Матанализ, неявные функции с 3 и 2 переменными.

[aquatko]

Добрый вечер всем.
Прошу вашей помощи.
Собственно задача.
Функция $z=f(x,y)$ задана уравнением $z^3+5xyz=x^5+y^5+4z^5$.
Найти $dz$ и $d^2z$.
Понятия не имею, как искать $dy$ без условия, что функция $z=f(x,y)$ определяется уравнением $u(x,y,z)=0$.

Для примера (заодно проверьте меня, если не сложно).
Похожая задача.
Функция $y=f(x)$, определяемая уравнением $u(x,y)=0$ задана уравнением u(x,y)=x^4+y^4-x^2y$.
Найти $dy$ и $d^2y$.
Тогда, $du=0$ и
$dy =- \frac {(U'_xdx)}{U'_y}$
, а $d^2y=- \frac {U''_{xx}(dx)^2-2U''_{xy}dxdy}{U''_{yy}}$

Правильны ли формулы?

А с первой задачей буду рад любому совету. Совсем не знаю что делать.
Заранее всем спасибо.
Надеюсь Латексом правильно все написал.

[AlexValk]

aquatko писал(а):

Понятия не имею, как искать $dy$ без условия, что функция $z=f(x,y)$ ...

Очевидно описка: имелось в виду как искать $dz$?


1. Проблемы с нулем в правой части $u(x,y,z)=0$ вообще нет: перенесите в $z^3+5xyz=x^5+y^5+4z^5$ все в одну сторону .
Хотя, честно говоря, в этом действиии и нет особой необходимости.

2. В случае двух переменных для $dy$ Ваша формула верная, а для $d^2y$ - нет.

3. Вопрос, аналогичный Вашему для 3-х переменных уже обсуждался http://dxdy.ru/topic13035.html.

3. $\LaTeX$ читается по-русски как латех. Название $\TeX$ - греческого происхождения, сравните русское "техника".

[aquatko]

Так, ага. Продифференцировал еще раз.
Получил для двух переменных
$d^2y=-\frac{1}{(U'_y)^3} (U''_{xx}(U'_y)^2-2U''_{xy}U'_xU'_y+U''_{yy}(U'_x)^2)dx^2$
Теперь правильно?

[alcoholist]

Опять возвращаемся к тому, что непонятен второй дифференциал...
Неинвариантен, поэтому непонятен:( трудностей в задании нет, только смысл бы придать...