Задача для 9 класса (делимость чисел...)

[nnosipov]

Отлично! Теперь давайте упростим: $k=-19 \cdot 10^m-96/100$. Вот если бы дробь $96/100$ была целым числом, проблемы бы совсем не было, но это не так. Однако мы можем дробь $96/100$ понимать как некое целое число (обозначим его $z$), которое при умножении на $100$ даёт $96$ по модулю $1997$. Иными словами, $100z \equiv 96 \pmod{1997}$. Нельзя ли отсюда найти $z$?

[Klad33]

Хорошо, по-существу. Я, конечно же, сначала задачу решил на бумаге и мне пришлось перебрать всего 8 вариантов. Вот мои рассуждения, не требующие знания сравнения по моде.
Заметим, что в выражении n*1997 число n должно заканчиваться на 8. С другой стороны, раз мы умножаем примерно 2000 на число n и получаем в результате примерно $2 \cdot 10^k$ , то само n - примерно $1 \cdot 10^m$.
Исходя из сказанного рассмотим цепочку:

1) $8 \cdot 1997=15976$
2) $18 \cdot 1997=35946$
это проехали. Далее:
3) $98 \cdot 1997=195706$
4) $108 \cdot 1997=215676$
тоже проехали. Далее:
5) $998 \cdot 1997=1993006$
6) $988 \cdot 1997=1973036$
7) $978 \cdot 1997=1953066$
8) $968 \cdot 1997=1933096$

Последнее - решение задачи

Оговорюсь - я встал на позицию среднего девятиклассника.

[nnosipov]

Klad33 в сообщении #490125 писал(а):

С другой стороны, раз мы умножаем примерно 2000 на число n и получаем в результате примерно $2 \cdot 10^k$ , то само n - примерно $1 \cdot 10^m$.
Исходя из сказанного я рассмотрел цепочку:

1) $8 \cdot 1997=15976$
2) $18 \cdot 1997=35946$
это проехали. Далее:
3) $98 \cdot 1997=195706$
4) $108 \cdot 1997=215676$
тоже проехали. Далее:
5) $998 \cdot 1997=1993006$
6) $988 \cdot 1997=1973036$
7) $978 \cdot 1997=1953066$
8) $968 \cdot 1997=1933096$

Последнее - решение задачи

Правильное решение задачи на последних этапах Всероссийской олимпиады школьников по математике оценивается в 7 баллов. За такое решение я бы дал не более 3-4 баллов, ибо представленный перебор не обоснован строго. То, что можно существенно сократить перебор, конечно, не так важно, но всё же имеет значение.

[Helga007]

теперь надо подобрать такое m, чтобы скобка справа делилась нацело на 100

-- Чт окт 06, 2011 20:23:59 --

упс, я опоздала))

[nnosipov]

Helga007 в сообщении #490128 писал(а):

упс, я опоздала))

Ничего Вы не опоздали. Мы делим $96$ на $100$ по модулю $1997$, т.е. находим $z$ из сравнения $100z \equiv 96 \pmod{1997}$.

[Helga007]

$100z\equiv 96(\mod 1997)\to 25z\equiv 24(\mod 1997)\to 25z-24=1997x\to 25z-1997x=24$ и надо решить последнее уравнение

-- Чт окт 06, 2011 20:30:00 --

получается надо решать диофантово уравнение

[nnosipov]

Можно и так, если Вы умеете решать такие уравнения (тоже, кстати, полезная вещь). Но лучше так: сравнение $100z \equiv 96 \pmod{1997}$ умножим на $20$. Что получится?

[Helga007]

$2000z\equiv 1920(\mod 1997) $

[nnosipov]

Заменим $2000$ в этом сравнении на ... что? (сравнимое с ним по модулю $1997$)

[Helga007]

$3z\equiv 1920(\mod 1997)$

[nnosipov]

Ну а теперь что напрашивается? Ведь все коэффициенты сравнения (кроме модуля, естественно) делятся на это.

[Helga007]

ну надо же не увидела $z\equiv 640(\mod 1997)$

-- Чт окт 06, 2011 20:50:14 --

спасибо большое за помощь!!!!!

[nnosipov]

Здорово! Так, теперь нужно вот что сказать: сравнение $a \equiv b \pmod{m}$ можно сократить на общий делитель $d$ чисел $a$ и $b$ только тогда, когда этот $d$ взаимно прост с модулем $m$. (Хорошо, что у нас так и было: мы, например, делили на $100$, но это можно делать, поскольку $100$ и $1997$ взаимно просты.) Итак, теперь мы имеем

$$ k \equiv -19 \cdot 10^m-96/100 \equiv -19 \cdot 10^m-640 \pmod{1997}. $$

Но надо ещё кое-что вспомнить про $k$.

-- Чт окт 06, 2011 23:53:20 --

Helga007 в сообщении #490138 писал(а):

спасибо большое за помощь!!!!!

Но $k$ мы так и не нашли.

[Helga007]

но ведь не подбором?

[nnosipov]

Некоторого перебора здесь не избежать. Вспомним про $m$, он у нас в формуле для $k$. Кто он такой, этот $m$?