Теория Групп -> Азы

[Kaspvar]

Здравствуйте. Подскажите пожалуйста относительно каких операций следующие множества образуют группу, и какие у них есть подгруппы:

$\mathbb Z$, $\mathbb Q$, $\mathbb R$, $\mathbb C$

P.S. Если кто-то знает книги, в которых этот вопрос хорошо расписан. Прошу указать их.

Заранее благодарен!

[NiGHTeR]

$\double{Z}$ - сложение
$\double{Q}$ - сложение, умножение
$\double{R}$ - сложение, умножение
$\double{C}$ - сложение, умножение.

а вообще, все эти группы описаны в любом учебнике по теории групп

-- Чт окт 20, 2011 13:33:38 --

Например, Кострикин, Введение в алгебру

[bot]

С умножением облом - нуль мешает.

[Xaositect]

NiGHTeR в сообщении #494402 писал(а):

умножение

Ни одна из этих систем не является группой по умножению. У нуля нет обратного элемента.

[Kaspvar]

Ага, спасибо. Заглянул в Кострикина, нашел ответы.
$\mathbb Q$\{0}, $R$\{0}, $C$\{0} - Образуют группы относительно умножения.
Что насчет подгрупп:

($\mathbb Q$\{0},*), ($R$\{0},*), ($C$\{0},*),
($\mathbb Z$\{0},+), ($\mathbb Q$\{0},+), ($R$\{0},+), ($C$\{0},+)

[ИСН]

А что надо от подгрупп? Ну возьмите любой элемент. Один. Это подгруппа? Да? Нет? Почему? Что надо добавить, чтобы это стала подгруппа?

[Kaspvar]

Ну вообще говоря, в подгруппе(Н) группы(G):

должна лежать единица группы G,
замкнутость относительно соответствующей операции,
для всякого элемента из H ему обратный должен опять же принадлежать Н.

(Н очевидно должно быть подмножеством G)

[ИСН]

Ну возьмите в любой из этих групп единицу и ещё один элемент. Это подгруппа? Нет? Почему?

[Kaspvar]

Пусть этой группой будет \mathbb (Q,+).
Найдем \mathbb H<Q.
Берем 0 из \mathbb Q.
Далее нужно обязательно (? может и нет) взять \mathbb Z.
Хорошо, попробуем взять какое-то рационально число, пусть это будет 1/2.
Проблема возникает в ситуациях 1+1/2 = 3/2.
3/2 не из \mathbb H, значит нужно дополнить нашу подгруппу элементами типа \{n+1/2|n \in Z\}.
В итоге: $H=\{...,-1,-1/2,0,1/2,1,3/2,2,...\}$.
Главный вопрос обязательно ли каждая подгруппа в $H$ должна содержать $Z$ ?

[ИСН]

Вот видите, как их легко строить.
А ответ на Ваш последний вопрос лежит в области исследования подгрупп самого $\mathbb Z$, чем и предлагаю заняться безотлагательно.

[Kaspvar]

Хорошо. Мне известны следующие подгруппы в ${Z}$:

${Z}, \{\varnothing\}$
$(\{-1,1\}, \cdot)$,
$n\cdot{Z}$ или еще одно обозначение $Z_n$ - числа кратные $n$
${Z}(n)$ - группа вычетов по модулю n относительно сложения.

Исчерпываются ли указанными группами все подгруппы в ${Z}$ ?
И как все-таки отсюда получить ответ на предидущий вопрос?

[ИСН]

1+1 - сколько? 1? Или -1? И если ни то, ни другое, то каким образом $\{-1,1\}$ - подгруппа?

[VAL]

Kaspvar в сообщении #494410 писал(а):

Что насчет подгрупп:

($\mathbb Q$\{0},*), ($R$\{0},*), ($C$\{0},*),
($\mathbb Z$\{0},+), ($\mathbb Q$\{0},+), ($R$\{0},+), ($C$\{0},+)

А зачем вы для аддитивных групп ноль выбрасываете? Без нейтрального элемента как-то не комильфо...

[bot]

Да пусть сначала с вопросом ИСН разберётся, а то он после него исправил плюс на точку.

[Kaspvar]

Ну собственно предидущий вопрос мне понятен.
Действительно по сложению множество - $\{-1,1\}$ быть никак не может. Так как оно не замкнуто относительно этой операции. Относительно умножения все хорошо: $(-1)\cdot(-1) = 1, (-1)\cdot = 1,...$.
Насчет нулей - забыл убрать при копировании. $(Q\ \{0\}, + )$ не образует группу, т.к. там не будет единицы, которая собственно и есть $0$ который выкинут.

Что насчет тех двух вопросов из моего сообщения?