Это сладкое слово "морфизм"

[ivan1000]

whiterussian в сообщении #490657 писал(а):

Правда? а мне показалось, что человека интересует этимология слова.

Этимология слова меня тоже интересует.
Вот такая есть этимология:
морфизм — (гр. morphe форма) вторая составная часть сложных слов, обозначающая: относящийся к форме, виду, напр, антропоморфизм.

В принципе полезная этимология - для начальной ориентировки в морфизмах вообще:
во всем намножестве множества математических морфизмов.

Теперича дело за малым:
изыскать профессиональное обощенное определение разных смыслов употребления термина "морфизм" в математике.
А не только в теории категорий.
Хотя именно в теории категорий, где я пока некопенгаген, он меня изначельно и зацепил.

[Kallikanzarid]

ivan1000 в сообщении #490671 писал(а):

изыскать профессиональное обощенное определение разных смыслов употребления термина "морфизм" в математике.
А не только в теории категорий.

Теория категорий - в точности оно и есть :)

[bnovikov]

ivan1000 в сообщении #490628 писал(а):

Помогите, пожалуйста, с определением загадочного термина "морфизм".

Лучше всего, пожалуй, объяснить на примере. Построим такую категорию. Объектами его являются все множества. Морфизмами из множества $A$ в множество $B$ назовем все подмножества из $A\times B$. Определим произведение морфизмов $X\subset A\times B$ и $Y\subset B\times C$ следующим образом: $YX=\{(u,v)\in A\times C| (\exists z\in B) (u,z)\in A\times B, (z,v)\in B\times C\}$.
Все аксиомы категории выполняются, так что мы не согрешили назвав подмножества морфизмами, хотя отображениями они не являются (конечно, Вы можете сказать, что это - многозначные отображения, но тогда я предлагаю Вам для самостоятельного решения следующую простую задачу: придумать категорию, морфизмы которой не являются многозначными отображениями).

[arseniiv]

(2 Kallikanzarid.)

Kallikanzarid в сообщении #490643 писал(а):

В учебнике Маклейна

Вы имеете в виду «Категории для работающего математика»? Собрался почитать.

[Kallikanzarid]

arseniiv
Да :)

[ivan1000]

bnovikov в сообщении #490808 писал(а):

ivan1000 в сообщении #490628 писал(а):

Помогите, пожалуйста, с определением загадочного термина "морфизм".

Лучше всего, пожалуй, объяснить на примере. Построим такую категорию. Объектами его являются все множества. Морфизмами из множества $A$ в множество $B$ назовем все подмножества из $A\times B$. Определим произведение морфизмов $X\subset A\times B$ и $Y\subset B\times C$ следующим образом: $YX=\{(u,v)\in A\times C| (\exists z\in B) (u,z)\in A\times B, (z,v)\in B\times C\}$.

Спасибо за оригинальную трактовку.
Лично для меня это полезная информация для размышления (в любом случае).
Но пока есть такие контр-соображения:

1) Представленные выше выкладки - это некоторое определение типа
конструктивных определений (аксиоматическое в данном случае).
Они хороши в основном для формальных синтаксических построений, опознаваний математических объектов и т.п., но не предназначены специально для отражения неформальной сути дела
(хотя безусловно могут помочь такой беде).
Для этого существуют основной тип научных определений:
это родовидовые определения - через род и видовое отличие.
Вот это и хотелось бы иметь в наличии:
общее определение морфизма основного (родовидового) типа.

2) Морфизмы существовали в математике и до теории категорий.
Меня интересует в первую очередь именно первобытное общее понятие морфизма в математике и его точное определение:
вне и до теории категорий.

Прямых точных определений (вне контекста теории категорий) я пока не вижу:
в интернете (в поисковиках) и в моей литературе (бумажной и в электронных копиях), хотя я систематически пока не долбал этот вопрос.
Но такое интуитивное общее понятие морфизма безусловно имеет место быть,
поскольку термин "морфизм" довольно ходовой.

На худой конец подойдут определения и в контексте теории категорий
(так и быть, тем более, что она меня и интересует, в конечном счете).

2) Обычно мне попадаются определения типа пояснений между делом, в скобках и т.п.:
морфизмы (отображения),
стрелка (морфизм, отображение) и т.п.
То есть в данных случаях морфизм - это отображение:
Это как бы синонимы.
Но тогда зачем непонятный термин "морфизм", если есть понятный термин "отображение"?
Как неформальное словесное обобщение для длинного ряда терминов?:
"гомоморфизм", "изоморфизм" и т.д. и т.п.
Вот в чем вопрос.

3) Но сайте Knol
http://knol.google.com/k
есть справочная статья:
Морфизмы
Перечень различных морфизмов
attachment:/88/275.htm#

Приводится определение
"Морфизм (стрелка) — в общем смысле преобразование любого рода из одного объекта категории в другой.
В любой категории определено множество морфизмов для произвольной пары объектов этой категории.
В зависимости от различных свойств морфизмов выделяются различные их виды, которые перечислены ниже:"

Приводится список терминов разных частных морфизмов – всего 25 шт.
Говорится о ссылках на их определения, но у меня они не работают.

Но главное, есть определение морфизма типа:
морфизм - это любое преобразование (объектов в некоторой категории).
Интересно знать, насколько это соответствует общепринятым представлениям в математике.
Хотя нутром понятно – вроде бы соответствует.

-----------------------------
И все-таки, нет уверенности, что с общим понятием морфизма в математике все Ok.
Это довольно-таки странно – для меня, по крайней мере
(простого советского технаря - с почтительным отношением к математике).

[Kallikanzarid]

ivan1000
Почему бы просто не почитать учебник - глядишь и поймете, что к чему :)

[ivan1000]

Kallikanzarid в сообщении #491196 писал(а):

ivan1000
Почему бы просто не почитать учебник - ...

Я начал читать Гольдблата - по своим другим делам, просмотрел навскидку разные материалы по итету.
По обсуждаемому вопросу там такая (обычно) картина:
общий термин "морфизм" используется в смысле "отображение", но в лоб,
без общего определения общего понятия морфизма.
Везде (обычно) определяются только частные виды морфизмов.

Вы, уважаемый Kallikanzarid, рекомендуете:

Цитата:

Значит плохо смотрели. В учебнике Маклейна - точно есть

Вы уверены в этом?
Я сразу замневался - по опыту непосредственно в данной ситуации и ранее.
А вчера был по делам у сына и посмотрел Маклейна (для работающего математика).
Картина такая же.

Цитата:

Почему бы просто не почитать учебник - глядишь и поймете, что к чему :)

В общем, я что-то понимаю, в плане типовых аналогий (не я их придумал):
морфизмы - это отображения.
Меня это вполне устраивает.
Но есть дискомфорт - нет точного математического определения
общего понятия морфизма.

А вы, Kallikanzarid, все понимаете, что к чему по данному конкретному обстоятельству?
Это ехидный вопрос на засыпку.
Если да, по приведите, пожалуйста, строгое и точное математическое определение морфизма
(желательно общепризнанное и общепонятное).

[ИСН]

Я так понимаю, слово "морфизм" не имеет смысла вне контекста теории категорий. Соответственно, и самостоятельного определения у него нет, а есть только то, что входит в состав определения категории.
И потом, Вы же не спрашиваете, например, что такое "множество"?

[Leox]

Мне кажется что крен в сторону теории категорий неоправдан. Морфизм существует и за ее пределами, например в алгебраической геометрии активно употребляется морфизм алгебраических многообразий.

[ivan1000]

ИСН в сообщении #491237 писал(а):

Я так понимаю, слово "морфизм" не имеет смысла вне контекста теории категорий.

Я, может быть, ошибаюсь, но мне кажется:
-- теория категорий - это относительно молодая дисциплина, обобщающая многие частные дисциплины, в которых уже были понятия типа "изоморфизма" и других морфизмов;
-- и там уже использовался короткий термин "морфизм".
Если это так, то "морфизм" - это более "древний" термин, чем теория категорий и относительно независимый от нее.

Цитата:

Я так понимаю, слово "морфизм" не имеет смысла вне контекста теории категорий.
Соответственно, и самостоятельного определения у него нет,
а есть только то, что входит в состав определения категории.

Это, я думаю, никак не связано с тем, собственный или несобственный термин "морфизм" для теории категорий.
Если термин используется в теории , то он должен быть определен (это крайне желательно, иначе ...) .
Если это не исходный, а производный термин, то он должен быть определен средствами теории - строго и точно.
Если это исходный (начальный) термин, то он не может быть определен средствами теории.
Но это не значит, что он не может быть определен вообще:
средствами другой теории, или хотя бы, хоть как, "через пень колоду", но или определен, или описан (эксплицирован) или как-то достаточно ясно оговорен.

Цитата:

И потом, Вы же не спрашиваете, например, что такое "множество"?

А вот мудрый Дедекинд так не считал, что не надо спрашивать, что такое множество.
Я точно не помню, как конкретно, но он примерно так определял множество:
множество - это совокупность четко различимых элементов.
Это исходное опорное определение.
Это, конечно, не строгое математическое определение исходного понятия множества, но на этом и строится строгая классическая теория множеств.

И такое определение очень четко отличается от более поздней теории комплектов, как обобщения теории множеств, в которой:
комплект - это (примерно) совокупность элементов с повторениями
(с наличием одинаковых, то есть неразличимых элементов).
Существуют и другие обобщения, например, теория размытых (нечетких) множеств, для которой есть свое опорное общее определение размытого множества.

-- 10.10.2011, 15:12 --

Leox в сообщении #491248 писал(а):

Мне кажется что крен в сторону теории категорий неоправдан. Морфизм существует и за ее пределами, ... .

Я очень даже с Вами согласен (хотя пока не очень уверен, но очень хочется).

Цитата:

Морфизм существует и за ее пределами, например в алгебраической геометрии активно употребляется морфизм алгебраических многообразий.

Спасибо за наводку на конкретный пример. Буду иметь в виду.
Надеюсь, что это не противоречит толкованию морфима как отображения?

[Kallikanzarid]

ivan1000
Морфизм определяется аналогично элементу группы: есть множество морфизмов с операцией композиции (плюс аксиомы), элемент этого множества называется морфизмом. Больше ничего тут нет, копайте или не копайте :)

Leox в сообщении #491248 писал(а):

Морфизм существует и за ее пределами, например в алгебраической геометрии активно употребляется морфизм алгебраических многообразий.

Это наверное потому, что схемы образуют, я не знаю, категорию, не?

На самом деле, можно даже сказать сильнее: категория - это самая общая математическая структура, в которой имеет смысл рассматривать морфизмы.

[Leox]

Kallikanzarid в сообщении #491300 писал(а):

Leox в сообщении #491248 писал(а):

Морфизм существует и за ее пределами, например в алгебраической геометрии активно употребляется морфизм алгебраических многообразий.

Это наверное потому, что схемы образуют, я не знаю, категорию, не?

Не, морфизмы первичны а категории на самом деле вторичны, следствия. Морфизмы существуют спокойно и без категорий, а категории без морфизмов не состряпаешь, по опеределению. Согласен что категории наиболее общие обьекты, но начинать с них знакомство с морфизмами не совсем методически правильно.

[Kallikanzarid]

Leox
Я преподавание вообще не затрагивал, разве не так?

[Oleg Zubelevich]

Kallikanzarid
Вы на вопрос-то ответьте post490844.html#p490844