Применение преобразования Лапласа к решению диф.ур-ий

[keep-it-real]

Найти решения уравнений, удовл-е заданным условиям (Задача Коши):
$x'''+6x''+11x'+6x=1+t+t^2$
$ x(0)=x'(0)=x''(0)=0$
Мой ход решения: После применения к заданному уравнению преобразования Лапласа, получим след операторное уравнение:
$p^3X(p)+6p^2X(p)+11pX(p)+6X(p)=\frac{p^2+p+2}{p^3}$ или
$X(p)=\frac{p^2+p+2}{p^3(p^3+6p^2+11p+6)}$
что дальше удобнее сделать?

[V.V.]

Разложить $X(p)$ на элементарный дроби.

[keep-it-real]

вот у меня это не получается, можете по доступнее объяснить как это делать?

[myra_panama]

тут можно что то найти
можно и здесь

[keep-it-real]

понимаю, что элементарно, но как-то не очень получается
можно пример какой-нибудь, что-то типа как эту дробь, например, разложить? или эту
$\frac{1}{p^2+1}+\frac{1}{p^2+2p+2}+\frac{e^{-p}}{p^2-2p+2}$

[V.V.]

keep-it-real, в Вашей первой задаче сначала надо разложить знаменатель на множители. Он раскладывается так: $p(p+1)(p+2)(p+3)$. Пытаемся переписать дробь в виде
$\frac{a}{p}+\frac{b}{p+1}+\frac{c}{p+2}+\frac{d}{p+3}$.

Для того, чтобы найти в таком виде, приведем к общему знаменателю:
$\frac{a(p+1)(p+2)(p+3)+bp(p+2)(p+3)+cp(p+1)(p+2)+dp(p+1)(p+2)}{p(p+1)(p+2)(p+3)}$.
Осталось раскрыть в числителе все скобки, приравнять его $p^2+p+2$, приравнять коэффициенты при степенях $p$: $p^3$, $p^2$, $p^1$, $p^0$, а потом решить систему из четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными $a$, $b$, $c$, $d$. Ну, а обратное преобразование к элементарной дроби - уж как-то совсем просто.

Во второй Вашей задаче дробь $\frac{1}{p^2+2p+2}$ можно записать как $\frac{1}{(p+1)^2+1}$, а потом посмотреть табличку преобразований для элементарных функций.
Знаменатель в последней дроби преобразуется аналогично, а что делать с экспонентой в числителе, также можно прочитать в произвольном учебнике.

[keep-it-real]

V.V. в сообщении #497420 писал(а):

keep-it-real, в Вашей первой задаче сначала надо разложить знаменатель на множители. Он раскладывается так: $p(p+1)(p+2)(p+3)$

вот почему именно так? остальное понятно! не понимаю как определять каким будет знаменатель

(Оффтоп)

спасибо, что отозвались

[V.V.]

keep-it-real в сообщении #497427 писал(а):

V.V. в сообщении #497420 писал(а):

keep-it-real, в Вашей первой задаче сначала надо разложить знаменатель на множители. Он раскладывается так: $p(p+1)(p+2)(p+3)$

вот почему именно так? остальное понятно! не понимаю как определять каким будет знаменатель

Надо решить уравнение
знаменатель=0.
Отсюда и находим разложение.

[keep-it-real]

(Оффтоп)

чтобы закрепить, если есть дробь:
$\frac{2+p^2}{(p^2+1)(p^3-2p)}$, знаменатель приравниваю к нулю и получаю разложение $p(p^2+1)(p^2-2)$???

[V.V.]

keep-it-real в сообщении #497468 писал(а):

чтобы закрепить, если есть дробь:
$\frac{2+p^2}{(p^2+1)(p^3-2p)}$, знаменатель приравниваю к нулю и получаю разложение $p(p^2+1)(p^2-2)$???

Ну, действительные корни уж точно надо находить. :)
Поэтому $p(p^2+1)(p-\sqrt{2})(p+\sqrt{2})$.

[keep-it-real]

V.V. в сообщении #497471 писал(а):

keep-it-real в сообщении #497468 писал(а):

чтобы закрепить, если есть дробь:
$\frac{2+p^2}{(p^2+1)(p^3-2p)}$, знаменатель приравниваю к нулю и получаю разложение $p(p^2+1)(p^2-2)$???

Ну, действительные корни уж точно надо находить. :)
Поэтому $p(p^2+1)(p-\sqrt{2})(p+\sqrt{2})$.

а почему тогда не так $p(p+1)(p-1)(p-\sqrt{2})(p+\sqrt{2})$

[V.V.]

Потому что $p^2+1\ne (p-1)(p+1)$.

[keep-it-real]

V.V. в сообщении #497476 писал(а):

Потому что $p^2+1\ne (p-1)(p+1)$.

(Оффтоп)

ооо, это ужас с моей стороны, прошу прощения

[keep-it-real]

равнозначно ли
$\frac{2+p^2}{(p^2+1)(p^3-2p)}=\frac{A}{p}+\frac{Bp+C}{p^2+1}+\frac{D}{p-\sqrt{2}}+\frac{E}{p+\sqrt{2}}$

[V.V.]

keep-it-real, нет! Во втором слагаемом $\frac{Bp+E}{p^2+1}$. (Всё-таки в числителе произвольная линейная функция.)