morkonwen, ну Вы же знаете, что уравнение $\int_{-1}^1 \frac{\tau(x)}{(x-\xi)|x-\xi|}dx=0, -1<\xi<1$ не из пальца высосано. Поэтому решение со смыслом обязано быть.
Поставим такой вопрос: как изменится правая часть уравнения$ \int_{-1}^1 \frac{\tau(x)}{(x-\xi)|x-\xi|}dx=\delta(\xi-1+o)-\delta(\xi+1-o) $, если слегка (бесконечно мало) подразмазать дельта-функции приведенного выше частного решения.
Ну, логично, как-то размажутся дельта-функции правой части тоже по бесконечно малым окрестностям. Тут еще важно знать, как ведет себя оператор $\int_{-1}^1 \frac{f(x)}{(x-\xi)|x-\xi|}dx$ по отношению к быстро осциллирующим функциям. Он их банально дифференцирует. Это, например, можно понять из его матричного представления. Поэтому искажения дельта-функций правой части не вылезут за пределы своих бесконечно малых окрестностей. Теперь начнем уменьшать вес дельта-функций частного решения. По тем же причинам можно утверждать,
что найдется такое размазывание этих дельта-функций, при котором в правой части произойдут изменения только в указанных бесконечно малых окрестностях. В целом, будет уменьшаться и вес правой части. В пределе можно подойти к нулевому весу правой части, но, принципиально, останутся сингулярности и решения, и правой части на концах отрезка интегрирования.
Таким образом, решение уравнения с описанными сингулярностями в правой части имеет вид
$\tau(x)=\tau_0+\tilde\tau(x)$,
где $\tilde\tau(x)=0$ при $-1<x<1 $ и $\int_{1-o}^1 \tilde\tau(1-|x|)dx=0$.
Функцию $\tilde\tau(x)$ можно задать бесконечным числом способов (как и дельта-функцию). Вот, например, один вид решения
$\tau(x)= \frac {\tau_0} {\sqrt[n] {1-x^2}}$, где $n \to \infty$.
Можете придумать свой вид. И нет особого смысла, искать конкретный вид правой части. Так как она заведомо слабее правой части исходного уравнения $\int_{-1}^1 \frac{\tau(x)}{(x-\xi)|x-\xi|}dx=\delta(\xi-1+o)-\delta(\xi+1-o)$. Главное, что теперь можно записать его общее решение.