Это сладкое слово "морфизм"

[Leox]

Kallikanzarid в сообщении #491311 писал(а):

Leox
Я преподавание вообще не затрагивал, разве не так?

Так, но человек же разобраться хочет в морфизмах, а его сразу к категориям отсылают. Ему может достаточно понять что такое изоморфизм/гомоморфизм векторных пространств и групп.

[arseniiv]

Ну так всё просто ж. Морфизмы алгебраических структур — преобразования, «сохраняющие» все соответствующие операции на этих структурах. А вот в категориях морфизм настолько общ, что определять его, используя каким-то образом элементы категорий, нельзя. Потому что элементы категории $A$ — это морфизмы типа $\mathbf 1 \to A$. И «традиционные» определения с участием отображающихся куда-нибудь элементов вытекают из категорных.

[Leox]

arseniiv в сообщении #491389 писал(а):

Ну так всё просто ж. Морфизмы алгебраических структур — преобразования, «сохраняющие» все соответствующие операции на этих структурах. А вот в категориях морфизм настолько общ, что определять его, используя каким-то образом элементы категорий, нельзя. Потому что элементы категории $A$ — это морфизмы типа $\mathbf 1 \to A$. И «традиционные» определения с участием отображающихся куда-нибудь элементов вытекают из категорных.

Тоесть для понимания того что есть морфизм категорически запрещается отсылать к теории категорий. При помощи етой ("абстрактной чепухи" (с)) теории еще никто ничего конкретного не понял, она предназначена для удобного обобщения уже ранее понятого.

[arseniiv]

Leox в сообщении #491456 писал(а):

Тоесть для понимания того что есть морфизм категорически запрещается отсылать к теории категорий.

Зачем же так. И внутри неё ведь потом следствия идут.

[Kallikanzarid]

Leox в сообщении #491456 писал(а):

При помощи етой ("абстрактной чепухи" (с)) теории еще никто ничего конкретного не понял

Лемму Йонеды считаем?

[Joker_vD]

Морфизмом можно назвать все, что угодно, лишь бы выполнялись несколько условий. Все. Да, как правило, морфизмами оказываются некоторые особые теоретико-множественные отображения.

Само слово "морфизм" — обрубок от гомо/изо/гомео/диффеоморфизма, впервые было употреблено именно в теории категорий. За "морфизм алгебраических многообразий" скажите спасибо Гротендику — он очень любил все обобщать до невозможности, а когда в руках есть теория категорий, это довольно просто.

[ivan1000]

Kallikanzarid в сообщении #491300 писал(а):

ivan1000
Морфизм определяется аналогично элементу группы: есть множество морфизмов с операцией композиции (плюс аксиомы), элемент этого множества называется морфизмом. Больше ничего тут нет, копайте или не копайте :)

Здесь у Вас, уважаемый Kallikanzarid, есть своеобразный так называемый порочный круг в определении морфизма:
"есть множество морфизмов (с операцией ...), элемент этого множества называется морфизмом";
морфизм определяется через морфизм.

======================
По результатам всех обсуждений у меня получается (напрашивается)
строгое логическое определение морфизма
следующего немного хитрого типа:

1) Термин "морфизм" в математике - это полный (или почти полный) синоним термина "отображение" (множеств).
2) Применение такого синонима исторически оправдано как краткого терминологического обобщения разных частных видов морфизмом в разных математических дисциплинах, где такие частные виды давно используются (гомоморфизм, изоморфизм и т.д.).
3) Строгость интерпретации термина "морфизм" полностью сводится к строгости интерпретации термина "отображение" (в дискретной математике) - но это уже его "личная" проблема.

-------------------------------
На данное текущее время меня это устраивает (как рабочая гипотеза).
Всем большое спасибо.
Общими усилиями приемлемый ответ на исходный вопрос, кажется, получен
(а там поживем – поглядим).

[Kallikanzarid]

ivan1000
Вы, как обычно, сели в лужу, поздравляю. Жду откровений про элементы группы.

[Joker_vD]

ivan1000 в сообщении #491777 писал(а):

1) Термин "морфизм" в математике - это полный (или почти полный) синоним термина "отображение" (множеств).

И чего мне теперь делать с категорией натуральных чисел, где морфизм из $a$ в $b$ — это выполнение $a\leqslant b$?

ivan1000 в сообщении #491777 писал(а):

Здесь у Вас, уважаемый Kallikanzarid, есть своеобразный так называемый порочный круг в определении морфизма:"есть множество морфизмов (с операцией ...), элемент этого множества называется морфизмом";морфизм определяется через морфизм.

Никакого нету круга: берем с потолка множество, называем его элементы морфизмами, а его само — множеством морфизмов. Благо, для любого множества отыщется категория, в которой множество морфизмов совпадает с нашим множеством.

[bnovikov]

ivan1000 в сообщении #491777 писал(а):

1) Термин "морфизм" в математике - это полный (или почти полный) синоним термина "отображение" (множеств).
2) Применение такого синонима исторически оправдано как краткого терминологического обобщения разных частных видов морфизмом в разных математических дисциплинах, где такие частные виды давно используются (гомоморфизм, изоморфизм и т.д.).
3) Строгость интерпретации термина "морфизм" полностью сводится к строгости интерпретации термина "отображение" (в дискретной математике) - но это уже его "личная" проблема.

Знал бы я, что ivan1000 придет к таким остроумным выводам, - не стал бы тратить время на пример.

[Kallikanzarid]

Joker_vD в сообщении #491872 писал(а):

Никакого нету круга: берем с потолка множество, называем его элементы морфизмами, а его само — множеством морфизмов. Благо, для любого множества отыщется категория, в которой множество морфизмов совпадает с нашим множеством.

А композицию вводить? :)

[Joker_vD]

Kallikanzarid в сообщении #491897 писал(а):

А композицию вводить? :)

На любом множестве можно задать структуру группы, так что никаких проблем с этим нет.

[JMH]

ivan1000 в сообщении #490628 писал(а):

Но что такое морфизм вообще - общее понятие морфизма?

С моей точки зрения, наиболее общее и вместе с тем исчёрпывающее определение (и не только) морфизма даётся в "Теории множеств" Бурбаки, гл. IV, параграф 2. Без определения структур обойтись не получится, так что начинайте читать сразу с параграфа 1 той же главы.

ИСН в сообщении #491237 писал(а):

Я так понимаю, слово "морфизм" не имеет смысла вне контекста теории категорий.

Имеет! И имело до возникновения теории категорий :)

Joker_vD в сообщении #491581 писал(а):

Морфизмом можно назвать все, что угодно, лишь бы выполнялись несколько условий. Все. Да, как правило, морфизмами оказываются некоторые особые теоретико-множественные отображения.

Полностью согласен!

bnovikov в сообщении #491874 писал(а):

Знал бы я, что ivan1000 придет к таким остроумным выводам, - не стал бы тратить время на пример.

Ну, эту thread читает не только ivan1000, так что время потрачено не зря.

[Kallikanzarid]

JMH в сообщении #492025 писал(а):

С моей точки зрения, наиболее общее и вместе с тем исчёрпывающее определение (и не только) морфизма даётся в "Теории множеств" Бурбаки, гл. IV, параграф 2. Без определения структур обойтись не получится, так что начинайте читать сразу с параграфа 1 той же главы.

Если бы еще без поллитры можно было в этом томе разобраться...

[JMH]

Kallikanzarid в сообщении #492027 писал(а):

Если бы еще без поллитры можно было в этом томе разобраться...

О, да! Чтобы прочесть и, тем более, понять эту книгу, нужно очень этого хотеть.