2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Теория Групп -> Азы
Сообщение20.10.2011, 12:16 
Аватара пользователя
Здравствуйте. Подскажите пожалуйста относительно каких операций следующие множества образуют группу, и какие у них есть подгруппы:
    $\mathbb Z$, $\mathbb Q$, $\mathbb R$, $\mathbb C$

P.S. Если кто-то знает книги, в которых этот вопрос хорошо расписан. Прошу указать их.

Заранее благодарен!

 
 
 
 Re: Теория Групп -> Азы
Сообщение20.10.2011, 12:32 
$\double{Z}$ - сложение
$\double{Q}$ - сложение, умножение
$\double{R}$ - сложение, умножение
$\double{C}$ - сложение, умножение.

а вообще, все эти группы описаны в любом учебнике по теории групп

-- Чт окт 20, 2011 13:33:38 --

Например, Кострикин, Введение в алгебру

 
 
 
 Re: Теория Групп -> Азы
Сообщение20.10.2011, 12:34 
Аватара пользователя
С умножением облом - нуль мешает.

 
 
 
 Re: Теория Групп -> Азы
Сообщение20.10.2011, 12:35 
Аватара пользователя
NiGHTeR в сообщении #494402 писал(а):
умножение
Ни одна из этих систем не является группой по умножению. У нуля нет обратного элемента.

 
 
 
 Re: Теория Групп -> Азы
Сообщение20.10.2011, 12:55 
Аватара пользователя
Ага, спасибо. Заглянул в Кострикина, нашел ответы.
$\mathbb Q$\{0}, $R$\{0}, $C$\{0} - Образуют группы относительно умножения.
Что насчет подгрупп:
    ($\mathbb Q$\{0},*), ($R$\{0},*), ($C$\{0},*),
    ($\mathbb Z$\{0},+), ($\mathbb Q$\{0},+), ($R$\{0},+), ($C$\{0},+)

 
 
 
 Re: Теория Групп -> Азы
Сообщение20.10.2011, 13:03 
Аватара пользователя
А что надо от подгрупп? Ну возьмите любой элемент. Один. Это подгруппа? Да? Нет? Почему? Что надо добавить, чтобы это стала подгруппа?

 
 
 
 Re: Теория Групп -> Азы
Сообщение20.10.2011, 13:13 
Аватара пользователя
Ну вообще говоря, в подгруппе(Н) группы(G):
    должна лежать единица группы G,
    замкнутость относительно соответствующей операции,
    для всякого элемента из H ему обратный должен опять же принадлежать Н.
(Н очевидно должно быть подмножеством G)

 
 
 
 Re: Теория Групп -> Азы
Сообщение20.10.2011, 13:19 
Аватара пользователя
Ну возьмите в любой из этих групп единицу и ещё один элемент. Это подгруппа? Нет? Почему?

 
 
 
 Re: Теория Групп -> Азы
Сообщение20.10.2011, 13:39 
Аватара пользователя
Пусть этой группой будет \mathbb (Q,+).
Найдем \mathbb H<Q.
Берем 0 из \mathbb Q.
Далее нужно обязательно (? может и нет) взять \mathbb Z.
Хорошо, попробуем взять какое-то рационально число, пусть это будет 1/2.
Проблема возникает в ситуациях 1+1/2 = 3/2.
3/2 не из \mathbb H, значит нужно дополнить нашу подгруппу элементами типа \{n+1/2|n \in Z\}.
В итоге: $H=\{...,-1,-1/2,0,1/2,1,3/2,2,...\}$.
Главный вопрос обязательно ли каждая подгруппа в $H$ должна содержать $Z$ ?

 
 
 
 Re: Теория Групп -> Азы
Сообщение20.10.2011, 13:43 
Аватара пользователя
Вот видите, как их легко строить.
А ответ на Ваш последний вопрос лежит в области исследования подгрупп самого $\mathbb Z$, чем и предлагаю заняться безотлагательно.

 
 
 
 Re: Теория Групп -> Азы
Сообщение20.10.2011, 13:59 
Аватара пользователя
Хорошо. Мне известны следующие подгруппы в ${Z}$:
    ${Z}, \{\varnothing\}$
    $(\{-1,1\}, \cdot)$,
    $n\cdot{Z}$ или еще одно обозначение $Z_n$ - числа кратные $n$
    ${Z}(n)$ - группа вычетов по модулю n относительно сложения.

Исчерпываются ли указанными группами все подгруппы в ${Z}$ ?
И как все-таки отсюда получить ответ на предидущий вопрос?

 
 
 
 Re: Теория Групп -> Азы
Сообщение20.10.2011, 14:03 
Аватара пользователя
1+1 - сколько? 1? Или -1? И если ни то, ни другое, то каким образом $\{-1,1\}$ - подгруппа?

 
 
 
 Re: Теория Групп -> Азы
Сообщение20.10.2011, 15:01 
Kaspvar в сообщении #494410 писал(а):
Что насчет подгрупп:
    ($\mathbb Q$\{0},*), ($R$\{0},*), ($C$\{0},*),
    ($\mathbb Z$\{0},+), ($\mathbb Q$\{0},+), ($R$\{0},+), ($C$\{0},+)
А зачем вы для аддитивных групп ноль выбрасываете? Без нейтрального элемента как-то не комильфо...

 
 
 
 Re: Теория Групп -> Азы
Сообщение20.10.2011, 15:14 
Аватара пользователя
Да пусть сначала с вопросом ИСН разберётся, а то он после него исправил плюс на точку. :-)

 
 
 
 Re: Теория Групп -> Азы
Сообщение20.10.2011, 15:21 
Аватара пользователя
Ну собственно предидущий вопрос мне понятен.
Действительно по сложению множество - $\{-1,1\}$ быть никак не может. Так как оно не замкнуто относительно этой операции. Относительно умножения все хорошо: $(-1)\cdot(-1) = 1, (-1)\cdot = 1,...$.
Насчет нулей - забыл убрать при копировании. $(Q\ \{0\}, + )$ не образует группу, т.к. там не будет единицы, которая собственно и есть $0$ который выкинут.

Что насчет тех двух вопросов из моего сообщения?

 
 
 [ Сообщений: 40 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group