Проблема с рядом Фурье

[Someone]

profrotter в сообщении #496115 писал(а):

$$\frac {\sin(n)} {n}=\begin{cases}\frac {\sin(n)} {n},&\text{если $n\neq0$;}\\ \boxed{\frac {\sin(n)} {n}\rvert_{n=0}},&\text{если $n=0$;}\\ \end{cases}$$

Извините, это уже ни в какие ворота не лезет. Вы имеете полное право написать

$$f(n)=\begin{cases}\frac{\sin n}n\text{, если }n\neq 0,\\ 1\text{, если }n=0,\end{cases}$$

определяя функцию $f(n)$, но не ту абракадабру, которую Вы сочинили. Выражение нельзя определять, тем более, через само это выражение. Смысл выражения определяется его синтаксической структурой.

[svv]

profrotter
Еще один аналогичный пример, ближе к Вашему выражению: $f(x)=\frac {\sin\pi x}{x}$. На множестве ненулевых целых чисел совпадает с $\frac 0 {n}=0$. Имея только эти нули, вывести, что предел исходной функции в нуле равен $\pi$, мягко говоря, непросто.

[ewert]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #496174 писал(а):

определяя функцию $f(n)$, но не ту абракадабру, которую Вы сочинили.

да он, в принципе, достаточно осмысленно думает; только вот учился математике по учебникам радиотехники, отсюда и все заскоки

[profrotter]

Someone в сообщении #496174 писал(а):

Выражение нельзя определять, тем более, через само это выражение. Смысл выражения определяется его синтаксической структурой.

О обозначениях не имеет смысла спорить. Это вопрос договорённостей. Понимайте левую часть записи символически - как обозначение. Выражения находятся в правой части.

Я теперь пытаюсь вернуться к сообщению #495600 и понять почему "результат получается ,разумеется, верный". Рассматриваю периодический $s_p(t)$ и соответствующий непериодический $s(t)$ сигналы:

Ряд Фурье в комплексной форме $s_p(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{j\omega_n t}$, где $\omega_n=n\Delta\omega$,$\Delta\omega=\frac {2\pi}{T}$,$T$ - период. С учётом того, что на интервале $t\in [-\frac T 2,\frac T 2]$ $s_p(t)=s(t)$ можем записать

$$C_n=\frac 1 T \int\limits_{-\frac T 2}^{\frac T 2}s_p(t)e^{-j\omega_n t}dt=\frac 1 T \int\limits_{-\frac T 2}^{\frac T 2}s(t)e^{-j\omega_n t}dt.$$

Далее, так как вне интервала интегрирования подынтегральное выражение равно нулю (поскольку равен нулю $s(t)$), пределы интегрирования формально можно записать бесконечными:

$$C_n=\frac 1 T \int\limits_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-j\omega_n t}dt.$$

Коэффициенты ряда Фруье можно рассматривать как дискретные значения функции (спектральной плотности)

$$S(\omega)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-j \omega t}dt,$$

то есть

$$C_n=\frac 1 T S(\omega_n)=\frac {\Delta\omega}{2\pi}S(\omega_n).$$

Рассматривая непериодический сигнал, как предельный случай периодического, когда $T\to\infty$ или $\Delta\omega\to 0$, выполним предельный переход, представляя периодический сигнал рядом Фурье в комплексной форме:

$$s(t)=\lim\limits_{\Delta\omega\to0}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\frac {\Delta\omega}{2\pi}S(\omega_n)e^{j\omega_n t}=\frac 1 {2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}S(\omega)e^{j\omega t}d\omega.$$

Получили обратное преобразование Фурье, а функция $S(\omega)$ является спектральной плотностью сигнала и определяется прямым преобразованием Фурье. Вот здесь в этом предельном переходе, каким бы "сгущением" это не называлось, фактически происходит "выход" с сетки ни непрерывную ось. Это даже видно по аналогии между выражениями для коэффициентов ряда и спектральной плотности. Я для себя тут понимаю так: мы фактически зафиксировали некоторое определённое выражение и договорились всегда от последовательности коэффициентов переходить к спектральной плотности только одним и тем же способом. То есть процедура продолжения строго фиксирована и неоднозначность исключена. Ну, например, в моём контрпримере такое фиксирование означало бы, скажем, договор всегда представлять поcледовательности вида ...1,-1,1,-1,1,-1... всегда только через $\cos(\pi n)$. Это означает, что пока коэффициенты ряда не вычислены для их вычисления можно перейти к преобразованию Фурье, а полученный результат дискретизировать. Если же последовательность коэффициентов была вычислена и интеграла уже нет, то это означает, что могли иметь место некоторые преобразования полученного выражения и если в нём выполнить переход на непрерывную ось, то не факт, что мы получим выражение для спектральной плотности ввиду неоднозначности продолжения. Вот тут критикуем, указываем на ошибки в рассуждениях, предлагаем другое объяснение и тп.
Теперь что я делал в сообщении #495600. Я учёл, что коэффициенты ряда Фурье в тригонометрической форме связаны с коэффициентами ряда Фурье в комплексной форме:

$$a_n=2\operatorname{Re}C_n=\frac 2 T \operatorname{Re}S(\omega_n),$$

$$b_n=-2\operatorname{Im}C_n=-\frac 2 T \operatorname{Im}S(\omega_n),$$

а $\operatorname{Re}S(\omega)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}s(t)\cos(\omega t)dt$ - косинус преобразование Фурье, $\operatorname{Im}S(\omega)=-\int\limits_{-\infty}^{\infty}s(t)\sin(\omega t)dt$ - синус преобразование Фурье непериодического сигнала $s(t)$, соотвестветствующего периодическому сигналу $s_p(t)$.

(ewert)

ewert, во всём есть свои достоинства и недостатки: к сожалению учебники математики учат лишь как можно делать и формируют такое мышление, которое не позволяет себе даже попробывать сделать то, что нельзя и посмотреть что же тогда получится.

[Алексей К.]

profrotter в сообщении #496438 писал(а):

О обозначениях не имеет смысла спорить. Это вопрос договорённостей.

Об обозначениях имеет смысл спорить (в частности о договорённостях, их разумности, соблюдении, и пр.)
Спорить не имеет смысла с Вами.

Так же, как и с Сорокиным, с Семёном, и другими известными персонажами.

[profrotter]

(Алексей К.)

Алексей К. в сообщении #496449 писал(а):

profrotter в сообщении #496438 писал(а):

О обозначениях не имеет смысла спорить. Это вопрос договорённостей.

Об обозначениях имеет смысл спорить (в частности о договорённостях, их разумности, соблюдении, и пр.)
Спорить не имеет смысла с Вами.

Так же, как и с Сорокиным, с Семёном, и другими известными персонажами.

Ну сколько можно "пинать труп" и обсуждать то, в отношении чего уже давно показана ошибочность и бессмысленность? А кто такие Сорокин и Семёнов?

[profrotter]

К сожалению критики к сообщению #496438 не последовало. Тогда, позвольте, я сам. В самом сообщении нигде на самом деле не показывается, что коэффициенты ряда Фурье пропорциональны дискретным значениям спектральной плотности. Показано лишь, что спектральная плотность является одним из возможных продолжений последовательности коэффициентов ряда Фурье. Что никак не поясняет почему "результат получается, разумеется, верный". Теперь я пробую дальше разобраться с этим вопросом.
Сначала получим вспомогательный результат. Рассмотрим периодическую последовательность $\delta$-функций

$$\delta_p(\omega)=\Omega\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-n\Omega).$$

Коэффициенты её ряда Фурье в комплексной форме:

$$C_k=\frac 1 {\Omega}\int\limits_{-\frac {\Omega} 2}^{\frac {\Omega} 2}\Omega \delta(\omega)e^{-j\frac {2\pi k}{\Omega} \omega}d\omega =1.$$

Сам ряд Фурье:

$$\Omega\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-n\Omega)=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}e^{j\frac {2\pi k}{\Omega} \omega}=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}e^{-j\frac {2\pi k}{\Omega} \omega}.\eqno (*)$$

Последнее равенство записано ввиду того, что результат суммирования является действительным и комплексное сопряжение его не изменяет.
Далее я руководствуюсь обозначениями введёнными в сообщении #496438. Запишем выражение для периодического сигнала:

$$s_p(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}s(t-nT)$$

и определим его спектральную плотность с учётой свойств линейности и временного запаздывания для преобразования Фурье:

$$S_p(\omega)=F\{\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}s(t-nT)\}=S(\omega)\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}e^{-j\omega n T},$$

где $F\{\cdot\}$ - символ преобразования Фурье. С учётом $(*)$ можем записать:

$$\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}e^{-j\omega n T}=\frac {2\pi}{T}\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-\frac{2\pi k}{T}).$$

Окончательно спектральная плотность периодического сигнала:

$$S_p(\omega)=S(\omega)\frac {2\pi}{T}\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-\frac{2\pi k}{T})=\frac {2\pi}{T}\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}S(\omega)\delta(\omega-\frac{2\pi k}{T}).$$

Периодический сигнал найдём как обратное преобразование Фурье своей спектральной плотности:

$$s_p(t)=\frac {1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}S_p(\omega)e^{j\omega t}d\omega=\frac {1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac {2\pi}{T}\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}S(\omega)\delta(\omega-\frac{2\pi k}{T})e^{j\omega t}d\omega=$$

$$=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac {1}{T}S(\omega)\delta(\omega-\frac{2\pi k}{T})e^{j\omega t}d\omega=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\frac {1}{T}S(\frac{2\pi k}{T})e^{j\frac{2\pi k}{T} t}$$

Ввиду единственности разложения в ряд Фурье, получим:

$$C_k=\frac 1 T S(\frac{2\pi k}{T})=\frac 1 T S(\omega_k).$$

Теперь видно, что коэффициенты ряда Фурье пропорциональны значениям спектральной сплотности, взятым на равномерной сетке частот, то есть последовательность коэффициентов получается путём дискретизации спектральной плотности и никак иначе.

Joker_vD в сообщении #495617 писал(а):

Вот так живешь и думаешь

Бывает и хуже: живёшь - живёшь, рассказываешь детям про преобразование Фурье, а потом вдруг узнаёшь, что ты пользуешься результатом, строгое обоснование которого тебе неизвестно.