Интеграл

[EvilPhysicist]

Правильно ли я понимаю, что конструкцию интеграла можно обобщить на все измеримые алгебры?
В том смысле, что если у нас есть алгебра $A$ над полем $ \Omega $, в ней мера $\mu$ и задан морфизм $f: A \to A$, то интегралом $ \int f d \mu(\alpha) $ по $ \alpha \subseteq A $ можно называть предел $ \lim\limits_{d \to 0} \sum\limits_{i=1}^n f(\zeta_i) \mu(\Delta_i) $, где $ (\Delta_i)_{i=1}^n $ покрытие $ \alpha $, $d= \max\limits_{i=1..n} ( \mu(\Delta_i) )$ - диаметр разбиения и $ \zeta_i \in \Delta_i $. Ну и естетсвенно, если такоё предел существует, конечен и на зависит от разбиения и выбора точек.

[AD]

Ничего не понял. Если есть мера, то есть и интеграл Лебега, алгебраическая структура тут ни при чём. Если вы хотите получить именно интеграл Римана, то да, можно и так, но всё равно не понятно, причём тут поле. Правда, чего-то мне не очевидно, что с таким подходом и на отрезке получится именно интеграл Римана. То есть даже очевидно, что это нечто более бестолковое, то есть это не обобщение даже интеграла Римана.

[EvilPhysicist]

Хорошо, попробую по другому.
Есть у нас интеграл Римана $ \int\limits_a^b f(x) dx $, который по определению $ \lim\limits_{d \to 0} f( \zeta_i) \Delta_i $. Можно сказать, что у нас было множество $ [a,b] $, мы его покрыти семейством дизъюнктивных множеств $ \Zeta= \lbrace (\alpha_i, \beta_i) : \alpha_i, \beta_i \in [a,b], \alpha_i < \beta_i \rbrace $, в каждом множестве из этого семейства взяли точку $\zeta_i$, посчитали в ней значение функции $f$, домножили на длинну отрезка $ \Delta_i = \beta_i - \alpha_i $ и сложили по всем отрезкам.

Обощим эту конструкцию на произвольные множества. Берём множество $A$, там должна быть определена сумма двух элементов, чтобы мы просто могли посчитать аналог Риманова интеграла. Ну и произведение элементов было бы очень не полохо иметь, по этому потредуем, чтобы $A$ была алгеброй над некоторым полем $ \Omega $. Далее, нам надо уметь считать длинну отрезка в этой алгебре, по этому там должна бытб определена мера $\mu : A \to \Omega$. Теперь беря любую функцию $f : A \to A $, определенную на некотором множестве $ \alpha $ берём и пишем аналогичную сумму.

Покрываем $\alpha$ семейством дизъюнктивных множеств $ \delta= \lbrace \Delta_i \rbrace $. Выбераем в каждом множестве из этого семейства точку $ \zeta_i \in \Delta_i $, считаем функцию в этой точке $f(\zeta_i)$, и домножаем её на меру отрезка $ f(\zeta_i) \mu(\Delta_i) $, суммируем по всем множествам из семейства $ \sum\limits_{\delta} f(\zeta_i) \mu(\Delta_i) $. Далее вводим диаметр разбиения $ d= \max_\delta \mu(\Delta_i) $ и берём предел составленной суммы, при диаметре разбиения стремящемся к нулю $ \lim\limits_{d \to 0} \sum\limits_{\delta} f(\zeta_i) \mu(\Delta_i) $ и называем это интегралом $ \int\limits_\alpha f d\alpha $

[ewert]

EvilPhysicist в сообщении #486174 писал(а):

Берём множество $A$, там должна быть определена сумма двух элементов, чтобы мы просто могли посчитать аналог Риманова интеграла. Ну и произведение элементов было бы очень не полохо иметь, по этому потредуем, чтобы $A$ была алгеброй над некоторым полем $ \Omega $.

Вы всерьёз считаете, что промежутки образуют алгебру над полем?...

По-моему, у Вас в голове все термины перемешались.

[EvilPhysicist]

ewert в сообщении #486178 писал(а):

Вы всерьёз считаете, что промежутки образуют алгебру над полем?...

что-то не припоню, чтобы говорил, что промежутки образуют плгебру над полем.

ewert в сообщении #486178 писал(а):

По-моему, у Вас в голове все термины перемешались.

Ну это легко проверить. Алгеброй над полем называется множество, над которым определены операции сложения, которая образует абелеву группу, операция умножения, которая образует полугруппу, ещё два закона дистрибутивности и умножение на скаляр из поля, которое не зависит от порядка множителей.

[ewert]

EvilPhysicist в сообщении #486186 писал(а):

что-то не припоню, чтобы говорил, что промежутки образуют плгебру над полем.

Ну просто достаточно нелегко понять, что Вы говорите. Например,

EvilPhysicist в сообщении #486174 писал(а):

Далее, нам надо уметь считать длинну отрезка в этой алгебре

: что такое за зверь такой -- "отрезок в алгебре"?...

И в любом случае:

EvilPhysicist в сообщении #486174 писал(а):

диаметр разбиения $ d= \max_\delta \mu(\Delta_i) $

-- никак не пройдёт. Мера -- это ни в коем случае не диаметр. Кроме самых простейших случаев.

[EvilPhysicist]

ewert в сообщении #486194 писал(а):

: что такое за зверь такой -- "отрезок в алгебре"?...

В смысле на прямой мы считали длинну отрезка. На алгебре, если мы хотим построить аналоги интеграла Римана мы должны посчитать величину, которая будет играть ту же роль, что и длинна отрезка раздиения в интеграле Римана.

ewert в сообщении #486194 писал(а):

-- никак не пройдёт. Мера -- это ни в коем случае не диаметр. Кроме самых простейших случаев.

Нет, не это имесоль в виду. Мы задаём меру $\mu$, а за тем задаём величину, называемую диаметром разбиения, которая равна максимальной из мер всех множеств, входящих в покрытие множества $\alpha$.

[ewert]

EvilPhysicist в сообщении #486199 писал(а):

Мы задаём меру $\mu$, а за тем задаём величину, называемую диаметром разбиения, которая равна максимальной из мер всех множеств, входящих в покрытие множества $\alpha$.

Вот именно этого и нельзя делать. Диаметр -- это максимальное расстояние между элементами множества (это принципиально, с точки зрения именно определения интегралов типа Римана), и с мерой он никак не связан.

EvilPhysicist в сообщении #486199 писал(а):

На алгебре, если мы хотим построить аналоги интеграла Римана мы должны посчитать величину, которая будет играть ту же роль, что и длинна отрезка раздиения в интеграле Римана.

Какую конкретно "такую же"? Что в точности от этой величины требуется?

В любом случае: что в точности понимается под "отрезком"? Для алгебры вообще это понятие бессмысленно. А для построения интеграла, между прочим, совершенно не нужна алгебраическая структура на множестве, по которому производится интегрирование.

[EvilPhysicist]

ewert в сообщении #486200 писал(а):

Вот именно этого и нельзя делать. Диаметр -- это максимальное расстояние между элементами множества (это принципиально, с точки зрения именно определения интегралов типа Римана), и с мерой он никак не связан.

Ну тогда можно просто искать предельное положение суммы при стремлении каждого множества из покрытия к точке.

ewert в сообщении #486200 писал(а):

Какую конкретно "такую же"? Что в точности от этой величины требуется?

Требуется, чтобы эта величина была элементом поля и характеризовала площадь мнощества.

ewert в сообщении #486200 писал(а):

А для построения интеграла, между прочим, совершенно не нужна алгебраическая структура на множестве, по которому производится интегрирование.

Для интеграла Римана или Лебега?

[ewert]

EvilPhysicist в сообщении #486203 писал(а):

при стремлении каждого множества из покрытия к точке.

Это понятие требует формализации; пока же это -- не более чем размахивание руками.

EvilPhysicist в сообщении #486203 писал(а):

Требуется, чтобы эта величина была элементом поля и характеризовала площадь мнощества.

Аналогично. Что в точности понимается под "площадью множества"?

EvilPhysicist в сообщении #486203 писал(а):

Для интеграла Римана или Лебега?

Ни того, ни другого. Для Лебега вообще нужна лишь мера. Для Римана -- тоже мера (не обязательно, правда, счётно-аддитивная), но, кроме того, ещё и метрика. А вот алгебраическая структура не нужна абсолютно.

[EvilPhysicist]

ewert в сообщении #486210 писал(а):

А вот алгебраическая структура не нужна абсолютно.

Ну это, на сколько я понимаю, связано с тем, что мы интегрируем функции или функционалы по мере, которая принимает действительные значения. То есть переводим всё, что нам нужно в действительные числа, где уже есть своя алгебраическая структура.
Я же хочу распространить интеграл на отображения множества само в себя.

ewert в сообщении #486210 писал(а):

Это понятие требует формализации; пока же это -- не более чем размахивание руками.

Ну это и пытался описать с помощью диаметра разбиения.

ewert в сообщении #486210 писал(а):

Аналогично. Что в точности понимается под "площадью множества"?

Его меру.

[ewert]

EvilPhysicist в [url=http://dxdy.ru/post486217.html#p486217]сообщении
#486217[/url] писал(а):

Ну это и пытался описать с помощью диаметра разбиения.

Вот и описывайте его с помощью именно диаметра, а дли него нужна именно метрика. Кстати, называть его принято не диаметром, а рангом разбиения.

EvilPhysicist в сообщении #486217 писал(а):

Я же хочу распространить интеграл на отображения множества само в себя.

Ради бога, распространяйте. Но придётся дополнительно вводить меру и метрику на входе и метрику на выходе. А вот алгебраическая структура на входе при этом фактически исчезнет, т.е. не будет никак проявляться. Например, можно определить по Вашей схеме интеграл от комплекснозначной функции комплексной же переменной, но выйдет из этого всего-навсего обычный двойной интеграл. И в конце-то концов: зачем Вам именно алгебра-то? Вполне хватит просто линейной структуры.

[EvilPhysicist]

ewert в сообщении #486224 писал(а):

Вот и описывайте его с помощью именно диаметра, а дли него нужна именно метрика. Кстати, называть его принято не диаметром, а рангом разбиения.

Это если определять его через расстояние между двумя точками. Я же определял его как максимальную из мер множеств, входящих в разбиение.

ewert в сообщении #486224 писал(а):

И в конце-то концов: зачем Вам именно алгебра-то? Вполне хватит просто линейной структуры.

Ну да, линейного пространства будет достаточно.

[ewert]

EvilPhysicist в сообщении #486226 писал(а):

Я же определял его как максимальную из мер множеств, входящих в разбиение.

А я уже два раза сообщал, что делать этого, вообще говоря, нельзя. Иначе не удастся разумно определить интегрируемость функций.

[EvilPhysicist]

ewert в сообщении #486228 писал(а):

Иначе не удастся разумно определить интегрируемость функций.

Почему не удасться?
На сколько я помню, мера должна удовлетворять условию $ A \supset B \Rightarrow \mu(A) > \mu(B) $ и тогда при стягивании множества в точку его мера стремится к нулю.