Уравнение второй степени имеет 3 корня

[analitik777]

Кто-нибудь слышал о такой арифметике, в которой уравнение второй степени имеет три разных корня?

[Sonic86]

4 корня - можно. Может и 3 есть. Надо брать какие-нибудь кольца с делителями нуля.

[analitik777]

А в каких учебниках это можно почитать?

[Sonic86]

Я не знаю. Нужно искать про кольца с делителями нуля или какие-нибудь нильпотентные кольца.

Мой пример - уравнение вида $(x-a)(x-b) \equiv 0 \pmod {pq}$ для простых $p,q$ в $\mathbb{Z}_{pq}$. Попробуйте в $\mathbb{Z}_{p^k}$ чего-нибудь нарыть...

[Руст]

Уравнение $x^2=2x$ имеет ровно 3 различных решения в $Z_8$.
Ошибся 4.

[INGELRII]

Еще получится 4 корня, если рассматривать уравнение над полем этих... двойных чисел. Правда, не всегда.

А если взять дуальные числа, то там даже бесконечное количество корней может быть, для $x^2=0$

[analitik777]

Это, как я понимаю, примеры из абстрактной алгебры и теории модулей (сравнения). А в анализе есть такие примеры? Например, на множестве вещественных чисел уравнение второй степени имеет максимум два корня, на множестве комплексных чисел ровно два. А есть ли такие числа чтобы было больше двух корней?

[nnosipov]

analitik777 в сообщении #496884 писал(а):

А есть ли такие числа чтобы было больше двух корней?

В 10-адических числах уравнение $x^2=x$ имеет 4 корня.

[Nilenbert]

Кватернионы:

Nilenbert в сообщении #207625 писал(а):

Рассмотрим уравнение $q^2+1=0$ для кватернионов. Покажем, что у него бесконечно много решений. Для этого покажем, что любой кватернион вида $w=ai+bj+ck$,$|w|=1$ будет решением этого уравнения. Действительно:

$$ (ai+bj+ck)^2=a^2i^2+abij+acik+baji+b^2j^2+bcjk+caki+cbkj+c^2k^2= $$ $$ =-a^2-b^2-c^2+ab(ij+ji)+bc(jk+kj)+ca(ki+ik)=-(a^2+b^2+c^2)=-1 $$

[Time]

analitik777 в сообщении #496884 писал(а):

Появился: 15/05/11
Сообщения: 17 Это, как я понимаю, примеры из абстрактной алгебры и теории модулей (сравнения). А в анализе есть такие примеры? Например, на множестве вещественных чисел уравнение второй степени имеет максимум два корня, на множестве комплексных чисел ровно два. А есть ли такие числа чтобы было больше двух корней?

Существует, например, четырехкомпонентная алгебра бикомплексных чисел (эту коммутативно-ассоциативную алгебру можно рассматривать как алгебру комплексных чисел над полем комплексных чисел, она же сводится к прямой сумме двух комплексных алгебр, или к комплексной над кольцом двойных чисел, или двойных над полем комплексных). Квадратное уравнение с числами из этой алгебры, на сколько я помню, обычно имеет 16 корней. Но интереснее всего в этой алгебре не количество корней у алгебраических уравнений, а возможность расширения на нее теоремы Коши и естественное обобщение аналитических функций комплексной переменной.

[Kallikanzarid]

Time
Вот то, о чем я говорил - у вас Google Alert на "комплексные числа форум", да?

[Time]

(Оффтоп)

Kallikanzarid в сообщении #497209 писал(а):

Time
Вот то, о чем я говорил - у вас Google Alert на "комплексные числа форум", да?

Вам, Kallikanzarid, вместо улыбающихся смайликов давно пора в комментариях к моим постам ставить зеленые рожицы, лопающиеся от раздражения..

Участник форума задал конкретный вопрос, я дал один из вариантов ответа. Вы же вместо обсуждения по существу темы оффтопите не скрываясь.. И куда только смотрят Модераторы..

[Sonic86]

Time в сообщении #497182 писал(а):

Существует, например, четырехкомпонентная алгебра бикомплексных чисел (эту коммутативно-ассоциативную алгебру можно рассматривать как алгебру комплексных чисел над полем комплексных чисел, она же сводится к прямой сумме двух комплексных алгебр, или к комплексной над кольцом двойных чисел, или двойных над полем комплексных). Квадратное уравнение с числами из этой алгебры, на сколько я помню, обычно имеет 16 корней. Но интереснее всего в этой алгебре не количество корней у алгебраических уравнений, а возможность расширения на нее теоремы Коши и естественное обобщение аналитических функций комплексной переменной.

Слишком сложно. Для наличия $2^s$ корней проще взять $x(x-d) \equiv 0 \pmod {p_1...p_s}$ для $d$ взаимно простого с $p_1...p_s$.

[Time]

Sonic86 в сообщении #497290 писал(а):

Слишком сложно. Для наличия $2^s$ корней проще взять $x(x-d) \equiv 0 \pmod {p_1...p_s}$ для $d$ взаимно простого с $p_1...p_s$.

На счет сложности, думаю, это вопрос привычки. К тому же, разве в Вашем примере можно построить анализ или его обощение?

[Sonic86]

Time в сообщении #497299 писал(а):

На счет сложности, думаю, это вопрос привычки. К тому же, разве в Вашем примере можно построить анализ или его обощение?

На фига здесь анализ??!! Здесь решается задача: найти все кольца $K$ (или доказать, что их нет), в которых квадратное уравнение имеет $n$ решений $n \in \mathbb{N}$. Остальное - злостный оффтоп. Задача чисто алгебраическая, случай $n=2^s$ тривиален. Остаются другие случаи. Можете их разобрать?