Хорошо, попробую по другому.
Есть у нас интеграл Римана
![$ \int\limits_a^b f(x) dx $ $ \int\limits_a^b f(x) dx $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/b/2cbc1d2f1f556992982d01913a47b20682.png)
, который по определению
![$ \lim\limits_{d \to 0} f( \zeta_i) \Delta_i $ $ \lim\limits_{d \to 0} f( \zeta_i) \Delta_i $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/7/1c76942a61afc83c84616e0b4debfca082.png)
. Можно сказать, что у нас было множество
![$ [a,b] $ $ [a,b] $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/2/c926dcefdc7bf8ff54c96a5e8b21516d82.png)
, мы его покрыти семейством дизъюнктивных множеств
![$ \Zeta= \lbrace (\alpha_i, \beta_i) : \alpha_i, \beta_i \in [a,b], \alpha_i < \beta_i \rbrace $ $ \Zeta= \lbrace (\alpha_i, \beta_i) : \alpha_i, \beta_i \in [a,b], \alpha_i < \beta_i \rbrace $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/2/6628a69528687e08643c1f9a6c79526f82.png)
, в каждом множестве из этого семейства взяли точку
![$\zeta_i$ $\zeta_i$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/f/3ff1cdd0ebfafe6301363d1142fd7bf282.png)
, посчитали в ней значение функции
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
, домножили на длинну отрезка
![$ \Delta_i = \beta_i - \alpha_i $ $ \Delta_i = \beta_i - \alpha_i $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/d/d8d5bcf082d96bf6379387ed8fea030682.png)
и сложили по всем отрезкам.
Обощим эту конструкцию на произвольные множества. Берём множество
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
, там должна быть определена сумма двух элементов, чтобы мы просто могли посчитать аналог Риманова интеграла. Ну и произведение элементов было бы очень не полохо иметь, по этому потредуем, чтобы
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
была алгеброй над некоторым полем
![$ \Omega $ $ \Omega $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/b/38bdcb6622108f600132a8424abacfec82.png)
. Далее, нам надо уметь считать длинну отрезка в этой алгебре, по этому там должна бытб определена мера
![$\mu : A \to \Omega$ $\mu : A \to \Omega$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/2/f8204d882839ae6bf83bec91ae1ae59f82.png)
. Теперь беря любую функцию
![$f : A \to A $ $f : A \to A $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/6/c269edd9d0b76c7f56631cf2291e892382.png)
, определенную на некотором множестве
![$ \alpha $ $ \alpha $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/b/ebb66f0e96fcb4a8d842166969b2883182.png)
берём и пишем аналогичную сумму.
Покрываем
![$\alpha$ $\alpha$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/4/c745b9b57c145ec5577b82542b2df54682.png)
семейством дизъюнктивных множеств
![$ \delta= \lbrace \Delta_i \rbrace $ $ \delta= \lbrace \Delta_i \rbrace $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/6/ef60986d6a12ebf8597bda07ebdaec6e82.png)
. Выбераем в каждом множестве из этого семейства точку
![$ \zeta_i \in \Delta_i $ $ \zeta_i \in \Delta_i $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/1/eb163f3f68b79754eca6a5ed86f3772b82.png)
, считаем функцию в этой точке
![$f(\zeta_i)$ $f(\zeta_i)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/1/681ee43a831f257cfacaebf6486bbb1182.png)
, и домножаем её на меру отрезка
![$ f(\zeta_i) \mu(\Delta_i) $ $ f(\zeta_i) \mu(\Delta_i) $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/f/60f9e79d862a79db2b18b80dc4ec55f382.png)
, суммируем по всем множествам из семейства
![$ \sum\limits_{\delta} f(\zeta_i) \mu(\Delta_i) $ $ \sum\limits_{\delta} f(\zeta_i) \mu(\Delta_i) $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/4/ed42188abda4d3a23700ea42c34e43b682.png)
. Далее вводим диаметр разбиения
![$ d= \max_\delta \mu(\Delta_i) $ $ d= \max_\delta \mu(\Delta_i) $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/d/dfdcf0eb81af22e0881c8732c0ceeec582.png)
и берём предел составленной суммы, при диаметре разбиения стремящемся к нулю
![$ \lim\limits_{d \to 0} \sum\limits_{\delta} f(\zeta_i) \mu(\Delta_i) $ $ \lim\limits_{d \to 0} \sum\limits_{\delta} f(\zeta_i) \mu(\Delta_i) $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/3/c63457338d4767c5a5edb648e492aeef82.png)
и называем это интегралом
![$ \int\limits_\alpha f d\alpha $ $ \int\limits_\alpha f d\alpha $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/7/fe7385a815a29f0907b7900c3b594ac382.png)