Теория Групп -> Азы

[bot]

Kaspvar в сообщении #494471 писал(а):

Относительно умножения все хорошо

Я так и предполагал. А что хорошего? Эта группа будет подгруппой группы $(\mathbb Z, +)$?

[Kaspvar]

На них разные операции введены... Такой вопрос ставить некорректно.

[bot]

Тогда что означает Ваше "всё хорошо"?

Нет, так вопрос ставить некорректно - надо спросить: что означало ...?

-- Чт окт 20, 2011 19:49:05 --

Можно переходить к следующему вопросу. Где-то у Вас на предыдущей странице говорилось про $(\mathbb Z_n, +)$ Такие группы есть - группы вычетов называются. А подгруппами они где являются?

[Kaspvar]

Да, я понял свою ошибку: $({Z}, \cdot)$ - группу не образует т.к. некоторые обратные в ней не лежат.
То есть сейчас целесообразно говорить только о $({Z}, +)$

Пусть $({Q},+)$ - группа, $H<{Q}$ - произвольная подгруппа.
Тогда какой бы ни была $H$, будет справедливо следующее - ${Z}\subset H$
Верно ли это утверждение?

[ИСН]

Зайдём с другой стороны. Какие Вы уже нашли подгруппы у $({Q},+)$?

[Kaspvar]

Тривиальные - $\{\varnothing \}, \{ {Q} \}$,
Ну и собственно все те же: $(n \cdot {Z}, +)$ и вида: $\{...,-1,-1/2,0,1/2,1,... \}$.
Других честно говоря пока не нашел.

[ИСН]

Последний вид, пожалуйста, чуть более развёрнуто опишите.

-- Чт, 2011-10-20, 17:38 --

Стоп, не надо, у Вас ведь уже есть $(n \cdot {Z}, +)$. Это что за группа? Что в неё входит? Входит ли в неё всё $Z$?

[Kaspvar]

Так?
$\{... ,-1,-(n-1)/n, ... ,-2/n,-1/n, 0 ,1/n ,2/n , ... , (n-1)/n, 1, ... \}$ где $n \in {Z}$

[ИСН]

Ух, ёлки.
Зайдём с третьей стороны. Мы как делали? - брали единицу и ещё один элемент, а остальное получали из них групповой операцией. Получалась подгруппа. Так ведь? Какие элементы мы пробовали в этом качестве? Какие ещё можно попробовать?

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Kaspvar
Это вы так жутко $\{\frac an\mid a\in \mathbb Z\}$ записали?

[Kaspvar]

Я сейчас попробую вывести в общем виде... $H < {Q}$

Я брал $0 \in {Q}$, и брал какое-то рациональное число, складывал их и смотрел, что нужно добавить к $H$ чтобы операция была замкнута...
Joker_vD, спасибо за подсказку, действительно можно записать все намного проще .
А именно: $H = \{ n\cdot a \mid a \in {Z} \}$, где $n \in {Q}$ - фиксированное число.
Здесь мы получим и $\{ 0 \}$, и ${Z}$ и ${Q}$, ну и собственно и в зависимости от $n$:

• целое - группа чисел кратных $n$, то есть $n \cdot {Z}$
• дробное - группа вида: $\{ \frac an \mid a \in {Z}\}$

Я правильно понял ИСН? Это то, что Вы имели ввиду?

[Joker_vD]

А что, $\frac23 \mathbb Z$ не будет подгруппой $\mathbb Q$?

[Kaspvar]

Будет.
Полагая в $H = \{ n\cdot a \mid a \in {Z} \}$ $n = 2/3$ получаем: $2/3 \cdot \mathbb Z$.
Причём $2/3 \cdot \mathbb Z< \mathbb Q$. Верно?

[Joker_vD]

Ну да. Кстати, не стоит обозначать буквой $n$ дроби, это взрывает мозг

Итак, вот вы нашли подгруппы $\mathbb Q$ вида $r\mathbb Z$, где $r\in\mathbb Q$ — произвольное рациональное число. Кстати, $\{0\}$ тоже попадает в этот список. Хорошо. Ну, а может есть подгруппы и другого вида?

[VAL]

Joker_vD в сообщении #494573 писал(а):

Итак, вот вы нашли подгруппы $\mathbb Q$ вида $r\mathbb Z$, где $r\in\mathbb Q$ — произвольное рациональное число.

Кстати, они называются циклическими. И все (кроме одной тривиальной), по сути, ничем не отличаются от группы $\mathbb Z$

Цитата:

по сложению.
Кстати, $\{0\}$ тоже попадает в этот список. Хорошо. Ну, а может есть подгруппы и другого вида?

Даже не сомневайтесь, Kaspvar, конечно, есть. Подумайте, как могут выглядеть знаменатели дробей, входящих в подгруппу.