2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Маленький вопрос про квадратные вычеты.
Сообщение04.10.2011, 16:40 


19/02/11
107
Рассмотрим $p(\mod s)$,где p,s - простые числа.Вопрос-будет ли p квадратом в поле вычетов по модулю p? Понятно что если $p<s$ то квадратом он никак не будет....а что будет если $p>s$?И вообще как узнать будет ли какое то простое число кваадратом по модулю $p$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленький вопрос про квадратные вычеты.
Сообщение04.10.2011, 16:46 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
Говорят не квадратные вычеты, а квадратичные вычеты. Ваш вопрос --- это вопрос о законе взаимности квадратичных вычетов. Об этом лучше прочитать в книжке (например, в классическом учебнике И.М. Виноградова "Основы теории чисел").

Что-то я поторопился с ответом. Ваш вопрос на самом деле попроще: как выяснить, будет ли данное $a$ квадратичным вычетом по модулю простого $p$? Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленький вопрос про квадратные вычеты.
Сообщение04.10.2011, 16:51 


19/02/11
107
Да примерно как,но я рассматриваю только простые $ a$...

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленький вопрос про квадратные вычеты.
Сообщение04.10.2011, 16:56 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
David Sunrise в сообщении #489436 писал(а):
Да примерно как,но я рассматриваю только простые $ a$...
Дело в том, что ответ не зависит от того, будет $a$ простым или нет (но важно, что модуль сравнения --- простое число). Посмотрите где-нибудь критерий Эйлера (в той же книжке Виноградова от есть).

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленький вопрос про квадратные вычеты.
Сообщение04.10.2011, 17:18 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Если на компе - то можно по определению - вычислить $p^{(s-1)/2 } \mod s$
Если получится $1$ - то вычет, если $-1$ - невычет.
Для ручного вычисления вполне подойдет использование квадратичного закона взаимности, ну и элементарных свойств квадратичного вычета

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленький вопрос про квадратные вычеты.
Сообщение04.10.2011, 18:05 


19/02/11
107
Просто это нужно было мне для доказательства что $\sum_{n=1}^\infty \frac{ \chi(n)}{n^s}=\lim_{k \to \infty}\prod_{i=1}^k \frac{1}{1-\chi(p_i)p^{-s}}$,при $s>0$$p_1,p_2,p_3...$ простые натуральные числа.

$\chi(n)=$

$1)$ 0 если n делится на p
$2)$ 1 если n квадрат mod p
$3)$-1 если n не квадрат mod p

где $p$ простое число, $n$ натуральное...

Ну дак вот тот вопрос я задавал чтоб понять как меняются знаки перед $\chi(p_i)$ в знаменателе,а если там нет никакой "нормальной последовательности" то это совсем непонятно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленький вопрос про квадратные вычеты.
Сообщение04.10.2011, 18:15 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
David Sunrise в сообщении #489456 писал(а):
Просто это нужно было мне для доказательства что $\sum_{n=1}^\infty \frac{ \chi(n)}{n^s}=\lim_{k \to \infty}\prod_{i=1}^k \frac{1}{1-\chi(p_i)p^{-s}}$,при $s>0$$p_1,p_2,p_3...$ простые натуральные числа.

Для доказательства этой формулы Вам нужно знать только то, что $\chi(n)$ --- мультипликативная функция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленький вопрос про квадратные вычеты.
Сообщение04.10.2011, 18:17 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
David Sunrise в сообщении #489456 писал(а):
Просто это нужно было мне для доказательства что $\sum_{n=1}^\infty \frac{ \chi(n)}{n^s}=\lim_{k \to \infty}\prod_{i=1}^k \frac{1}{1-\chi(p_i)p^{-s}}$,при $s>0$$p_1,p_2,p_3...$ простые натуральные числа.

Что-то я вообще не понял.
Вам для доказательства этого вообще не нужно знать, как именно устроен характер $\chi$. Достаточно его мультипликативности.
Если $f(n)$ - мультипликативная функция, то
$$\sum\limits_{n=1}^{+ \infty} \frac{f(n)}{n^s} = \prod\limits_p \frac{1}{1-\frac{f(p)}{p^s}}.$$
Нормальной литературы по характерам я не знаю, но можете посмотреть Постникова Введение в теорию алгебраических чисел или Воронина Карацубу Дзета-функция Римана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленький вопрос про квадратные вычеты.
Сообщение04.10.2011, 21:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #489462 писал(а):
Если $f(n)$ - мультипликативная функция, то
$$\sum\limits_{n=1}^{+ \infty} \frac{f(n)}{n^s} = \prod\limits_p \frac{1}{1-\frac{f(p)}{p^s}}.$$
Это формула для вполне мультипликативной функции. Для мультипликативной чуть сложнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленький вопрос про квадратные вычеты.
Сообщение05.10.2011, 07:10 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
RIP в сообщении #489569 писал(а):
Это формула для вполне мультипликативной функции. Для мультипликативной чуть сложнее.

Да, наврал немного :-(

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group