Вообще говоря, это математическая вещь - суммирование расходящихся рядов, а физически это можно понимать так: есть некая функция, вполне физическая, представление которой в виде ряда сходится или расходится по отношению к процессу почленного суммирования. Так вот, если каким-нибудь приемом удается "свернуть" этот ряд в конечную функцию, то эта конечная функция и есть искомый результат.
Для быстро сходящихся рядов мы можем пользоваться куском самого ряда, а для расходящихся рядов применяют разные там Борелевские суммирования, интегральные представления, аппроксиманты Паде, и так далее. В некоторых случаях можно доказать сходимость и однозначность такого обобщенного суммирования.
То, что в Казимире мы встречаем ряд, связано с нашим желанием представить полное поле в виде ряда Фурье. Так нам всегда было проще находить решения. А вообще поле есть поле
и его не обязательно представлять в виде ряда Фурье. А раз представили, то надо потом и суметь просуммировать . Не складывать же почленно расходящийся ряд.
Потенцил типа дельта функции не похож на самодействие. Вообще мы ведь рассчитываем потенциал взаимодействия двух разных пластин, а не самодействие одной пластины. После суммирования он конечен и равен некоей функции расстояния.
она совпадает с натуральным рядом и равна минус 1/12, что удивительным образом дает правильный ответ.
. И пластины вполне можно заменить потенциалом. Они ведь просто играют роль граничных условий, дающих неоднородную плотность энергии нулевых колебаний поля. Другое дело, что непонятно как вычислять эту плотность твоим правильным, ну т.е. не требующим перенормировок способом. Если бы такое вычисление существовало, и давало бы правильную величину - то появилось бы и физическое объяснение почему работает регуляризация.