2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Применение преобразования Лапласа к решению диф.ур-ий
Сообщение29.10.2011, 12:51 


29/10/11
105
Найти решения уравнений, удовл-е заданным условиям (Задача Коши):
$x'''+6x''+11x'+6x=1+t+t^2$
$ x(0)=x'(0)=x''(0)=0$
Мой ход решения: После применения к заданному уравнению преобразования Лапласа, получим след операторное уравнение:
$p^3X(p)+6p^2X(p)+11pX(p)+6X(p)=\frac{p^2+p+2}{p^3}$ или
$X(p)=\frac{p^2+p+2}{p^3(p^3+6p^2+11p+6)}$
что дальше удобнее сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Применение преобразования Лапласа к решению диф.ур-ий
Сообщение29.10.2011, 13:02 
Заслуженный участник


09/01/06
800
Разложить $X(p)$ на элементарный дроби.

 Профиль  
                  
 
 Re: Применение преобразования Лапласа к решению диф.ур-ий
Сообщение29.10.2011, 13:09 


29/10/11
105
вот у меня это не получается, можете по доступнее объяснить как это делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Применение преобразования Лапласа к решению диф.ур-ий
Сообщение29.10.2011, 16:22 


19/01/11
718
тут можно что то найти
можно и здесь

 Профиль  
                  
 
 Re: Применение преобразования Лапласа к решению диф.ур-ий
Сообщение30.10.2011, 13:26 


29/10/11
105
понимаю, что элементарно, но как-то не очень получается
можно пример какой-нибудь, что-то типа как эту дробь, например, разложить? или эту
$\frac{1}{p^2+1}+\frac{1}{p^2+2p+2}+\frac{e^{-p}}{p^2-2p+2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Применение преобразования Лапласа к решению диф.ур-ий
Сообщение30.10.2011, 15:14 
Заслуженный участник


09/01/06
800
keep-it-real, в Вашей первой задаче сначала надо разложить знаменатель на множители. Он раскладывается так: $p(p+1)(p+2)(p+3)$. Пытаемся переписать дробь в виде
$\frac{a}{p}+\frac{b}{p+1}+\frac{c}{p+2}+\frac{d}{p+3}$.

Для того, чтобы найти в таком виде, приведем к общему знаменателю:
$\frac{a(p+1)(p+2)(p+3)+bp(p+2)(p+3)+cp(p+1)(p+2)+dp(p+1)(p+2)}{p(p+1)(p+2)(p+3)}$.
Осталось раскрыть в числителе все скобки, приравнять его $p^2+p+2$, приравнять коэффициенты при степенях $p$: $p^3$, $p^2$, $p^1$, $p^0$, а потом решить систему из четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными $a$, $b$, $c$, $d$. Ну, а обратное преобразование к элементарной дроби - уж как-то совсем просто.

Во второй Вашей задаче дробь $\frac{1}{p^2+2p+2}$ можно записать как $\frac{1}{(p+1)^2+1}$, а потом посмотреть табличку преобразований для элементарных функций.
Знаменатель в последней дроби преобразуется аналогично, а что делать с экспонентой в числителе, также можно прочитать в произвольном учебнике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Применение преобразования Лапласа к решению диф.ур-ий
Сообщение30.10.2011, 15:47 


29/10/11
105
V.V. в сообщении #497420 писал(а):
keep-it-real, в Вашей первой задаче сначала надо разложить знаменатель на множители. Он раскладывается так: $p(p+1)(p+2)(p+3)$

вот почему именно так? остальное понятно! не понимаю как определять каким будет знаменатель

(Оффтоп)

спасибо, что отозвались

 Профиль  
                  
 
 Re: Применение преобразования Лапласа к решению диф.ур-ий
Сообщение30.10.2011, 17:18 
Заслуженный участник


09/01/06
800
keep-it-real в сообщении #497427 писал(а):
V.V. в сообщении #497420 писал(а):
keep-it-real, в Вашей первой задаче сначала надо разложить знаменатель на множители. Он раскладывается так: $p(p+1)(p+2)(p+3)$

вот почему именно так? остальное понятно! не понимаю как определять каким будет знаменатель


Надо решить уравнение
знаменатель=0.
Отсюда и находим разложение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Применение преобразования Лапласа к решению диф.ур-ий
Сообщение30.10.2011, 17:53 


29/10/11
105

(Оффтоп)

чтобы закрепить, если есть дробь:
$\frac{2+p^2}{(p^2+1)(p^3-2p)}$, знаменатель приравниваю к нулю и получаю разложение $p(p^2+1)(p^2-2)$???

 Профиль  
                  
 
 Re: Применение преобразования Лапласа к решению диф.ур-ий
Сообщение30.10.2011, 18:12 
Заслуженный участник


09/01/06
800
keep-it-real в сообщении #497468 писал(а):
чтобы закрепить, если есть дробь:
$\frac{2+p^2}{(p^2+1)(p^3-2p)}$, знаменатель приравниваю к нулю и получаю разложение $p(p^2+1)(p^2-2)$???


Ну, действительные корни уж точно надо находить. :)
Поэтому $p(p^2+1)(p-\sqrt{2})(p+\sqrt{2})$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Применение преобразования Лапласа к решению диф.ур-ий
Сообщение30.10.2011, 18:18 


29/10/11
105
V.V. в сообщении #497471 писал(а):
keep-it-real в сообщении #497468 писал(а):
чтобы закрепить, если есть дробь:
$\frac{2+p^2}{(p^2+1)(p^3-2p)}$, знаменатель приравниваю к нулю и получаю разложение $p(p^2+1)(p^2-2)$???


Ну, действительные корни уж точно надо находить. :)
Поэтому $p(p^2+1)(p-\sqrt{2})(p+\sqrt{2})$.

а почему тогда не так $p(p+1)(p-1)(p-\sqrt{2})(p+\sqrt{2})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Применение преобразования Лапласа к решению диф.ур-ий
Сообщение30.10.2011, 18:31 
Заслуженный участник


09/01/06
800
Потому что $p^2+1\ne (p-1)(p+1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Применение преобразования Лапласа к решению диф.ур-ий
Сообщение30.10.2011, 18:34 


29/10/11
105
V.V. в сообщении #497476 писал(а):
Потому что $p^2+1\ne (p-1)(p+1)$.

(Оффтоп)

ооо, это ужас с моей стороны, прошу прощения

 Профиль  
                  
 
 Re: Применение преобразования Лапласа к решению диф.ур-ий
Сообщение30.10.2011, 19:35 


29/10/11
105
равнозначно ли
$\frac{2+p^2}{(p^2+1)(p^3-2p)}=\frac{A}{p}+\frac{Bp+C}{p^2+1}+\frac{D}{p-\sqrt{2}}+\frac{E}{p+\sqrt{2}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Применение преобразования Лапласа к решению диф.ур-ий
Сообщение30.10.2011, 19:42 
Заслуженный участник


09/01/06
800
keep-it-real, нет! Во втором слагаемом $\frac{Bp+E}{p^2+1}$. (Всё-таки в числителе произвольная линейная функция.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group