Задача для 9 класса (делимость чисел...)

[Helga007]

это минимальное число цифр в числе, то есть 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-- Чт окт 06, 2011 21:11:49 --

но если, мы будем подставлять вместо m эти числа, то будем получать отрицательные, значит надо искать положительные сравнимые с ними по мод 1997

[nnosipov]

Helga007 в сообщении #490148 писал(а):

это минимальное число цифр в числе, то есть 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Вы, видимо, хотели сказать, что $m$ --- это минимальное количество цифр числа $k$. Проще говоря, число $k$ должно быть $m$-значным, и нас устроит наименьшее значение $m$. А не попробовать ли нам несколько первых значений $m$? Выпишем для них полученное выше сравнение для $k$.

-- Пт окт 07, 2011 00:16:58 --

Helga007 в сообщении #490148 писал(а):

но если, мы будем подставлять вместо m эти числа, то будем получать отрицательные, значит надо искать положительные сравнимые с ними по мод 1997

Именно.

[Helga007]

для m=1 у меня получилось $k\equiv -659(\mod 1997)\to k\equiv 1338(\mod 1997)$ кажется так

[nnosipov]

Helga007 в сообщении #490151 писал(а):

для m=1 3у меня получилось $K\equiv -659(\mod 1997)$

Пересчитайте.

[Helga007]

прошу прощения, $k\equiv -830(\mod 1997)$

[nnosipov]

Теперь ищем положительное число, сравнимое с $-830$.

[Helga007]

1167, дальше так же для 2?

[nnosipov]

Да! Пишите, что там получается.

[Helga007]

а при m=2 получаем что $k\equiv 1454(\mod 1997)$

-- Чт окт 06, 2011 21:37:32 --

уже больше, значит дальше нет смысла проверять

[nnosipov]

Верно. Ответ в задаче пока не получен, но мы близки к нему.

-- Пт окт 07, 2011 00:38:59 --

Helga007 в сообщении #490161 писал(а):

уже больше, значит дальше нет смысла проверять

Есть! Вот увидите.

[Helga007]

при m=3 k сравнимо с 330

-- Чт окт 06, 2011 21:44:45 --

по идее, надо проверять все цифры, чтобы выбрать наименьшее и это и будет ответ, в ответе вроде 330 и есть

[nnosipov]

Helga007 в сообщении #490165 писал(а):

при m=3 k сравнимо с 330

Правильно! Заметьте, число $330$ как раз трёхзначное. О чём это говорит? А, вот Вы и догадались. Что ж, задача решена.

[Helga007]

не знаю((

-- Чт окт 06, 2011 21:50:20 --

m же это число цифр!!!!!))))) Спасибо огромное за помощь и терпение!!!!

[nnosipov]

Helga007 в сообщении #490168 писал(а):

не знаю((

Ну тогда ещё раз скажем, что мы сделали. Мы показали при помощи сравнений, что $m$-значное число $k$, которое вставляется между 19 и 96, приведёт к делимости на 1997 тогда и только тогда, когда

$$ k \equiv -19 \cdot 10^m-640 \pmod{1997}. $$

После этого мы стали перебирать последовательно значения $m$. При $m=1$ мы получили $k \equiv 1167 \pmod{1997}$; но таких однозначных $k$ не существует. Далее мы рассмотрели $m=2$ и получили $k \equiv 1454 \pmod{1997}$. Но и таких двузначных $k$ тоже нет. Наконец, мы взяли $m=3$. И здесь нам повезло. Ну как, теперь понятно? О, вижу, что да.

[Helga007]

спасибо спасибо спасибо, я поняла)))))