2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 
Сообщение02.01.2007, 23:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Выбрать ветвь можно, например, так: разрезами запретить обходы вокруг всех точек ветвления, после чего назначить в получившейся односвязной области ветвь, просто назвав значение уже однозначной функции в какой-либо точке построенной области.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.01.2007, 12:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
C0rWin писал(а):
Хорошо, у меня появилась другая идея на почве полного отчаяния. А если я для начала посмотрю на трансформацию окружности с помощью $z^2+z$, а потом то, что получилось, прогоню через $ln(z)$? Но опять-таки не ясно с веткой.

Вот это неплохая идея. Я бы именно так и решал.
Чтобы определиться с ветвью, попробуйте понять, чему равно f(1).

Добавлено спустя 12 минут 11 секунд:

C0rWin писал(а):
Позволю себе попробовать объяснить себя еще раз, ибо мне кажется, тут недопонимание. Итак, мне сказано воспользоваться веткой логарифма, для которой выполняется $log(1)=0$.Я знаю что $log(z)=log|z|+iarg(z)+i2\pi n$. Мой следующий шаг, как мне кажется очень логичный, а именно $log(1)=log|1|+iarg(1)+i2\pi n=0$ откуда я заключаю, что $n=0$.

На самом деле, если быть аккуратным, надо писать
$$log(z)=log|z|+iarg(z)+i2\pi n(z),\ n(z)\in\mathbb{Z}.$$
Если взять $n(z)=const=n$ при всех $z\ne0$, то в точках $z<0$ функция будет разрывной. А поэтому $\log(z+z^2)=\ln|z+z^2|+i\arg(z+z^2)+n$ будет иметь разрыв в точках $z=e^{\pm\frac{2\pi i}3}$, какое бы $n$ Вы ни выбрали.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.01.2007, 03:35 


20/02/06
113
RIP писал(а):
C0rWin писал(а):
Хорошо, у меня появилась другая идея на почве полного отчаяния. А если я для начала посмотрю на трансформацию окружности с помощью $z^2+z$, а потом то, что получилось, прогоню через $ln(z)$? Но опять-таки не ясно с веткой.

Вот это неплохая идея. Я бы именно так и решал.
Чтобы определиться с ветвью, попробуйте понять, чему равно f(1).

Добавлено спустя 12 минут 11 секунд:

C0rWin писал(а):
Позволю себе попробовать объяснить себя еще раз, ибо мне кажется, тут недопонимание. Итак, мне сказано воспользоваться веткой логарифма, для которой выполняется $log(1)=0$.Я знаю что $log(z)=log|z|+iarg(z)+i2\pi n$. Мой следующий шаг, как мне кажется очень логичный, а именно $log(1)=log|1|+iarg(1)+i2\pi n=0$ откуда я заключаю, что $n=0$.

На самом деле, если быть аккуратным, надо писать
$$log(z)=log|z|+iarg(z)+i2\pi n(z),\ n(z)\in\mathbb{Z}.$$
Если взять $n(z)=const=n$ при всех $z\ne0$, то в точках $z<0$ функция будет разрывной. А поэтому $\log(z+z^2)=\ln|z+z^2|+i\arg(z+z^2)+n$ будет иметь разрыв в точках $z=e^{\pm\frac{2\pi i}3}$, какое бы $n$ Вы ни выбрали.

А можно подпробнее показать как, Вы показывете\доказываете, что существует разрыв имеено в этих точках?

В конечном итоге я решил эту задачу, но решением это правда трудно назвать, это больше похоже на изнасилование. Я знаю что мне надо трансформировать точки на еденичной окружности т.е. $z=e^{it}. Теперь я вижу что для этих точек если посмотреть на выдуманную часть логарифмической функции то я увижу что он изменяется $-3\pi /2 <t< 3\pi /2$. Но тогда это не вписывается в итервал шириной 2 \pi. Значит изначально я просто поделю свою область на три куска и трасформирую их по очереди т.е. $-2\pi/3<t<2\pi/3, -\pi<t<-2\pi/3, 2\pi/3<t<\pi. И теперь я посматрю куда переходят эти точки. Надеюсь теперь я сделал правильно. Заранее извиняюсь за возможные неточности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group