одно интегральное уравнение

[Morkonwen]

drug39 в сообщении #520148 писал(а):

Если с коэффициентами не напутал, то вот оно:
$\tau(x)=1+\delta(x-1+o)+\delta(x+1-o).$

Подставьте, пожалуйста, еще разок и перепроверьте, потому что у меня не получается это решением.

А второй ваш пост мне еще только предстоит осознать=)

Да и не очень я согласен с этими дельта функциями в правой части. Даже если следовать вашим аргументам, что на торцах должна быть паралельная отрезку состовляющая эл. поля то там должна стоять ступенчатая функция, нет?

[sergei1961]

1. Наверное, чтобы разговор про решение любого уравнения имел смысл, надо дать чёткое определение, что такое решение, функция или распределение, например, и из каких классов. Иначе так и будет как с девочками-мне нравится это решение, а мне не нравится...
2. Ещё раз-есть строгая теория о решении интегральных уравнений с неинтегрируемыми особенностями, теория гиперсингулярных интегралов. Есть немного в книге Самко, Килбас, Маричев по дробному исчислению, также есть специализированная книга С.Г.Самко. Мне кажется, что это уравнение подходит под эту теорию, хотя я не специалист.

[Morkonwen]

sergei1961 в сообщении #522155 писал(а):

1. Наверное, чтобы разговор про решение любого уравнения имел смысл, надо дать чёткое определение, что такое решение, функция...

Интеграл по области определения должен быть конечен, а больше ничего не требуется!

Спасибо за ссылки!

[sergei1961]

тут то он бесконечен, неинтегрируемая особенность.

[drug39]

Morkonwen в сообщении #522135 писал(а):

Да и не очень я согласен с этими дельта функциями в правой части. Даже если следовать вашим аргументам, что на торцах должна быть паралельная отрезку состовляющая эл. поля то там должна стоять ступенчатая функция, нет?

Очень верно подмечено. И уравнение может иметь вид
$ \int_{-1}^1 \frac{\tau(x)}{(x-\xi)|x-\xi|}dx=sign(\xi)\theta(|\xi|-1+s), s \to +0 $. Просто с дельта-функциями нагляднее воспринимается.

Morkonwen в сообщении #522135 писал(а):

Подставьте, пожалуйста, еще разок и перепроверьте, потому что у меня не получается это решением.

Согласен, это место надо пожевать. И с коэффициентами напутал, и кое-что надо разъяснить.
Для начала возьмём интеграл
$I_1(\xi)=\int_{-1}^1 \frac{dx}{(x-\xi)|x-\xi|}=\frac{2\xi}{1-\xi^2}. $
Отсюда
$I_2(\xi,s)=\int_{-1+s}^{1-s}\frac{dx}{(x-\xi)|x-\xi|}=\frac 1{(1-s)^2}\frac{2\xi}{1-\frac{\xi^2}{(1-s)^2}}. $
Введем ступенчатую функцию
$\tilde\delta(x,s)=\begin{cases} 1, 1-|x|<=s,\\ 0, 1-|x|>s.\\ \end{cases} (0<s<1)$
Тогда
$ I_3(\xi,s)=\int_{-1}^1\frac{\tilde\delta(x)dx}{(x-\xi)|x-\xi|}=\begin{cases} \frac 2 s I_1(\frac{\xi+1-\frac s 2}{s/2}), -1<\xi<-1+s,\\ I_1(\xi)- I_2(\xi,s), -1+s<\xi<1-s,\\ \frac 2 s I_1(\frac{\xi-1+\frac s 2}{s/2}), 1-s<\xi<1. \end{cases} $
На отрезке $-1+s<\xi<1-s $
$\lim_{s \to 0}\frac 1 s I_3(\xi,s)=-2I_1(\xi)$.
Пусть $\tau(x,s)=2+\frac 1 s \tilde\delta(x,s)$.
Тогда на отрезке $-1+s<\xi<1-s $ при $s \to 0$
$\int_{-1}^1\frac{\tau(x,s)dx}{(x-\xi)|x-\xi|}=\int_{-1+s}^{1-s}\frac{\tau(x,s)dx}{(x-\xi)|x-\xi|}=2I_1(\xi)+\frac 1 s I_3(\xi,s)=0$.
На отрезках $(-1, -1+s)$ и $(1-s,1)$ при $s \to 0$ получим сингулярности, которые интегрально стремятся к нулю, т.е. не тянут на дельта-функции. Дело в том, что вид этих сингулярностей определяется еще и профилем дельта-функций, содержащихся в функции $\tau(x) $. Здесь подставлялись прямоугольные дельта-функции. Но пихать в этот оператор функцию со строгой вертикальностью, мягко говоря, нехорошо. Чтобы получить, более-менее прямоугольные сингулярности в правой части, дельта-функции под интегралом должны быть в целом вправо растущие. Не знаю, имеется ли специальное обозначение такой дельта-функции. Но ее можно смоделировать прямоугольным треугольником (увлекательное упражнение). Таким образом, в частном решении надо еще и указывать профиль дельта-функций. Если этого не делать, то останется неизвестным и вес правой части, а частное решение примет вид
$\tau(x)\sim 2+\delta(x-1+o)+\delta(-x-1+o)$, ну или
$\tau(x)\sim s [2+\delta(x-1+o)+\delta(-x-1+o)]$. Повторю, что дельта-функции здесь вправо растущие. Коэффициент пропорциональности здесь можно определить только, задав профиль дельта-функции.

[drug39]

Если уравнение имеет конкретный вид
$ \int_{-1}^1 \frac{\tau(x)}{(x-\xi)|x-\xi|}dx=E_t(\xi), -1<\xi<1 $,
где функция $ E_t(\xi)$ определена на 1-м рисунке при $s \to 0$,
то решение $\tau(x)$ изображено на 2-м рисунке. Вроде так.

В терминах дельта-функций решение имеет вид
$\tau(x)=\frac 1 2[1+\frac 1 2\delta(x-1+o)+\frac 1 2\delta(-x+1-o)]$,
где дельта-функции треугольные вправо растущие.
Прямая проверка делается неживенько, так как возникают много интегралов в главном смысле, легко ошибиться.
1-го и 4-го числа перемудрил. Имеется решение попроще. Напишу позже.