Хорошо, попробую по другому.
Есть у нас интеграл Римана

, который по определению

. Можно сказать, что у нас было множество
![$ [a,b] $ $ [a,b] $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/2/c926dcefdc7bf8ff54c96a5e8b21516d82.png)
, мы его покрыти семейством дизъюнктивных множеств
![$ \Zeta= \lbrace (\alpha_i, \beta_i) : \alpha_i, \beta_i \in [a,b], \alpha_i < \beta_i \rbrace $ $ \Zeta= \lbrace (\alpha_i, \beta_i) : \alpha_i, \beta_i \in [a,b], \alpha_i < \beta_i \rbrace $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/2/6628a69528687e08643c1f9a6c79526f82.png)
, в каждом множестве из этого семейства взяли точку

, посчитали в ней значение функции

, домножили на длинну отрезка

и сложили по всем отрезкам.
Обощим эту конструкцию на произвольные множества. Берём множество

, там должна быть определена сумма двух элементов, чтобы мы просто могли посчитать аналог Риманова интеграла. Ну и произведение элементов было бы очень не полохо иметь, по этому потредуем, чтобы

была алгеброй над некоторым полем

. Далее, нам надо уметь считать длинну отрезка в этой алгебре, по этому там должна бытб определена мера

. Теперь беря любую функцию

, определенную на некотором множестве

берём и пишем аналогичную сумму.
Покрываем

семейством дизъюнктивных множеств

. Выбераем в каждом множестве из этого семейства точку

, считаем функцию в этой точке

, и домножаем её на меру отрезка

, суммируем по всем множествам из семейства

. Далее вводим диаметр разбиения

и берём предел составленной суммы, при диаметре разбиения стремящемся к нулю

и называем это интегралом
