Об уравнении n-й степени

[Амира]

Если любите алгебру и революционеров - почитайте что-нибудь по теории Галуа. Например, Постникова или http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/galois.html. Красивая вещь и ваш вопрос освещается. Можно также и Милна посмотреть - http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/math594f.html

[PSP]

lofar писал(а):

Давайте разберемся.

Рассмотрим полином $f(x)\in\mathbb Q[x]$.
Существуют комплексные числа $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ (не обязательно различные) такие, что $f(x)=(x-\alpha_1)\ldots(x-\alpha_n)$.

Пусть $K=\mathbb Q(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$. $K$ --- наименьшее из полей $L$ таких, что:
a) $\mathbb Q\subseteq L\subseteq\mathbb C$,
b) $f(x)$ раскладывается на линейные множители в $L[x]$.
$K$ называется полем разложения полинома $f(x)$.

Полином $f(x)$ называется разрешимым в радикалах если существует натуральное $t$ и цепочка полей $\mathbb Q=L_0\leqslant L_1\leqslant\ldots\leqslant L_t=K$ такие, что для любого $i=1,\ldots,t$ найдется элемент $\beta_i\in L_i$ такой, что
a) $L_i =L_{i-1}(\beta_i)$,
b) существует натуральное $n_i$ такое, что $\beta_i^{n_i}\in L_{i-1}$.

А какие ограничения на коэффициенты агебр. уравнения, например 8-й степани, надо накладывать, чтобы оно было разрешимо в радикалах?
Будет ли требование разложимости многочлена 8-й степени на произведение 2-х многочленов 4-й степени наиболее общим условием того , чтобы ур-е 8-й степени было решаемо в радикалах?

[Macavity]

Или такой вопрос. Можно ли считать, что уравнение 8-й степени, у которого все корни кратные разрешимо в радикалах? Вероятно, да.
Тогда, вообще, утверждение о неразрешимости уравнения в радикалах выше четвертой степени относится к общему виду уравнения?

[tolstopuz]

PSP писал(а):

А какие ограничения на коэффициенты агебр. уравнения, например 8-й степани, надо накладывать, чтобы оно было разрешимо в радикалах?

Группа Галуа многочлена должна быть разрешимой. В принципе это сводится к проверке, раскладывается ли на множители некая резольвента, но, насколько я знаю, для восьмой степени ее никто явно не строил.
Даже если многочлен разрешим в радикалах, для получения явного решения при каждой конкретной разрешимой группе Галуа приходится приложить нетривиальные усилия. Например:
http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/99/galois_8
А вот здесь в разделе 3.3 можно посмотреть список возможных групп и оценить масштаб бедствия:
http://hobbes.la.asu.edu/papers/octics.pdf

PSP писал(а):

Будет ли требование разложимости многочлена 8-й степени на произведение 2-х многочленов 4-й степени наиболее общим условием того , чтобы ур-е 8-й степени было решаемо в радикалах?

На произведение многочленов с каками коэффициентами? Если в $\mathbb{C}, то, очевидно, так разложится любой многочлен. Если же в минимальном поле, содержащем коэффициенты исходного уравнения, то это неверно: $x^8+1$ неприводим в $\mathbb{Q}[x]$, но разрешим в радикалах.

[PSP]

tolstopuz писал(а):

На произведение многочленов с каками коэффициентами?

С действительными коэффициентами, можно?

[tolstopuz]

PSP писал(а):

tolstopuz писал(а):

На произведение многочленов с каками коэффициентами?

С действительными коэффициентами, можно?

А то же самое. Любой многочлен восьмой степени с действительными коэффициентами раскладывается на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами. Скомбинировав их, получаем два множителя четвертой степени.

Критерий разрешимости в радикалах таким способом не получается.

[PSP]

tolstopuz писал(а):

. Скомбинировав их, получаем два множителя четвертой степени.

Но ведь эти множители в радикалах решаются?!

[PAV]

Ну решаются, и что? Их коэффицициенты нельзя выразить в радикалах через коэффициенты исходного многочлена.

[Macavity]

PAV писал(а):

Ну решаются, и что? Их коэффицициенты нельзя выразить в радикалах через коэффициенты исходного многочлена.

И все-таки, если можно, хотелось бы уточнить.
Предположим есть дополнительная информация о многочлене:
1. Многочлен степени n и все его коэффициэнты действительные числа.
2. Известно, что все корни действительные числа.
3. Известно, что все корни имеют кратность 1, за исключением одного корня, у которого кратность два.

Для такого многочлена можно за конечное число шагов и, думаю в радикалах через коэффициенты исходного многочлена тоже можно, получить значение этого корня кратности два.

Что это означает с точки зрения теории Галуа. У группы Галуа специальный вид или что-то другое?

[tolstopuz]

Macavity писал(а):

Для такого многочлена можно за конечное число шагов и, думаю в радикалах через коэффициенты исходного многочлена тоже можно, получить значение этого корня кратности два.

Без радикалов. Просто посчитать алгоритмом Евклида наибольший общий делитель многочлена и его производной.

Macavity писал(а):

Что это означает с точки зрения теории Галуа. У группы Галуа специальный вид или что-то другое?

В такой постановке задачи (коэффициенты и корни - действительные числа) группа Галуа тривиальна, потому что многочлен полностью раскладывается на линейные множители.

Нетривиальная группа Галуа возникает в том случае, когда многочлен не может быть полностью разложен над данным полем коэффициентов, например, $x^3-1$ над $\mathbb{Q}$ или $x^2+ax+b$ над $\mathbb{Q}(a,b)$. Ну или даже $x^2+\pi$ над $\mathbb{R}$. Она показывает, насколько надо расширить это поле, чтобы оно вместило все корни многочлена.

[PSP]

tolstopuz писал(а):

PSP писал(а):

tolstopuz писал(а):

На произведение многочленов с каками коэффициентами?

С действительными коэффициентами, можно?

А то же самое. Любой многочлен восьмой степени с действительными коэффициентами раскладывается на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами. Скомбинировав их, получаем два множителя четвертой степени.

Критерий разрешимости в радикалах таким способом не получается.

А какие ограничения надо наложить на его коэффициенты, чтобы многочлен восьмой степени с действительными коэффициентами решался в радикалах?
А чтобы корни были действительными, ограничения на его коэффициенты тоже есть?

[tolstopuz]

PSP писал(а):

А какие ограничения надо наложить на его коэффициенты, чтобы многочлен восьмой степени с действительными коэффициентами решался в радикалах?

Ну я же рассказывал. На основе исходного многочлена строится некий новый многочлен - резольвента. Ее коэффиценты сами выражаются как многочлены от коэффициентов исходного многочлена. Резольвента имеет рациональный корень тогда и только тогда, когда исходный многочлен разрешим в радикалах.

Для пятой степени эта резольвента построена явно. Я не знаю, занимался ли кто-нибудь этим для восьмой степени.

На самом деле этот способ применяется для уравнений с рациональными числовыми коэффициентами, и у меня нет уверенности, что он применим к действительным буквенным. Но что-то подсказывает, что может и получиться.

PSP писал(а):

А чтобы корни были действительными, ограничения на его коэффициенты тоже есть?

Количество действительных корней находится с помощью теоремы Штурма. Для пятой степени из нее отлично получаются ограничения в виде неравенств. Для восьмой степени, думаю, это тоже можно сделать, хотя и гораздо более громоздко.

[PSP]

tolstopuz писал(а):

PSP писал(а):

А какие ограничения надо наложить на его коэффициенты, чтобы многочлен восьмой степени с действительными коэффициентами решался в радикалах?

Ну я же рассказывал. На основе исходного многочлена строится некий новый многочлен - резольвента. Ее коэффиценты сами выражаются как многочлены от коэффициентов исходного многочлена. Резольвента имеет рациональный корень тогда и только тогда, когда исходный многочлен разрешим в радикалах.

Для пятой степени эта резольвента построена явно. Я не знаю, занимался ли кто-нибудь этим для восьмой степени.

На самом деле этот способ применяется для уравнений с рациональными числовыми коэффициентами, и у меня нет уверенности, что он применим к действительным буквенным. Но что-то подсказывает, что может и получиться.

PSP писал(а):

А чтобы корни были действительными, ограничения на его коэффициенты тоже есть?

Количество действительных корней находится с помощью теоремы Штурма. Для пятой степени из нее отлично получаются ограничения в виде неравенств. Для восьмой степени, думаю, это тоже можно сделать, хотя и гораздо более громоздко.

Да. интересно. А вот мог бы мне кто - нибудь помочть в этом исследовании ? Математические лавры отдам помошнику. Мне нужен только результат...
Например, как строить резольвенту? Есть ли алгоритьм этого? Если кто может, расскажите..

[незваный гость]

Кое-что (а вернее, что-то) есть здесь.

Можно еще, наверно, поэкспериментировать с AlgFields.

Google: resolvent polynomial.

[Macavity]

tolstopuz писал(а):

Macavity писал(а):

Для такого многочлена можно за конечное число шагов и, думаю в радикалах через коэффициенты исходного многочлена тоже можно, получить значение этого корня кратности два.

Без радикалов. Просто посчитать алгоритмом Евклида наибольший общий делитель многочлена и его производной.

Да. Это я и имел в виду. Радикалы тут, в самом деле, ни причем.

tolstopuz писал(а):

Macavity писал(а):

Что это означает с точки зрения теории Галуа. У группы Галуа специальный вид или что-то другое?

В такой постановке задачи (коэффициенты и корни - действительные числа) группа Галуа тривиальна, потому что многочлен полностью раскладывается на линейные множители.

Понятно. Спасибо.