Попытка доказательства Теоремы Ферма

[natalya_1]

shwedka в сообщении #485596 писал(а):

natalya_1 в сообщении #485587 писал(а):

И их сумма должна быть такой же. -

да она такая же и есть. Закон природы, теорема Безу.

Я уже писала, что мне не хватает знаний и занимаюсь изобретением велосипеда. Поэтому и продвигаюсь с таким скрипом.
Гордиться тут нечем.
Утешает только, что выводы делаю и есть к чему стремиться. Буду стараться.

[Belfegor]

natalya_1 в сообщении #485797 писал(а):

shwedka в сообщении #485596 писал(а):

natalya_1 в сообщении #485587 писал(а):

И их сумма должна быть такой же. -

да она такая же и есть. Закон природы, теорема Безу.

Я уже писала, что мне не хватает знаний и занимаюсь изобретением велосипеда. Поэтому и продвигаюсь с таким скрипом.
Гордиться тут нечем.
Утешает только, что выводы делаю и есть к чему стремиться. Буду стараться.

Дерзайте Натали, дерзайте! Такими темпами вы скоро и до кривой Фрея доберетесь
$ y^2 + x(x - a^n )(x + b^n ) = 0 $ И впрямь получится, как тот монгол на самодельном деревянном велосипеде, приехавший в Улан- Батор 20-ых годов и упавший в обморок при виде летающих железных птиц Кстати, говорят подлинная история!

[natalya_1]

Итак, Ферма утверждал, что уравнение $x^3+y^3=z^3$ не имеет целочисленных решений . Попробуем доказать обратное.


1.1. Предположим, что такое решение существует, при $x=a$, $y=b$, $z=c$, где $a$, $b$, $c$ - целые положительные взаимнопростые числа, $a\not=b$ , пусть $a>b$,
Тогда $a^3+b^3=c^3$.

1.2. $a+b=c+d$, где$d$ - целое положительное число.***
$a^2+b^2=c^2+p$, где $p$-целое положительное число.***
1.3. $a+b-c=d$, $a^2+b^2-c^2=p$ Перемножаем левые и правые части, получаем: $pa+pb-pc=a^2d+b^2d-c^2d$, $a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)$, $ad-p>0$, $bd-p>0$, $cd-p>0$.***
1.4. $a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)$, $a^3+b^3=c^3$ (п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:$c^3a(ad-p)+c^3b(bd-p)=a^3c(cd-p)+b^3c(cd-p)$ , следовательно, $(cd-p)a^3-c^{2}da^2+c^{2}pa=-((cd-p)b^3-c^{2}db^2+c^{2}pb)$ .
Левая часть равенства представляет собой значение функции $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ при $x=a$, а правая - при $x=b$, взятое с противоположным знаком.
Равенство будет выполняться в двух случаях:
1.4.1.если значение функции при $x=a$ и$x=b$ равно 0.
или 1.4.2.если функция в точках $a$и$b$ принимает одинаковые значения разных знаков.
Рассмотрим каждый из случаев.
1.5.. Пусть $(cd-p)a^3-c^{2}da^2+c^{2}pa=0$, $(cd-p)b^3-c^{2}db^2+c^{2}pb=0$, тогда $a^2(cd-p)=c^2(ad-p)$,$b^2(cd-p)=c^2(bd-p) $, ($ad-p>o$, $bd-p>0$,$cd-p>o$ (п.1.3)), следовательно, $\frac{a^2}{ad-p}=\frac{b^2}{bd-p}=\frac{c^2}{cd-p}$
1.6. Исследуем функцию $y=\frac{x^2}{xd-p}$ .
$y'=\frac{ 2x(xd-p)-dx^{2}}{(xd-p)^2}$,$xd-p\not=o$, $\frac{p}{d}$-точка разрыва.
Найдем точки экстремума:
$y'=0$
$2x(xd-p)-x^{2}d=0$. $x=0$ или$2(xd-p)-xd=0$, $xd=2p$,
$x=\frac{2p}{d}$
Так как на сегменте $]0;c]$ существует только одна точка экстремума, первый вариант(1.4.1) невозможен.
2.1. Рассмотрим второй возможный вариант.
Функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px $ в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков и равна нулю в точках $0$и $c$. Она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$.Следовательно, существуют две критические точки на сегменте $]0;c]$, принимающие значения разных знаков.

Найдем критические точки функции:
$y'=3x^2(cd-p)-2c^2dx+c^2p$ $y'=0$ при $3x^2(cd-p)=c^2(2xd-p)$, $\frac{3x^2}{2xd-p}=\frac{c^2}{cd-p}$, $2xd-p>0$, $cd-p>0$



Критические точки функции $y(x)=x^3(cd-p)-c^2x^2d+c^2xp$ будут $\frac{c(c d \pm \sqrt{c^2 d^2-3p (c d-p)})}{3( c d-p)}$. То есть, критических точек две.


***1.2.1$(a+b)^3=a^3+3ab(a+b)+b^3$, $a^3+b^3=c^3$=>
$(a+b)^3>c^3$, $a+b>c$,$a+b=c+d$, где $d$ - целое положительное число.



***1.2.2. $a^2+b^2=c^2+p$, где $p$- целое число.
$a^2=(c-b)(c+b)+p$,$a^3=(c-b)(c+b)a+ap$,$a^3=(c-b)(c^2+cb+b^2)$.
$c(c+b)+b^2>(c+b)a$=> $ap$- целое положительное число, $p$ - целое положительное число.


3.2.Точка перегиба функции $k=\frac{x+x_1}{2}$, где $x$ и $x_1$- критические точки функции.$k=\frac{c^2d}{3(cd-p)}$.

4.1 Если функция $y=(cd-p)x^3-c^2dx^2+c^2px$ в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков, то точки, значение функции в которых равно значению функции в точке $a$ (таких точек вместе с $a$ три) соответствуют корням уравнения $(cd-p)x^3-c^2dx^2+c^2px+Q=0$ ,и их сумма $\frac{c^2d}{cd-p}$. А точки, значение функции в которых равно значению функции в точке $b$ ( таких точек вместе с $b$ тоже три) соответствуют корням уравнения $(cd-p)x^3-c^2dx^2+c^2px-Q=0$, где $Q$ - целое число. И их сумма такая же.
А произведение значений корней равно $\frac{-Q}{cd-p}$ и $\frac{Q}{cd-p}$ соответственно. Поскольку $a$ больше большей критической точки, а $b$ больше меньшей критической точки**** и точка перегиба рациональна, корни уравнений тоже рациональны.



4.2. $Q=b^2(cd-p)-c^2(bd-p)$, то есть, не имеет делителя $cd-p$, следовательно, $\frac{x_1x_2}{cd-p}$ будет целым числом (что требуется исходя из значения $xx_1+xx_2+x_1x_2=\frac{c^2p}{cd-p}$, где $x$ - целое число) только если второй корень уравнения тоже будет целым числом (как $a$ и $b$ соответственно), а третий - рациональным числом.



Тогда имеем
$(a^3+b_1^3)(cd-p)-(a^2+b_1^2)c^2d+(a+b_1)c^2p=0$, где $a$ и $b_1$ - целые числа, $a$ и $c$ - взаимно простые числа.

Должны выполняться условия: $\frac{a^3+b_1^3}{c^2}$- целое число и $\frac{(a^2+b_1^2)c^2d}{a+b_1}$- целое число. .

[shwedka]

natalya_1 в сообщении #486325 писал(а):

корни уравнений тоже рациональны.

Не вижу доказательства этого утверждения.

[natalya_1]

shwedka в сообщении #486384 писал(а):

natalya_1 в сообщении #486325 писал(а):

корни уравнений тоже рациональны.

Не вижу доказательства этого утверждения.

Я исходила из того, что поскольку точка пересечения графика функции с осью $OX$ рациональна, то если последовательно выполнить параллельный перенос графика функции на $k-h$ параллельно оси $OY$, а потом на величину значения функции в точке $k$ параллельно оси $OX$, то в результате значение точки перегиба (симметрии) получившегося графика будет $\frac{a+b_1}{2}$, и значение это будет рациональным, а следовательно, и $b_1$ - рационально. И поскольку сумма значений корней рациональна, а два корня из трех рациональны, третий корень тоже рационален.
Аналогично с $a_1$.

[shwedka]

natalya_1 в сообщении #486564 писал(а):

то в результате значение точки перегиба (симметрии) получившегося графика будет $\frac{a+b_1}{2}$, и значение это будет рациональным

Доказывать надо.

[venco]

У меня то же место вызвало подозрения.

natalya_1 в сообщении #486325 писал(а):

4.1 ...
Поскольку $a$ больше большей критической точки, а $b$ больше меньшей критической точки**** и точка перегиба рациональна, корни уравнений тоже рациональны.

Как вы это получили?

[natalya_1]

Доказательство того, что $a$ больше большей критической точки:
$c^2d^2-3cdp+3p^2=(cd-p)^2-p(cd-2p)$, большая критическая точка $\frac{c^2d+c\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2}}{3(cd-p)}$. Следовательно, эта критическая точка меньше
$\frac{c^2d+c(cd-p)}{3(cd-p)}$.
Я предположила, что $\frac{c^2d+c(cd-p)}{3(cd-p)}<a$. Тогда
$c(2cd-p)<3a(cd-p)$, $2cd-p<3cd-3p$, $cd>2p$ - верно. Следовательно, предположение было верным.

Насчет рациональности корней я буду думать, как лучше сформулировать.

[natalya_1]

Подскажите, пожалуйста, как строить на компьютере графики.
Боюсь, у меня не получится объяснить доказательство без изображения.

[Maslov]

natalya_1 в сообщении #486695 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, как строить на компьютере графики.

Куча разных способов. Например, можно строить в Excel или скачать программку Advanced Grapher

[natalya_1]

Спасибо большое! Буду изучать.

[natalya_1]

Попробую без графика объяснить, не получается у меня построить.
Итак, имеем: точка $a_1$, значение функции в которой равно значению функции в точке $a$ и равно значению функции в точке $b$, взятому с противоположным знаком. Выполним параллельный перенос (или сдвинем график влево) относительно оси $OY$ на величину $h-k$, где $h$ - точка пересечения графика с осью $OX$, $k$ -точка перегиба функции. Тогда значение функции в точке $b_1=b-(h-k)$ равно значению функции в точке $b$ плюс значение функции в точке $k$. А значение функции в точке $a_1$ равно значению функции в точке $b_1$ , взятое с противоположным знаком, плюс значение функции в точке $k$. Значит, точки $a_1$ и $b_1$ симметричны относительно точки перегиба функции, следовательно, $k-b_1=a_1-k$. Но $b_1=b-(h-k)$, то есть, $b_1$ - рациональное число, следовательно, $a_1$ - рациональное число. Следовательно, корни уравнения рациональны.

[natalya_1]

Не слишком удачно я ввела обозначение $b_1$. Лучше было бы назвать точку как-нибудь по-другому, чтобы не возникало путаницы с корнями исследуемого уравнения.

[ananova]

natalya_1
Вот ещё простой построитель графиков 2D и 3D .. http://www.microsoft.com/download/en/details.aspx?id=15702

[venco]

natalya_1 в сообщении #486805 писал(а):

Итак, имеем: точка $a_1$, значение функции в которой равно значению функции в точке $a$ и равно значению функции в точке $b$, взятому с противоположным знаком. Выполним параллельный перенос (или сдвинем график влево) относительно оси $OY$ на величину $h-k$, где $h$ - точка пересечения графика с осью $OX$, $k$ -точка перегиба функции. Тогда значение функции в точке $b_1=b-(h-k)$ равно значению функции в точке $b$ плюс значение функции в точке $k$.

Какой функции, сдвинутой? У неё значение в точке $k$ равно нулю.