Немного добью банальную мысль из своего первого сообщения, хотя она тут уже под разными соусами прозвучала.
Определение. Пусть
![$[a,b]\subset\mathbb{R}$ $[a,b]\subset\mathbb{R}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/7/6a7d215ccbf08bae75f2145248f0f23782.png)
. Функция
![$f:[a,b]\to\mathbb{R}$ $f:[a,b]\to\mathbb{R}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/4/9f47cae3cd650a01d9a973ae308cc92282.png)
называется
интегрируемой в смысле EvilPhysicistа-AD, и число
![$I\in\mathbb{R}$ $I\in\mathbb{R}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/f/47f96a977c8b569e50d5cdf74627b2d882.png)
называется её интегралом в смысле
EvilPhysicistа-AD, если для любого
![$\varepsilon>0$ $\varepsilon>0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/5/155142dbd92bd0eebef1ec0d4453145582.png)
существует такое
![$\delta>0$ $\delta>0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/1/e61806b0d92d6e5141f65dbe7f6a038e82.png)
, что для любой конечной системы непересекающихся измеримых по Лебегу множеств
![$\{\Delta_i\}_{i=1}^n$ $\{\Delta_i\}_{i=1}^n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/2/992644b909a07877da8287d7b441cc4482.png)
таких, что
![$\bigcup\limits_{i=1}^n\Delta_i=[a,b]$ $\bigcup\limits_{i=1}^n\Delta_i=[a,b]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/3/ef3233e00965ebebb133194c9de9ca3482.png)
и
![$\max\limits_{i=1,\ldots,n}\mu\Delta_i<\delta$ $\max\limits_{i=1,\ldots,n}\mu\Delta_i<\delta$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/210f6b7fcf5b29e2f561d9beaeb50b0682.png)
и любой системы точек
![$\xi_i\in\Delta_i$ $\xi_i\in\Delta_i$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/2/3d2e0c7e9682ec0ff32a4180519434ba82.png)
имеет место неравенство
![$\left|I-\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\mu\Delta_i\right|<\varepsilon$ $\left|I-\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\mu\Delta_i\right|<\varepsilon$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/0/7800de6d92abb42fc2d2e1d73c62a9ca82.png)
.
Теорема. Функция
не интегрируема на
в смысле EvilPhysicistа-AD.
Доказательство теоремы оставляю в качестве несложного упражнения. Несмотря на то, что есть и алгебраическая структура, и метрика, и порядок, и что ни пожелаете, до понятия "интеграл" пока далековато. Соображайте, почему
![Wink :wink:](./images/smilies/icon_wink.gif)
Еще небольшая наводка вам. Чтобы получать интегралы а-ля интеграл Римана на сколь-нибудь абстрактных пространствах, выделяют допустимые пары
![$(\Delta,\xi)$ $(\Delta,\xi)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/1/091102b41193ce2724a6a79167bc651f82.png)
(то есть чтобы
![$\Delta$ $\Delta$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/9/7e9fe18dc67705c858c077c5ee292ab482.png)
были не всеми измеримыми множествами, а чем-то более диковинным, например, как в случае прямой, отрезками), а потом делают базу фильтра на россыпи всех допустимых пар, и из элементов окончаний базы уже составляют разбиения. Получается достаточно годно, причём само устройство базы тоже можно достаточно сильно разнообразить. Ну это хенстоковские всякие дифференциальные базисы там.