Как Вы это докажете? Вот живём мы сейчас в не разбегающейся Вселенной и задумываемся.
Не живём. Либо все источники энергии Вселенной исчерпались в бесконечно далёком прошлом, либо всё небо раскалено до температуры поверхности звёзд.
Рассмотрим аргумент о том, что постоянная Вселенная будет раскалена из-за того, что очень большим будет интеграл по мощности звёздного излучения, взятый по всем небесным сферам и до края Вселенной.
Докажем, что расширяющаяся Вселенная так же будет раскалена.
Пусть
![$\beta$ $\beta$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/1/8217ed3c32a785f0b5aad4055f432ad882.png)
– скорость движения галактики
![$A^{\prime}$ $A^{\prime}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/3/34371f231dadbf2b2c432f5d2f1a814682.png)
относительно неподвижной Земли
![$V$ $V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a3a4a202d80326bda413b5562d5cd182.png)
,
![$R$ $R$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/4/1e438235ef9ec72fc51ac5025516017c82.png)
– расстояние между галактикой
![$A^{\prime}$ $A^{\prime}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/3/34371f231dadbf2b2c432f5d2f1a814682.png)
и Землёй
![$V$ $V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a3a4a202d80326bda413b5562d5cd182.png)
,
![$H$ $H$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/9/7b9a0316a2fcd7f01cfd556eedf72e9682.png)
– величина обратная к радиусу Вселенной. Скорость света
![$=1$ $=1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/6/ef69061d50ca83722ebdd84b564309be82.png)
.
![$$\beta = HR < 1 \eqno (1)$$ $$\beta = HR < 1 \eqno (1)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/0/18068ff3dc361cd3bbb8055f448908cd82.png)
– закон Хаббла
Пусть наблюдатель
![$V$ $V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a3a4a202d80326bda413b5562d5cd182.png)
считается «покоящимся», а наблюдатель
![$V^{\prime}$ $V^{\prime}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/d/f8db2cba75471f2686516b9cf78c7fb082.png)
движется со скоростью
![$\beta$ $\beta$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/1/8217ed3c32a785f0b5aad4055f432ad882.png)
относительно
![$V$ $V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a3a4a202d80326bda413b5562d5cd182.png)
. Пусть в некоторый момент времени наблюдатели совпадают в одной пространственно-временной точке. Пусть источник излучения движется вместе с наблюдателем
![$V^{\prime}$ $V^{\prime}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/d/f8db2cba75471f2686516b9cf78c7fb082.png)
, т.е. покоится относительно этого наблюдателя. И пусть источник порождает плоскую электромагнитную волну, мощность от которой измеряется каждым наблюдателем в собственной системе отсчёта. Волна пусть движется по оси
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
-ов. Вдоль этой же оси движутся источник излучения и наблюдатель
![$V^{\prime}$ $V^{\prime}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/d/f8db2cba75471f2686516b9cf78c7fb082.png)
. Векторы электрического и магнитного поля волны таковы, что по лоренцевому закону преобразования:
![$$\gamma(E_y - \betta B_z) = E^{\prime}_{y}$$ $$\gamma(E_y - \betta B_z) = E^{\prime}_{y}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/f/57f771f96653299dd986e6d9bdb5853d82.png)
![$$\gamma(B_z - \betta E_y) = B^{\prime}_{z} \eqno (2)$$ $$\gamma(B_z - \betta E_y) = B^{\prime}_{z} \eqno (2)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/3/3531cf751a5a7f5f970c280c8288809582.png)
Считаем, что
![$E^{\prime}_{y} = E^{\prime}$ $E^{\prime}_{y} = E^{\prime}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/e/73e4e59858ba68b360d434b20f50c45e82.png)
,
![$B^{\prime}_{z} = B^{\prime}$ $B^{\prime}_{z} = B^{\prime}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/a/c4a85bbc2226e5721728ae1c8fb1971982.png)
,
![$E_{y} = E$ $E_{y} = E$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/1/571aa6dc93b5282f0cbfe9297aefe14282.png)
,
![$B_{z} = B$ $B_{z} = B$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/3/dc3b3587765cfac35c93059bb8616bd682.png)
. Штрихи относятся к величинам, измеряемым наблюдателем
![$V^{\prime}$ $V^{\prime}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/d/f8db2cba75471f2686516b9cf78c7fb082.png)
. Отсюда, мощность излучения источника, измеряемая на единичной площадке, для обоих наблюдателей совпадает:
![$$S^{\prime} = E^{\prime}B^{\prime} = \gamma^{2}(1-\beta^2) = EB = S = inv \eqno (3)$$ $$S^{\prime} = E^{\prime}B^{\prime} = \gamma^{2}(1-\beta^2) = EB = S = inv \eqno (3)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/7/0f732b1cee89b732b55aebe672be8e9082.png)
Так как
![$E$ $E$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/d/84df98c65d88c6adf15d4645ffa25e4782.png)
и
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
синфазны в падающей плоской волне, то энергия, пришедшая к наблюдателю
![$V$ $V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a3a4a202d80326bda413b5562d5cd182.png)
на единичную площадку за период колебания волны, есть величина:
![$$W = \int_{0}^{T}S\cos^{2}(\frac{2\pi t}{T})dt = \frac{TS}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}(\phi)d\phi = \frac{TS}{2} \eqno (3)$$ $$W = \int_{0}^{T}S\cos^{2}(\frac{2\pi t}{T})dt = \frac{TS}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}(\phi)d\phi = \frac{TS}{2} \eqno (3)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/e/d6e39885419b0498b80f7c52d968adc282.png)
Аналогично наблюдатель
![$V^{\prime}$ $V^{\prime}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/d/f8db2cba75471f2686516b9cf78c7fb082.png)
за один период колебаний волны
![$T^{\prime}$ $T^{\prime}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/e/cbe3d6205010fcbb77c0f9ab0cb7bbed82.png)
, в своей системе отсчёта принимает энергию
![$$ W^{\prime} = \frac{T^{\prime}S^{\prime}}{2} = \frac{T^{\prime}S}{2} \eqno (4)$$ $$ W^{\prime} = \frac{T^{\prime}S^{\prime}}{2} = \frac{T^{\prime}S}{2} \eqno (4)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/2/16292cecf2c7e8b80e41e5b346e574d382.png)
, где
![$T^{\prime} < T$ $T^{\prime} < T$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/9/9b9090fb7a6c36972761dd05c551e6a082.png)
, из-за эффекта Доплера.
К концу первого периода наблюдатель
![$V^{\prime}$ $V^{\prime}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/d/f8db2cba75471f2686516b9cf78c7fb082.png)
накопит энергию
![$\frac{1}{2}T^{\prime}S$ $\frac{1}{2}T^{\prime}S$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/c/85c61e512d3133955601cf015af631b382.png)
, к концу второго – энергию
![$\frac{1}{2}2T^{\prime}S$ $\frac{1}{2}2T^{\prime}S$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/3/913bfbae79034391d8334e30e004aed282.png)
, к концу третьего – энергию
![$\frac{1}{2}3T^{\prime}S$ $\frac{1}{2}3T^{\prime}S$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/d/b4de2a8f9d9c1e85828a315592f6eced82.png)
, и т.д. На интервале длиной
![$V^{\prime}$ $V^{\prime}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/d/f8db2cba75471f2686516b9cf78c7fb082.png)
накопит энергию
![$LT^{\prime}S$ $LT^{\prime}S$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/1/52101745d627ecc0bb04641d8d8e09b582.png)
, где
![$L$ $L$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/c/ddcb483302ed36a59286424aa5e0be1782.png)
- некоторое число. Соответственно, наблюдатель
![$V$ $V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a3a4a202d80326bda413b5562d5cd182.png)
на соответствующем шаге накопит энергию
![$\frac{1}{2}TS$ $\frac{1}{2}TS$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/5/935e5bc150dbc72cd68e8db02d4cead982.png)
,
![$\frac{1}{2}2TS$ $\frac{1}{2}2TS$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/2/7b220eb2cba0a1f3d3a1980db28f16bb82.png)
,
![$\frac{1}{2}3TS$ $\frac{1}{2}3TS$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/4/8/74814daa03317638338283962df6ba3482.png)
и т.д. На интервале такой же длительности
![$\tau$ $\tau$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/e/0fe1677705e987cac4f589ed600aa6b382.png)
наблюдатель
![$V$ $V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a3a4a202d80326bda413b5562d5cd182.png)
накопит энергию
![$NTS$ $NTS$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/5/c25026a7b329355740b302b822aa0cc782.png)
, где
![$N$ $N$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/c/f9c4988898e7f532b9f826a75014ed3c82.png)
– некоторое число. Но так как
![$\frac{ T^{\prime}}{T} = \frac{N}{L}$ $\frac{ T^{\prime}}{T} = \frac{N}{L}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/9/5f997b9c008a4d982f9af2d02eeefec382.png)
, то
за интервал времени одинаковой длины, по часам собственной системы отсчёта, каждый наблюдатель накопит одинаковую энергию. Иными словами, так как период колебаний для покоящегося наблюдателя – длиннее, то количество таких колебаний будет меньше во временной интервале длительностью
![$\tau$ $\tau$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/e/0fe1677705e987cac4f589ed600aa6b382.png)
, чем у движущегося наблюдателя. Но порция энергии, получаемая неподвижным наблюдателем за период
![$T$ $T$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/1/2f118ee06d05f3c2d98361d9c30e38ce82.png)
, во столько же раз будет больше порции движущегося наблюдателя, получаемой за период
![$T^{\prime}$ $T^{\prime}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/e/cbe3d6205010fcbb77c0f9ab0cb7bbed82.png)
. Т.е:
Разберёмся теперь с удалённостью до галактики в разных системах отсчёта.
Пусть относительно наблюдателя
![$V$ $V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a3a4a202d80326bda413b5562d5cd182.png)
неподвижна галактика
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
и находится на расстоянии
![$R$ $R$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/4/1e438235ef9ec72fc51ac5025516017c82.png)
от него. Пусть в тот же момент времени, по часам наблюдателя
![$V$ $V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a3a4a202d80326bda413b5562d5cd182.png)
, галактика
![$A^{\prime}$ $A^{\prime}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/3/34371f231dadbf2b2c432f5d2f1a814682.png)
совпадает с галактикой
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
в одной пространственно-временной точке. Тогда, в своей системе отсчёта наблюдатель
![$V^{\prime}$ $V^{\prime}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/d/f8db2cba75471f2686516b9cf78c7fb082.png)
– в момент его совмещения с положением наблюдателя
![$V$ $V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a3a4a202d80326bda413b5562d5cd182.png)
– находится от галактики
![$A^{\prime}$ $A^{\prime}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/3/34371f231dadbf2b2c432f5d2f1a814682.png)
на расстоянии
![$R^{\prime} = \gamma R$ $R^{\prime} = \gamma R$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/2/c526851251a3fa4f3a9d00c24e9b5b9482.png)
. Пусть светимости галактик
![$A^{\prime}$ $A^{\prime}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/3/34371f231dadbf2b2c432f5d2f1a814682.png)
и
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
в собственных системах отсчёта совпадают и равны
![$\alpha$ $\alpha$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/4/c745b9b57c145ec5577b82542b2df54682.png)
. Для наблюдателя
![$V^{\prime}$ $V^{\prime}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/d/f8db2cba75471f2686516b9cf78c7fb082.png)
получаем:
![$$\frac{\alpha}{R^{\prime 2}} = \frac{\alpha}{\gamma^2 R^{2}} = \frac{\alpha(1-\beta^2)}{R^{2}} \eqno (6)$$ $$\frac{\alpha}{R^{\prime 2}} = \frac{\alpha}{\gamma^2 R^{2}} = \frac{\alpha(1-\beta^2)}{R^{2}} \eqno (6)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/3/6e3f16fea5c823356fb1e96ae29e878e82.png)
Вспомним теперь формулу (5), т.е., что наблюдатель
![$V$ $V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a3a4a202d80326bda413b5562d5cd182.png)
в единицу времени получает ту же энергию от галактики
![$A^{\prime}$ $A^{\prime}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/3/34371f231dadbf2b2c432f5d2f1a814682.png)
, что и
![$V^{\prime}$ $V^{\prime}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/d/f8db2cba75471f2686516b9cf78c7fb082.png)
(такую величину каждый получает в своей системе отсчёта). Интегрируем теперь по всем небесным сферам и до края Вселенной, и находим, что полная мощность
![$F$ $F$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/b/b8bc815b5e9d5177af01fd4d3d3c2f1082.png)
, получаемая наблюдателем
![$V$ $V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a3a4a202d80326bda413b5562d5cd182.png)
от расширяющейся Вселенной есть величина:
![$$F = \int_{0}^{\frac{1}{H}}\frac{\alpha(1-\beta^2)}{R^{2}} 4\pi R^2 dR = \int_{0}^{\frac{1}{H}}\frac{\alpha(1-H^{2}R^{2})}{R^{2}} 4\pi R^2 dR = 4\pi\alpha \int_{0}^{\frac{1}{H}}(1-H^{2}R^{2})dR = \frac{8\pi\alpha}{3H} \eqno (7)$$ $$F = \int_{0}^{\frac{1}{H}}\frac{\alpha(1-\beta^2)}{R^{2}} 4\pi R^2 dR = \int_{0}^{\frac{1}{H}}\frac{\alpha(1-H^{2}R^{2})}{R^{2}} 4\pi R^2 dR = 4\pi\alpha \int_{0}^{\frac{1}{H}}(1-H^{2}R^{2})dR = \frac{8\pi\alpha}{3H} \eqno (7)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/1/3a1e6f4f3c3c8459c63d7c4d95f2194682.png)
Опять же, интегрируя по постоянной Вселенной, получаем, что мощность должна быть величиной:
![$$G = \frac{4\pi\apha}{H} \eqno (8)$$ $$G = \frac{4\pi\apha}{H} \eqno (8)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/7/1b718f88cf53e8d4b178ba7b52bf46af82.png)
В итоге:
![$$\frac{G}{F} = \frac{3}{2} \eqno (9)$$ $$\frac{G}{F} = \frac{3}{2} \eqno (9)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/4/fc44a723976d83a8dcda8d0edf86571482.png)
В постоянной Вселенной всего в полтора раза теплее и ярче, чем в расширяющейся. Что и требовалось доказать.