Множество рациональных чисел на прямой не является G_delta

[xmaister]

Здравствуйте! Помогите ответить на следующий вопрос:
Почему множество рациональных чисел на вещественной прямой на является $G_{\delta}$- множеством?
Благодарю.

[Someone]

Потому что его дополнение не является $F_{\sigma}$-множеством.

[xmaister]

Someone, всё равно не пойму как доказать что дополнение не является $F_{\sigma}$. Можете подсказать?

[RIP]

Используйте теорему Бэра о категориях.

[xmaister]

RIP, а элементарными методами это доказать нельзя? Я просто не знаю такую теорему

[Someone]

Да можно, конечно. Теоремы о вложенных отрезках хватит.

[xmaister]

Someone, попробовал, но не могу довести до конца. Предполагаю, что $\mathbb{Q}$ является $F_{\sigma}$-множеством, тогда $\mathbb{Q}=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}U_n$. $U_n$- произвольное открытое. Рассматриваю $U_1, U_1\cap U_2, U_1\cap U_2\cap U_3,\ldots$. $U_1$ можно представить в виде не более чем счётного объединения интервалов вида $(a_k,b_k)$, $U_1\cap U_2$ представляется в виде не более чем счётного $(a_k',b_k')$, таких что $(a_k',b_k')\subset (a_k,b_k)$ и т.д. Имеем систему вложенных интервалов: $\ldots\subset(a_k''',b_k''')\subset(a_k'',b_k'')\subset(a_k',b_k')\subset (a_k,b_k)$. А что с ними делать дальше, не понимаю.

[Someone]

xmaister в сообщении #489760 писал(а):

Предполагаю, что $\mathbb{Q}$ является $F_{\sigma}$-множеством, тогда $\mathbb{Q}=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}U_n$. $U_n$- произвольное открытое.

То, что Вы написали - это не $F_{\sigma}$, а $G_{\delta}$. А $F_{\sigma}$ - это объединение счётного множества замкнутых множеств. В данном случае - нигде не плотных, так как они содержатся в множестве иррациональных чисел и потому не содержат никакого интервала. Нужно построить стягивающуюся последовательность вложенных отрезков, пересечение которых есть заведомо иррациональная точка, не содержащаяся в объединении заданного счётного множества замкнутых множеств. Фактически Вы докажете теорему Бэра для множества иррациональных чисел (что оно не является объединением счётного множества нигде не плотных множеств). Потом сообразите, как эту теорему доказать для произвольного полного метрического пространства.