Задача для 9 класса (делимость чисел...)

[Klad33]

Красота данной задачи не в том, чтобы определить минимально возможное число, а в нахождении общей зависимости. Этим сейчас и занимаюсь с учащимися математической школы. О результатах сообщу позже.

[nnosipov]

Klad33 в сообщении #491212 писал(а):

Красота данной задачи не в том, чтобы определить минимально возможное число, а в нахождении общей зависимости.

Поставим задачу так: дано достаточно большое число $M$; требуется вставить между $19$ и $96$ число $k$ с наименьшим количеством цифр так, что получившееся число делилось на $M$ (в исходной постановке $M=1997$). Сколь много потребуется вычислений, чтобы найти это $k$? Предварительно вычислив $l=96/100 \bmod{M}$, далее последовательно подставляем $m=1,2,3,\dots$ в формулу

$$ k \equiv -19 \cdot 10^m-l \pmod{M}. $$

Очевидно, что не более чем за $[\log_{10}(M)]+1$ таких вычислений мы найдём искомое $k$.

[TOTAL]

Школьники решают без перебора следующим образом.

$1997x=19 \cdots 96 \rightarrow x=100y+68$
$1997 \cdot 68= 135796$
$1997y=-1357+ 19 \cdots,$ где $19 \cdots$ имеет по крайней мере 5 знаков
$19000-1357=1997 \cdot 9-330 \rightarrow 19 \cdots=19330$

Числа $19 \cdots$ с 5 знаками могло и не найтись, но с 6 знаками нашлось бы обязательно.

[Klad33]

Совместными усилиями было найдено общее решение задачи:

$1997(10^n - 100 m - 32)$ , где:

$n>2 \, ; \quad 0 \le m \le \frac{97}{1997} 10^{n-2}$

Минимальное число получаем при $n=3 \, ; \quad m=0$

PS. Правая граница m округляется до целого числа, следовательно точность этой границы $\pm1$

[Klad33]

Небольшое уточнение в левой границе m. Теперь математическая модель окончательно выглядит так:

$1997(10^n - 100 m - 32)$ , где:

$n>2 \, ; \quad -\frac{3}{1997} 10^{n-2} \le m \le \frac{97}{1997} 10^{n-2}$

Минимальное число получаем при $n=3 \, ; \quad m=0$

PS. Границы m округляются до целого числа, следовательно точность этих границ $\pm1$

Получены более общие формулы, позволяющие такую же задачу решать, например, для чисел 1994 и 1995.

[TOTAL]

Klad33 в сообщении #491599 писал(а):

Получены более общие формулы, позволяющие такую же задачу решать, например, для чисел 1994 и 1995.

Такая же задача для чисел 1994 и 1995 решения не имеет, т.к. число с 4 на конце не делится на 1995 (и число с 5 на конце не делится на 1994).

[Klad33]

Да, конечно! Я поспешил. Речь идет только о простых вторых числах, например, 1994 и 1993. Тогда уравнение будет

$1993(10^n-100m-42)$

ну и с соответствующими ограничениями на n и m

[Klad33]

Что интересно, если принять приведенную выше пару 1994 и 1993, будем иметь:

$1993(10^n - 100 m - 42)$ , где:

$n>2 \, ; \quad -\frac{7}{1993} 10^{n-2} \le m \le \frac{93}{1993} 10^{n-2}$

Минимальное число 1909294
--------------------------------------------

Для пары 1926 и 1993:

$1993(10^n - 100 m - 18)$ , где:

$n>2 \, ; \quad -\frac{7}{1993} 10^{n-2} \le m \le \frac{93}{1993} 10^{n-2}$

Минимальное число 1957126

То есть ограничения совершенно одинаковые и зависят только от множителя 1993

----------------------------------------------------------------------------------------

Для пары 1988 и 1951:

$1951(10^n - 100 m - 12)$ , где:

$n>2 \, ; \quad -\frac{49}{1951} 10^{n-2} \le m \le \frac{51}{1951} 10^{n-2}$

Минимальное число 1927588