2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Множество рациональных чисел на прямой не является G_delta
Сообщение04.10.2011, 18:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Здравствуйте! Помогите ответить на следующий вопрос:
Почему множество рациональных чисел на вещественной прямой на является $G_{\delta}$- множеством?
Благодарю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество рациональных чисел на прямой
Сообщение04.10.2011, 18:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18004
Москва
Потому что его дополнение не является $F_{\sigma}$-множеством.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество рациональных чисел на прямой
Сообщение04.10.2011, 21:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Someone, всё равно не пойму как доказать что дополнение не является $F_{\sigma}$. Можете подсказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество рациональных чисел на прямой
Сообщение04.10.2011, 21:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Используйте теорему Бэра о категориях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество рациональных чисел на прямой
Сообщение04.10.2011, 21:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
RIP, а элементарными методами это доказать нельзя? Я просто не знаю такую теорему :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество рациональных чисел на прямой
Сообщение04.10.2011, 21:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18004
Москва
Да можно, конечно. Теоремы о вложенных отрезках хватит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество рациональных чисел на прямой
Сообщение05.10.2011, 15:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Someone, попробовал, но не могу довести до конца. Предполагаю, что $\mathbb{Q}$ является $F_{\sigma}$-множеством, тогда $\mathbb{Q}=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}U_n$. $U_n$- произвольное открытое. Рассматриваю $U_1, U_1\cap U_2, U_1\cap U_2\cap U_3,\ldots$. $U_1$ можно представить в виде не более чем счётного объединения интервалов вида $(a_k,b_k)$, $U_1\cap U_2$ представляется в виде не более чем счётного $(a_k',b_k')$, таких что $(a_k',b_k')\subset (a_k,b_k)$ и т.д. Имеем систему вложенных интервалов: $\ldots\subset(a_k''',b_k''')\subset(a_k'',b_k'')\subset(a_k',b_k')\subset (a_k,b_k)$. А что с ними делать дальше, не понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество рациональных чисел на прямой
Сообщение06.10.2011, 00:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18004
Москва
xmaister в сообщении #489760 писал(а):
Предполагаю, что $\mathbb{Q}$ является $F_{\sigma}$-множеством, тогда $\mathbb{Q}=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}U_n$. $U_n$- произвольное открытое.
То, что Вы написали - это не $F_{\sigma}$, а $G_{\delta}$. А $F_{\sigma}$ - это объединение счётного множества замкнутых множеств. В данном случае - нигде не плотных, так как они содержатся в множестве иррациональных чисел и потому не содержат никакого интервала. Нужно построить стягивающуюся последовательность вложенных отрезков, пересечение которых есть заведомо иррациональная точка, не содержащаяся в объединении заданного счётного множества замкнутых множеств. Фактически Вы докажете теорему Бэра для множества иррациональных чисел (что оно не является объединением счётного множества нигде не плотных множеств). Потом сообразите, как эту теорему доказать для произвольного полного метрического пространства.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group