Функции коплексного переменого. Задача.

[Brukvalub]

Выбрать ветвь можно, например, так: разрезами запретить обходы вокруг всех точек ветвления, после чего назначить в получившейся односвязной области ветвь, просто назвав значение уже однозначной функции в какой-либо точке построенной области.

[RIP]

C0rWin писал(а):

Хорошо, у меня появилась другая идея на почве полного отчаяния. А если я для начала посмотрю на трансформацию окружности с помощью $z^2+z$, а потом то, что получилось, прогоню через $ln(z)$? Но опять-таки не ясно с веткой.

Вот это неплохая идея. Я бы именно так и решал.
Чтобы определиться с ветвью, попробуйте понять, чему равно f(1).

Добавлено спустя 12 минут 11 секунд:

C0rWin писал(а):

Позволю себе попробовать объяснить себя еще раз, ибо мне кажется, тут недопонимание. Итак, мне сказано воспользоваться веткой логарифма, для которой выполняется $log(1)=0$.Я знаю что $log(z)=log|z|+iarg(z)+i2\pi n$. Мой следующий шаг, как мне кажется очень логичный, а именно $log(1)=log|1|+iarg(1)+i2\pi n=0$ откуда я заключаю, что $n=0$.

На самом деле, если быть аккуратным, надо писать

$$log(z)=log|z|+iarg(z)+i2\pi n(z),\ n(z)\in\mathbb{Z}.$$

Если взять $n(z)=const=n$ при всех $z\ne0$, то в точках $z<0$ функция будет разрывной. А поэтому $\log(z+z^2)=\ln|z+z^2|+i\arg(z+z^2)+n$ будет иметь разрыв в точках $z=e^{\pm\frac{2\pi i}3}$, какое бы $n$ Вы ни выбрали.

[C0rWin]

RIP писал(а):

C0rWin писал(а):

Хорошо, у меня появилась другая идея на почве полного отчаяния. А если я для начала посмотрю на трансформацию окружности с помощью $z^2+z$, а потом то, что получилось, прогоню через $ln(z)$? Но опять-таки не ясно с веткой.

Вот это неплохая идея. Я бы именно так и решал.
Чтобы определиться с ветвью, попробуйте понять, чему равно f(1).

Добавлено спустя 12 минут 11 секунд:

C0rWin писал(а):

Позволю себе попробовать объяснить себя еще раз, ибо мне кажется, тут недопонимание. Итак, мне сказано воспользоваться веткой логарифма, для которой выполняется $log(1)=0$.Я знаю что $log(z)=log|z|+iarg(z)+i2\pi n$. Мой следующий шаг, как мне кажется очень логичный, а именно $log(1)=log|1|+iarg(1)+i2\pi n=0$ откуда я заключаю, что $n=0$.

На самом деле, если быть аккуратным, надо писать

$$log(z)=log|z|+iarg(z)+i2\pi n(z),\ n(z)\in\mathbb{Z}.$$

Если взять $n(z)=const=n$ при всех $z\ne0$, то в точках $z<0$ функция будет разрывной. А поэтому $\log(z+z^2)=\ln|z+z^2|+i\arg(z+z^2)+n$ будет иметь разрыв в точках $z=e^{\pm\frac{2\pi i}3}$, какое бы $n$ Вы ни выбрали.

А можно подпробнее показать как, Вы показывете\доказываете, что существует разрыв имеено в этих точках?

В конечном итоге я решил эту задачу, но решением это правда трудно назвать, это больше похоже на изнасилование. Я знаю что мне надо трансформировать точки на еденичной окружности т.е. $z=e^{it}. Теперь я вижу что для этих точек если посмотреть на выдуманную часть логарифмической функции то я увижу что он изменяется $-3\pi /2 <t< 3\pi /2$. Но тогда это не вписывается в итервал шириной 2 \pi. Значит изначально я просто поделю свою область на три куска и трасформирую их по очереди т.е. $-2\pi/3<t<2\pi/3, -\pi<t<-2\pi/3, 2\pi/3<t<\pi. И теперь я посматрю куда переходят эти точки. Надеюсь теперь я сделал правильно. Заранее извиняюсь за возможные неточности.