Многомерные расширения ТФКП

[hamilton]

И все-таки я верю
Что придет человек уровня Александра Макфарлейна 21 века. Он будет объединителем разных гиперкомплексных течений, каждое из которых имеет право на существование (но не единственность) - при четком и правильном понимании
На мой взгляд, сейчас мы находимся в стадии гиперкомплексного Ренессанса второй половины 19-го века, но теперь уже на следующем витке познания - тупики уже более или менее изучены
осталась самая малость - наконец найти грамотный выход, причем наверняка - не один
соответственно механические и физические приложения могут быть разными, в зависимости от внутренней сути и глубины математических методов
Кстати, и в тфкп с годами появились весьма разнообразные приложения, о которых вначале не подозревали...

[PSP]

Time в сообщении #309897 писал(а):

В нашей компании есть один человек (кстати, с ним я сотрудничаю дольше всех), который решил для себя и предупредил всех остальных, что перестает заниматься поличислами, а тем более финслеровой геометрией c физикой и сосредотачивается на самих основаниях математики. Причем на таком гипотетическом фундаменте, который несколько глубже даже понятия натурального числа. Вы знакомы с почти философской работой Рашевского "О догмате натурального ряда"? Если нет, почитайте, получите некоторое представление, в каком примерно направлении пошел этот наш коллега. Так что, мы не пренебрегаем развитием теории чисел и даже ее оснований, просто, нас пока слишком мало, что бы охватить даже самые важные направления.

Выведите этого человека на меня.Этим направлением я занимался.

[Time]

PSP в сообщении #488179 писал(а):

Выведите этого человека на меня.Этим направлением я занимался.

Попытку предпринять могу, но не думаю, что из этого что ни будь получится. На семинары он не ездит, в интернет практически не заходит, разве что, согласится на специальную встречу. Было бы легче, если Вы перешлете мне что ни будь из опубликованного на интересующую вас обоих тему.. Если увидит пересечения, скорее всего, на контакт пойдет охотно.

[hamilton]

После 2 успешных докладов на международных конференции в Халкидики, Греция,
8th Symposium Clifford Analysis and Applications at the ICNAAM 2011
http://www.uni-weimar.de/cms/bauing/org ... ogram.html
и в Ваймаре, Германия
The 9th International Conference on Clifford Algebras and their Applications (ICCA9), 15-20 July 2011 at the Bauhaus-University Weimar, Germany.
http://euklid.bauing.uni-weimar.de/ICCA ... m#listPart
The 9th International Conference on Clifford Algebras and their Applications continues the series of conferences held at:
University of Kent, Canterbury, UK, 1985
University of Montpellier, France, 1989
University of Gent, Belgium, 1993
University of Aachen, Germany, 1996
Ixtapa-Zihuatanejo, Mexico, 1999
Tennessee Technological University, Cookeville, USA, 2002
Université Paul Sabatier, Toulouse, France 2005
IMECC-UNICAMP, Campinas, Brazil 2008

получено приглашение на основе базовых результатов докладов защитить диссертацию в Германии
по теории функций кватернионной и октонионной переменных.

По линии международных контактов с Германией в ноябре будет организован доклад в институте Стеклова
для тех, кто хочет быть в курсе современных тем.
И наконец начнется реабилитация могучих трудов Гамильтона и его лучшего друга Грейвса, незаслуженно отвергнутых.
Просто они опередили свое время на 150 лет...

[Руст]

Мне попала статья Людковского "Криволинейное интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных над алгебрами Кэли-Диксона".
Мое мнение отрицательное, так как в неассоциативных алгебрах (по крайней мере для рассмотренных) нельзя построить дифференциальное исчисление, отличное от тривиального. Категорность требует, чтобы композиции дифференцируемых функций были дифференцируемы, а в категории уже заложено ассоциативное умножение. Произведение дифференцируемых функций так же должно быть дифференцируемыми. В неассоциативном случае эти требования приводят к тому, что алгебра функций расспадается в прямую сумму алгебр функций над полем, как в случае конформных преобразований Бервальда-Моора. Все композиции, произведения осуществляется покомпонентно и не представляет ничего нового. Т.е. теория дифф. исчисления тривиализуется.
Чтобы существовало нетривиальное дифф. исчисление кроме ассоциативности требуется так же обобщенная коммутативность относительно некоторой симметрии, удовлетворяющей уравнениям Янга-Бакстера. В цветных алгебрах или в квантовых группах такое построение возможно.

[Time]

hamilton,

Аналитические функции комплексной переменной все как одна имеют не только геометрическую интерпретацию в виде особых векторных полей в двумерном пространстве, но и физическую интерпретацию (причем не одну). Аналогично обстоят дела с аналогами аналитических функций двойной переменной, которым легко ставятся в соответствие векторные поля на псевдоевклидовой плоскости и, как мы предполагаем, им так же можно сопоставлять физически интерпретируемые состояния двумерного пространства-времени.
Покажите пожалуйста два-три конкретных примера "своих" кватернионных функций (конкретные формулы), являющихся расширениями аналитических функций комплексной переменной. Связываются ли по аналогии с комплексной плоскостью с такими кватернионными функциями их геометрические интерпретации (как они получаются, если да), а самое главное, какие физические интерпретации тут видятся, хотя бы гипотетически.
Пожалуйста, будьте конкретным и не в общем виде, а именно на примере нескольких частного и простейшего вида функций. Вы вольны сами выбрать примеры, но мне бы хотелось увидеть кватернионные аналоги таких аналитических функций как $lnz$, $(1/z)^2$, $(1/z)^3$. Естественно, вместе с их геометрическими и физическими интерпретациями..
На сколько я могу судить, при наличии желания объяснить, а не запутать ситуацию, все выкладки могут занять не более одной страницы. Если три функции покажутся требующими много усилий для представления на страницах форума, согласен и на одну, только не линейную или дробнолинейную, то есть, не кватернионные аналоги функций вида $(a+bz)/(c+dz)$.

-- Ср окт 26, 2011 14:22:51 --

Руст в сообщении #496114 писал(а):

как в случае конформных преобразований Бервальда-Моора. Все композиции, произведения осуществляется покомпонентно и не представляет ничего нового. Т.е. теория дифф. исчисления тривиализуется.

Действительно, в формально-математическом плане все конформные преобразования $n$-мерных пространств с метрикой Бервальда-Моора в базисе из изотропный векторов расшепляются на растяжения/сжатия вдоль $n$ изотропных направлений и именно в таком базисе выглядят тривиальными. Справедливо это утверждение и для двумерного пространства Бервальда-Моора, которое изоморфно двумерному псевдоевклидову пространству-времени. Вы что, хотите сказать, что все конформные преобразования двумерного пространства-времени, на том основании, что в изотропном базисе они "осуществляются покомпонентно" не представляют собой ничего интересного, ни в геометрическом, ни в физическом смысле? И это при том, что преобразования Лоренца и Пуанкаре в двумерном пространстве-времени так же являются частными случаями конформных преобразований псевдоевклидовой плоскости, однако никто из физиков на этом основании их несущественными и неинтересными не считает и много много раз рассматривали и изучали. А тут вместо одно- и трехпараметрической групп ЛИНЕЙНЫХ изометрических преобразований плоскости целое бесконечнопараметрическое множество НЕЛИНЕЙНЫХ конформных преобразований и именно их почему то не нужно рассматривать, на том основании, что в математическом плане они, мол, в одном из базисов выглядят слишком простенькими.
Хорошо, предположим я Вам поверил. Тогда дайте геометрическую и физическую интерпретацию такого простенького конформного преобразования двумерного Бервальда-Моора, которому соответствует h-голоморфная функция логарифм от двойной переменной. Не банально заявите, что это тривиально и потому неинтересно, а снизойдите до физиков и точно так же как они много лет крутились вокруг линейных изометрических преобразований, так и эдак связывая их с переходами от одной инерциальной системы отсчета к другой, проделайте чуть более сложные (но ведь тривиальные же) аналогичные построения с уже нелинейными конформными преобразованиями плоскости и предложите их геометрическую, а затем и физическую интерпретацию.
Нельзя так спокойно бесконечнопараметрическими группами нелинейных конформных симметрий разбрасываться, даже если они тривиально выглядят и в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве времени уже не образуют бесконечномерной группы..
Тем более, что в финслеровом четырехмерном пространстве-времени с метрикой Бервальда-Моора конформная группа преобразований и соответствующих им нелинейных непрерывных симметрий так же как и на плоскости бесконечнопараметрическая.. Ведь реальное пространство-время запросто может оказаться не псевдоримановым, а именно финслеровым, и именно с бесконечномерными нелинейными симметриями..

[hamilton]

Руст в сообщении #496114 писал(а):

Мне попала статья Людковского "Криволинейное интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных над алгебрами Кэли-Диксона".
Мое мнение отрицательное.

С этой формулировкой согласен. Товарищ сам не понимает сути предмета, о котором пишет...

Тем не менее мотивировка поверхностная. Она рассказывает об априорных гипотезах, которые в пространстве не работают.
Профессор Леутвилер из Эрлангенского университета, начиная с 1992 года в серии статей продемонстрировал один из возможных нетривиальных путей.
Чтобы идти по нему дальше, придется уходить от некоторых старых гипотез.
Об этом и будет доклад.
Корни уходят неимоверно глубоко, по крайней мере в середину 19-го века. Если не разобраться там, последующие наслоения будут мешать.

-- Ср окт 26, 2011 15:39:31 --

Time в сообщении #496117 писал(а):

hamilton
Покажите пожалуйста два-три конкретных примера "своих" кватернионных функций (конкретные формулы), являющихся расширениями аналитических функций комплексной переменной. Связываются ли по аналогии с комплексной плоскостью с такими кватернионными функциями их геометрические интерпретации (как они получаются, если да), а самое главное, какие физические интерпретации тут видятся, хотя бы гипотетически.
Пожалуйста, будьте конкретным и не в общем виде, а именно на примере нескольких частного и простейшего вида функций. Вы вольны сами выбрать примеры, но мне бы хотелось увидеть кватернионные аналоги таких аналитических функций как $lnz$, $(1/z)^2$, $(1/z)^3$. Естественно, вместе с их геометрическими и физическими интерпретациями..

Такая проблематика как раз и будет предметом диссертации в Германии.

Начала изложены в статье, опубликованной в Вашем журнале, за что я очень благодарен лично Вам.

Сможете ли Вы изложить например, книгу Лаврентьева и Шабата Методы ТФКП на одной странице ?

С уважением, искренне Ваш hamilton...

[Time]

Вы совершенно не правильно понимаете мою просьбу. Грубо говоря, на данном этапе меня не сама кухня интересует, а готовое блюдо. То есть, не способ получения результата, а демонстрация последнего с отдельными положительными свойствами.

hamilton в сообщении #496149 писал(а):

Сможете ли Вы изложить например, книгу Лаврентьева и Шабата Методы ТФКП на одной странице ?

Сами Методы ТФКП на одной странице не уместятся, а расписать, к каким именно геометрическим и физическим интерпретациям приводят одна-две конкретные функции можно и меньше, чем на странице, особенно, если графическими иллюстрациями воспользоваться. Именно о таком "конечном продукте" Вашей работы я и прошу здесь рассказать и продемонстрировать на примере, хотя бы на одном. Если таковых пока нет - будет более справедливо так об этом и сказать.

Попытаюсь сам привести подобные примеры.
В частности, такую аналитическую функцию от кватернионной переменной $Q$ как:
$F(Q)=A+BQ$ ($A$ и $B$ - кватернионы-константы)
можно смело интерпретировать по аналогии с интерпретацией аналитических функций от комплексной переменной как гиперкомплексный потенциал стационарного течения плоскопараллельного потока идеальной жидкости в четырехмерном евклидовом пространстве. Все линии тока такого потока - параллельные прямые, а поверхности уровня - трехмерные гиперплоскости, ортогональные этим линиям тока.
Аналогично можно поступить с интерпретацией кватернионных функций вида:
$F(Q)=(A+BQ)/(C+DQ)$
Эти функции так же можно интерпретировать как векторные стационарные поля в четырехмерном евкидовом пространстве, линии тока у которых, правда, уже не параллельные прямые, а окружности. Поверхности уровня при этом - трехмерные гиперсферы. Все четко, образно и понятно. При желании можно все аккуратно расписать в формулах и с картинками..
Непонятки возникают, когда по такой же логике Вы попытаетесь интерпретировать ПРОИЗВОЛЬНУЮ (или просто не дробнолинейную) функцию кватернионной переменной $F(Q)$, которую уже невозможно связать с сответствующим ей конформным преобразованием четырехмерного евклидова пространства (т.к. группа конформных преобразований такого евклидова пространства всего 15 параметрическая и ровно столько же содержится в дробнолинейной функции кватернионного переменного). Отсюда и проистекает мой вопрос.
Если, как Вы утверждаете, удалось добиться успеха в построении обощения ТФКП с комплексной на кватернионную переменную, значит, Вы должны при этом научиться давать, и геометрическую, и физическую интерпретацию соответствующих обобщенно аналитических кватернионных функций (а без этого прикладная ценность нового множества функций, на мой взгляд, близка к нулю).
При этом я сейчас не прошу Вас объяснять, каким образом строятся Ваши функции, я прошу показать хотя бы одну из них и дать ей два варианта интерпретаций. Одну геометрическую и вторую физическую. Не обязательно в том ключе, что выше привел я.. Хотя бы что ни будь..

[Time]

Добавление.
Умножение констант на $Q$, естественно, нужно рассматривать не только слева, но и справа.

[hamilton]

Time в сообщении #496176 писал(а):

Вы совершенно не правильно понимаете мою просьбу. Грубо говоря, на данном этапе меня не сама кухня интересует, а готовое блюдо. То есть, не способ получения результата, а демонстрация последнего с отдельными положительными свойствами.

hamilton в сообщении #496149 писал(а):

Сможете ли Вы изложить например, книгу Лаврентьева и Шабата Методы ТФКП на одной странице ?

Сами Методы ТФКП на одной странице не уместятся, а расписать, к каким именно геометрическим и физическим интерпретациям приводят одна-две конкретные функции можно и меньше, чем на странице, особенно, если графическими иллюстрациями воспользоваться. Именно о таком "конечном продукте" Вашей работы я и прошу здесь рассказать и продемонстрировать на примере, хотя бы на одном.

Первая старая гипотеза, которая в евклидовом пространстве вырождается в дробно-линейность - что конформность может быть основой мироздания...
Еще в 1850 году Лиувилль (1809 - 1882) показал, что это явный тупик.
Гамильтон выпустил книгу Lectures on Quaternions, Dublin в 1853 году.
Вы думаете, что Гамильтон не знал тогда теорему Лиувилля?
Мы 150 лет ходим по этому кругу, как заколдованные... не пора ли освободиться от этих чар?

В случае механики сплошной среды мы понимаем, что жизнь намного богаче.
Классический реальный пример из тфкп - функция Жуковского. Я говорил о ней в Ваймаре в июле.
Несмотря на кажущуюся простоту, она не является дробно-линейной, и в пространстве соответствующее отображение не может быть конформным.
Сейчас под руководством немца Малонека в Португалии Карла Круз пишет диссертацию, которая будет защищаться в 2012 году...
Она посвящена различным пространственным аналогам функции Жуковского.
Постановка задач такова, что рассматриваются только однородные сплошные среды.

В ситуации, рассмотренной Леутвилером, а затем в моем случае, для обобщений функции Жуковского мы физически имеем дело с неоднородными сплошными средами.

Далее, для электростатических полей получаем решения уравнений Максвелла в пространстве с конкретными плотностями.
Здесь мы имеем не один пример, а целый класс аналитических решений.

Я получил обобщение метода комплексного потенциала для потенциальных полей в неоднородных сплошных средах.
Конформность здесь играет роль гири или мешка с песком, который привязывается к аэростату, пока он еще не взлетел.
Не отвяжешь, не полетишь...

[Time]

hamilton в сообщении #496210 писал(а):

Первая старая гипотеза, которая в евклидовом пространстве вырождается в дробно-линейность - что конформность может быть основой мироздания...
Еще в 1850 году Лиувилль (1809 - 1882) показал, что это явный тупик.
Гамильтон выпустил книгу Lectures on Quaternions, Dublin в 1853 году.
Вы думаете, что Гамильтон не знал тогда теорему Лиувилля?
Мы 150 лет ходим по этому кругу, как заколдованные... не пора ли освободиться от этих чар?

Конформность связана исключительно с дробнолинейными функциями только в трех- и более мерных пространствах с квадратичным типом метрики. В двумерном случае, а так же в некоторых многомерных пространствах с НЕквадратичным типом метрики конформные преобразования не ограничиваются лишь связью с дробнолинейными функциями. А именно функций связанных с конформными преобразованиями и не меняющих кривизну исходного пространства в некоторых финслеровых пространствах бесконечнопараметрическое множество. Вы считаете, что ТАКУЮ многомерную финслерову конформность хоть кто-то за 150 лет "хождения по кругу" исследовал? Можно кинуть соответствующие ссылки?
А то, что конформные симметрии многомерных пространств с квадратичным типом метрики не могут дать ничего интересного, это я согласен, и это стало ясно очень давно.
Вопрос не в том, придерживаться ли бедных конформных симметрий многомерных квадратичных пространств, вопрос в том, как от таких пространств перейти таким, что обладают существенно более богатыми множествами симметрий. Это в 19 веке не знали финслеровых метрик, но сейчас то 21-й, что бы ограничивать себя одним евклидовым пространством, пусть и четырехмерным и связанным с кватернионами..

hamilton в сообщении #496210 писал(а):

В случае механики сплошной среды мы понимаем, что жизнь намного богаче.
Классический реальный пример из тфкп - функция Жуковского. Я говорил о ней в Ваймаре в июле.
Несмотря на кажущуюся простоту, она не является дробно-линейной, и в пространстве соответствующее отображение не может быть конформным.
Сейчас под руководством немца Малонека в Португалии Карла Круз пишет диссертацию, которая будет защищаться в 2012 году...
Она посвящена различным пространственным аналогам функции Жуковского.
Постановка задач такова, что рассматриваются только однородные сплошные среды.

Меня перечисления иностранных городов и имен нисколько не впечатляют. Сам посетил три десятка стран и встречался с сотнями зарубежных математиков и физиков. Давайте по существу..
Пусть будет кватернионный аналог функции Жуковского. Замечательно, хоть что-то конкретное. Согласен, что с нею не связано конформного отображения четырехмерного евклидова пространства и именно поэтому она подходит в качестве иллюстрации на мой вопрос. Распишите конкретно, какое же геометрическое поле Вы с нею связываете, и какую физическую интерпретацию ему приписываете? Очень интересно..

hamilton в сообщении #496210 писал(а):

В ситуации, рассмотренной Леутвилером, а затем в моем случае, для обобщений функции Жуковского мы физически имеем дело с неоднородными сплошными средами.

Замечательно. Классическая функция Жуковского в гидродинамической интерпретации описывает обтекание двумерным стационарным потоком круга (цилиндра, если мыслить трехмерием). В Вашем кватернионном случае, что за тело обтекается для функции простейшего вида:
$F(Q)=Q+1/Q$?
Где и какие при этом возникают неоднородности?
Можно дать хотя бы схематическую картинку в виде набора двух- или трехмерных сечений? (В четырехмерии трудно что-то представлять). Ну, или хотя бы словами описать, что из себя представляют линии тока или гипрповерхности равного потенциала?

hamilton в сообщении #496210 писал(а):

Далее, для электростатических полей получаем решения уравнений Максвелла в пространстве с конкретными плотностями.
Здесь мы имеем не один пример, а целый класс аналитических решений.

Меня вполне устраивает в качестве конкретного примера тот простейший вариант кватернионного аналога функции Жуковского, котый я написал выше. Для него Вы что можете сказать о соответствующем ей электростатическом поле? Кстати, оно в скольки мерном пространстве? Трех- или четырех? Если первое, то не могли бы Вы привести схематически распределение силовых линий соответствующего трехмерного поля?

hamilton в сообщении #496210 писал(а):

Я получил обобщение метода комплексного потенциала для потенциальных полей в неоднородных сплошных средах.
Конформность здесь играет роль гири или мешка с песком, который привязывается к аэростату, пока он еще не взлетел.
Не отвяжешь, не полетишь...

Замечательно, значит, Вам не трудно будет описать, что же за неоднородная среда соответствует обозначенной выше функции Жуковского, а так же привести примеры эквипотенциальных поверхностей? Наверное и неоднородность имеет вполне конкретный характер? Какой? Картинки распределения можно посмотреть?

Еще раз подчеркну, что я совершенно согласен с Вами, что в случае признания за пространством или пространством-временем квадратичной геометрии, на конформности далеко не уедешь. Но я то Вам предлагаю не ограничиваться квадратичностью пространства-времени и хотя бы в перспективе иметь возможность перехода к частного вида финслеровым метрикам. Для четырехмерия, в частности, к связанным с четвертыми степенями обобщения теоремы Пифагора. В некоторых из таких пространств конформная группа преобразований бесконечномерна (а не конечномерна) и никак не может являться гирей. Во всяком случае, пока не исследована со всех сторон. А этого до сих пор, на сколько мне известно, никто не сделал. Если ошибаюсь, хотел бы увидеть ссылки на обратное..

[hamilton]

Time в сообщении #496228 писал(а):

Меня перечисления иностранных городов и имен нисколько не впечатляют. Сам посетил три десятка стран и встречался с сотнями зарубежных математиков и физиков. Давайте по существу..
Пусть будет кватернионный аналог функции Жуковского. Замечательно, хоть что-то конкретное. Согласен, что с нею не связано конформного отображения четырехмерного евклидова пространства и именно поэтому она подходит в качестве иллюстрации на мой вопрос. Распишите конкретно, какое же геометрическое поле Вы с нею связываете, и какую физическую интерпретацию ему приписываете? Очень интересно..

Замечательно. Классическая функция Жуковского в гидродинамической интерпретации описывает обтекание двумерным стационарным потоком круга (цилиндра, если мыслить трехмерием). В Вашем кватернионном случае, что за тело обтекается для функции простейшего вида:
$F(Q)=Q+1/Q$?
Где и какие при этом возникают неоднородности?
Можно дать хотя бы схематическую картинку в виде набора двух- или трехмерных сечений? (В четырехмерии трудно что-то представлять). Ну, или хотя бы словами описать, что из себя представляют линии тока или гипрповерхности равного потенциала?

Меня вполне устраивает в качестве конкретного примера тот простейший вариант кватернионного аналога функции Жуковского, котый я написал выше. Для него Вы что можете сказать о соответствующем ей электростатическом поле? Кстати, оно в скольки мерном пространстве? Трех- или четырех? Если первое, то не могли бы Вы привести схематически распределение силовых линий соответствующего трехмерного поля?

Замечательно, значит, Вам не трудно будет описать, что же за неоднородная среда соответствует обозначенной выше функции Жуковского, а так же привести примеры эквипотенциальных поверхностей? Наверное и неоднородность имеет вполне конкретный характер? Какой? Картинки распределения можно посмотреть?

Мы же ведем здесь не частную переписку... Я пишу здесь для тех, кто хочет быть в курсе современной тематики. Немец Малонек - руководитель достаточно сильной школы, и он конкретно заинтересован в развитии новых подходов, о которых я рассказываю здесь.

Обобщение функции Жуковского в трехмерном пространстве возможно, так же как в четырехмерном и восьмимерном.
Мы сейчас говорим о трехмерных потенциальных полях в неоднородных сплошных средах.

Леутвилер пошел по пути обобщения плоских полей, а я - по пути обобщения осесимметричных полей.
Если у Леутвилера плотность среды изменяется вертикально обратно пропорционально высоте,
то в моем осесимметричном поле - обратно пропорционально расстоянию от оси, а тело обтекания - вполне реальный цилиндр.
Конкретные детали моего подхода будут описаны в диссертации, не на одну страницу.

Если в тфкп (для однородных сред) математически это одно и то же, то для пространственных неоднородных сплошных сред обобщения получаются разные.
В этом новая теория кардинально отличается от вдоль и поперек изученной тфкп.

[Руст]

Руст в сообщении #496114 писал(а):

как в случае конформных преобразований Бервальда-Моора. Все композиции, произведения осуществляется покомпонентно и не представляет ничего нового. Т.е. теория дифф. исчисления тривиализуется.

Цитата:

Действительно, в формально-математическом плане все конформные преобразования $n$-мерных пространств с метрикой Бервальда-Моора в базисе из изотропный векторов расшепляются на растяжения/сжатия вдоль $n$ изотропных направлений и именно в таком базисе выглядят тривиальными. Справедливо это утверждение и для двумерного пространства Бервальда-Моора, которое изоморфно двумерному псевдоевклидову пространству-времени. Вы что, хотите сказать, что все конформные преобразования двумерного пространства-времени, на том основании, что в изотропном базисе они "осуществляются покомпонентно" не представляют собой ничего интересного, ни в геометрическом, ни в физическом смысле? И это при том, что преобразования Лоренца и Пуанкаре в двумерном пространстве-времени так же являются частными случаями конформных преобразований псевдоевклидовой плоскости, однако никто из физиков на этом основании их несущественными и неинтересными не считает и много много раз рассматривали и изучали.

С точки зрения алгебраической геометрии объекты определяются своими отображениями, являющимися кольцами в другие более простые объекты (схемы, пучки колец). Если при этом не появляются новые типы функций, зависящие от выбранной исходной алгебраической структуры, то это не интересно в силу того, что ничего нового нет кроме покомпонентных умножений и покомпонентных вычислений сложных функций из уже известных старых функций. Нечто новое появляется только в случае, когда исходная алгебра является квантовой группой, более частным случаем являются квазикоммутативные цветные алгебры. В частности алгебра Клиффорда, порожденная n элементами является квазикоммутативной цветной алгеброй с группой цветов $Z_2^{2m}, m=[\frac{n}{2}]$. В частности кватернионы квазикоммутативная алгебра с группой цветов $Z_2+Z_2$. Тут имеются два типа дифференцируемых функций, обобщающих конформные как и в комплексном случае, только в отличии от комплексного при переходе к другому типу вместо с сопряжением надо еще переставить произведения в обратном порядке. С точки зрения алгебры анализ с некоммутативными переменными, образующими алгебру А - это изучение расширений алгебры А, являющихся расширением алгебры функций над полем. В этом смысле тривиальный случай прямых сумм (покомпонентные суперпозиции и умножения) не интересны.

[Time]

hamilton в сообщении #496263 писал(а):

Если в тфкп (для однородных сред) математически это одно и то же, то для пространственных неоднородных сплошных сред обобщения получаются разные.
В этом новая теория кардинально отличается от вдоль и поперек изученной тфкп.

Констатирую факт.
Вам совершенно не интересны многомерные коммутативно-ассоциативные гиперкомплексные алгебры, связанные с ними пространства, их конформные и более сложные непрерывные симметрии. Мне же не интересны кватернионы с любыми способами обобщения на них аналитических функций комплексной переменной. Ваши ответы не переубедили меня. Мои замечания - Вас.
Лучше всего - не доказывать тут на форуме, чей выбор лучше, а заниматься каждый своим направлением. Время, как говорится, само все расставит по своим местам..

-- Ср окт 26, 2011 22:33:32 --

Руст в сообщении #496267 писал(а):

С точки зрения алгебраической геометрии объекты определяются своими отображениями, являющимися кольцами в другие более простые объекты (схемы, пучки колец). Если при этом не появляются новые типы функций, зависящие от выбранной исходной алгебраической структуры, то это не интересно в силу того, что ничего нового нет кроме покомпонентных умножений и покомпонентных вычислений сложных функций из уже известных старых функций. Нечто новое появляется только в случае, когда исходная алгебра является квантовой группой, более частным случаем являются квазикоммутативные цветные алгебры. В частности алгебра Клиффорда, порожденная n элементами является квазикоммутативной цветной алгеброй с группой цветов $Z_2^{2m}, m=[\frac{n}{2}]$. В частности кватернионы квазикоммутативная алгебра с группой цветов $Z_2+Z_2$. Тут имеются два типа дифференцируемых функций, обобщающих конформные как и в комплексном случае, только в отличии от комплексного при переходе к другому типу вместо с сопряжением надо еще переставить произведения в обратном порядке. С точки зрения алгебры анализ с некоммутативными переменными, образующими алгебру А - это изучение расширений алгебры А, являющихся расширением алгебры функций над полем. В этом смысле тривиальный случай прямых сумм (покомпонентные суперпозиции и умножения) не интересны.

Вы не ответили на мой вопрос. Не взирая на лично Вам не интересную (пусть даже трижды тривиальную) интерпретацию нелинейных конформных преобразований двумерного пространства-времени, что лично Вы видите за этими преобразованиями, если понимать, что частный случай этих преобразований, а именно некоторые линейные (которые еще более тривиально выглядят в изотропном базисе) являющиеся изометрическими преобразованиями плоскости очень даже интересны физикам-релятивистам? Обо всем остальном предлагаю поговорить потом.

[hamilton]

Руст в сообщении #496267 писал(а):

Цитата:

Нечто новое появляется только в случае, когда исходная алгебра является квантовой группой, более частным случаем являются квазикоммутативные цветные алгебры. В частности алгебра Клиффорда, порожденная n элементами является квазикоммутативной цветной алгеброй с группой цветов $Z_2^{2m}, m=[\frac{n}{2}]$. В частности кватернионы квазикоммутативная алгебра с группой цветов $Z_2+Z_2$. Тут имеются два типа дифференцируемых функций, обобщающих конформные как и в комплексном случае, только в отличии от комплексного при переходе к другому типу вместо с сопряжением надо еще переставить произведения в обратном порядке. С точки зрения алгебры анализ с некоммутативными переменными, образующими алгебру А - это изучение расширений алгебры А, являющихся расширением алгебры функций над полем.

Леутвилер в новой теории функций тоже долго пытался продвигаться от кватернионов в сторону переменных из клиффордовых алгебр вместо октонионов.
Однако недавно он написал мне, что счастлив видеть, как я развиваю его подход.
Для клиффордовых алгебр не реализуются многие факты, возможные для октонионной переменной.
С этой точки зрения, эклектичный термин квазикоммутативная алгебра способен скорее затуманить суть обобщений, чем что-то объяснить.
Это в русле суперанализа, но не обобщения теории функций.
В клиффордовом анализе эклектичные термины вроде паравектор тоже применяют, когда возникают серьезные нестыковки. Я в базовой статье в мягкой форме и развенчал один из таких мифов еще в 2003 году..