Маленький вопрос про квадратные вычеты.

[David Sunrise]

Рассмотрим $p(\mod s)$,где p,s - простые числа.Вопрос-будет ли p квадратом в поле вычетов по модулю p? Понятно что если $p<s$ то квадратом он никак не будет....а что будет если $p>s$?И вообще как узнать будет ли какое то простое число кваадратом по модулю $p$?

[nnosipov]

Говорят не квадратные вычеты, а квадратичные вычеты. Ваш вопрос --- это вопрос о законе взаимности квадратичных вычетов. Об этом лучше прочитать в книжке (например, в классическом учебнике И.М. Виноградова "Основы теории чисел").

Что-то я поторопился с ответом. Ваш вопрос на самом деле попроще: как выяснить, будет ли данное $a$ квадратичным вычетом по модулю простого $p$? Так?

[David Sunrise]

Да примерно как,но я рассматриваю только простые $ a$...

[nnosipov]

David Sunrise в сообщении #489436 писал(а):

Да примерно как,но я рассматриваю только простые $ a$...

Дело в том, что ответ не зависит от того, будет $a$ простым или нет (но важно, что модуль сравнения --- простое число). Посмотрите где-нибудь критерий Эйлера (в той же книжке Виноградова от есть).

[Cash]

Если на компе - то можно по определению - вычислить $p^{(s-1)/2 } \mod s$
Если получится $1$ - то вычет, если $-1$ - невычет.
Для ручного вычисления вполне подойдет использование квадратичного закона взаимности, ну и элементарных свойств квадратичного вычета

[David Sunrise]

Просто это нужно было мне для доказательства что $\sum_{n=1}^\infty \frac{ \chi(n)}{n^s}=\lim_{k \to \infty}\prod_{i=1}^k \frac{1}{1-\chi(p_i)p^{-s}}$,при $s>0$ ,а $p_1,p_2,p_3...$ простые натуральные числа.

$\chi(n)=$

$1)$ 0 если n делится на p
$2)$ 1 если n квадрат mod p
$3)$-1 если n не квадрат mod p

где $p$ простое число, $n$ натуральное...

Ну дак вот тот вопрос я задавал чтоб понять как меняются знаки перед $\chi(p_i)$ в знаменателе,а если там нет никакой "нормальной последовательности" то это совсем непонятно...

[nnosipov]

David Sunrise в сообщении #489456 писал(а):

Просто это нужно было мне для доказательства что $\sum_{n=1}^\infty \frac{ \chi(n)}{n^s}=\lim_{k \to \infty}\prod_{i=1}^k \frac{1}{1-\chi(p_i)p^{-s}}$,при $s>0$ ,а $p_1,p_2,p_3...$ простые натуральные числа.

Для доказательства этой формулы Вам нужно знать только то, что $\chi(n)$ --- мультипликативная функция.

[Sonic86]

David Sunrise в сообщении #489456 писал(а):

Просто это нужно было мне для доказательства что $\sum_{n=1}^\infty \frac{ \chi(n)}{n^s}=\lim_{k \to \infty}\prod_{i=1}^k \frac{1}{1-\chi(p_i)p^{-s}}$,при $s>0$ ,а $p_1,p_2,p_3...$ простые натуральные числа.

Что-то я вообще не понял.
Вам для доказательства этого вообще не нужно знать, как именно устроен характер $\chi$. Достаточно его мультипликативности.
Если $f(n)$ - мультипликативная функция, то

$$\sum\limits_{n=1}^{+ \infty} \frac{f(n)}{n^s} = \prod\limits_p \frac{1}{1-\frac{f(p)}{p^s}}.$$

Нормальной литературы по характерам я не знаю, но можете посмотреть Постникова Введение в теорию алгебраических чисел или Воронина Карацубу Дзета-функция Римана.

[RIP]

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #489462 писал(а):

Если $f(n)$ - мультипликативная функция, то

$$\sum\limits_{n=1}^{+ \infty} \frac{f(n)}{n^s} = \prod\limits_p \frac{1}{1-\frac{f(p)}{p^s}}.$$

Это формула для вполне мультипликативной функции. Для мультипликативной чуть сложнее.

[Sonic86]

RIP в сообщении #489569 писал(а):

Это формула для вполне мультипликативной функции. Для мультипликативной чуть сложнее.

Да, наврал немного