Объяснение перенормировок

[VladimirKalitvianski]

Я все пытаюсь объяснить почему люди делают перенормировки констант в КТП, и вот написал совсем простенькое объяснение. Суть его в том, что мы совершаем концептуальную ошибку при попытке "включить" взаимодействие там, где оно на самом деле уже есть. То есть, "включаем" мы его не правильно. Увы, наши представления о том и сем оказались не точны. Я понимаю, это звучит радикально, но такого же мнения были и отцы КЭД, если вспомнить их высказывания об этой проблеме.

Технически наше "включение" выглядит, как добавление, как я установил, кинетических членов "ради спасения законов сохранения", что, разумеется, меняет инерционные члены в уравнениях и приводит к плохим результатам расчетов. Избавление от вкладов этих кинетических членов в исходные феноменологические (фундаментальные) константы путем насильственного отбрасывания ненужных поправок восстанавливает предсказательную силу уравнений и оставляет то полезное, что все-таки (случайно правильно) содержится в нашем неправильном "взаимодействии".

Моя игрушечная модель проста и точно решаема. В частности, она точно перенормируема. В ней есть связь между "голыми" и "физическими" параметрами, на основе которой, если очень захотеть, строится смешная ренорм-группа. Ультрафиолетовые и инфракрасные расходимости тоже присутствуют в моей механической модели, так что модель весьма поучительная и реалистичная. Хотите посмотреть на уравнения в терминах чисто физических параметров - тогда Вам сюда!

В реалистичных задачах квантовой теории поля перенормировки выполняются только пертурбативно, а взаимодействие, говорят, "выключается" в асимптотических областях, и все это полностью затмевает суть постоянного взаимодействия, остающегося после выполнения перенормировок. Поэтому и неудовлетворенность перенормировками может быть, и физическая суть всего расчета остается не постигнутой.

Толкование перенормировок глубоко ошибочно. Вся эта идеология "голых" частиц и их "взаимодействий" - чепуха. Ничего этого нет, а есть наши концептуальные ошибки, которые приходися исправлять в негодных решениях, "принуждая" ошибочную теорию описывать известные данные. Исправление решений есть исправление исходных уравнений или исходной физической модели, не правда ли?

В простых случаях перенормировки могут "работать", но вообще говоря - нет. И это не козни природы или хитрости взаимодействий на малых расстояниях, нет. Это просто закономерный провал ошибочных представлений в физике. Ни релятивизм, ни квантовость здесь не причем.

Свою модель я вывел из квантовой электродинамики, упростив ее до одной нерелятивистской частицы и одного фотонного осциллятора. А оттуда до механической задачи рукой подать, заменив обозначения.

Итак, к делу. Пусть у нас есть некое маленькое макроскопическое тело, чье ускорение возбуждает волны. Для большего сходства с проблемами электродинамики, будем предполагать, что внутреннее устройство тела нам не известно. Больше того, поначалу и потом еще долгое время мы описываем движение тела во внешнем поле уравнениями Ньютона:

$$M_p \ddot{\vec{r}}_p (t) = \vec{F}_{ext}(\vec{r}_p|t) \eqno (1)$$

и вполне этим описанием довольны, ну как в небесной механике. Но поскольку тело наше очень маленькое и ничего нового мы не наблюдаем, то мы даже выдвигаем фундаментальную идею, что оно точечное и элементарное (элементарная частица). Ну а мы тогда - фундаментальные физики.

Проходят годы и вот экспериментаторы обнаруживают-таки звуковые волны, пусть одной для простоты частоты, целиком определяемые ускорением частицы во внешнем поле. Когда я говорю "целиком определяемые", это значит наши доблестные экспериментаторы смогли установить и этот факт. Например, легонечко толкая частицу, они меняли величину силы, длительность ее действия и сравнивали измеренные амплитуды с решением уравнения осциллятора с вынуждающей силой, пропорциональной ускорению нашего тела. Сошлось хорошо и описалось уравнением осциллятора, которое мы теперь выписываем рядом с уравнением частицы:

$$M_{osc} \ddot{\vec{r}}_{osc}+k \vec{r}_{osc}= \alpha M_{osc} \ddot{\vec{r}}_p (t) \eqno (2a)$$

или уравнение с частотой и вынуждающей силой, но без неизвестных нам массы истинного осциллятора $M_{osc}$ и его коэффициента упругости $k$:

$$\ddot{\vec{r}}_{osc}+\omega^2 \vec{r}_{osc}= \alpha \ddot{\vec{r}}_p (t) \eqno (2b)$$

Здесь $\alpha$ есть безразмерный коэффициент эффективности возбуждения колебаний ускорением частицы ("константа связи"). Единицы измерения $r_{osc}$ могут быть выбраны так, что это будет чуть ли не амплитуда колебаний воздуха, измеряемая датчиком. В любом случае звуковая амплитуда считается пропорциональной амплитуде того истинного осциллятора, про который мы еще мало что знаем. Ну и вот, пара наших уравнений очень похожа на уравнения движения заряда во внешнем поле и уравнения электромагнитного поля, излучаемого зарядом.

Далее, как и в электродинамике, мы можем задаться вопросом, а как написать самосогласованную систему уравнений, чтобы энергия сохранялась? Ведь наша частица при ускорении теряет часть своей энергии на возбуждение волн. Пусть эта энергия и мала, но все равно, не порядок. Надо учесть потери энергии для полноты теории, думаем мы. И делаем следующий шаг - выдвигаем "Лагранжиан взаимодействия". Что мы хотим? Добавить некий член "трения" в механическое уравнение (1) и оставить без изменения и без того хорошее волновое уравнение. Сказано - сделано. Наиболее общий вид Лагранжиана взаимодействия имеет вид:

$$L_{int} = -\alpha M_{osc} \left( \vec{v}_p \vec{v}_{osc} +\frac{\eta}{2}\vec{v}_p\vec{v}_p \right) \eqno (3)$$

Здесь квадратичный по скоростям частицы член описывает самодействие частицы. Он, казалось бы, не вносит вклада в уравнение осциллятора и определяется конкретной моделью самодействия. Коэффициент $\eta$ зависит, таким образом, от обрезания в модели и может расходится, если закрутить гайки. Новые, "самосогласованные" уравнения теперь выглядят так:

$$\begin{cases} M_p \ddot{\vec{r}}_p (t) = \vec{F}_{ext}(\vec{r}_p|t) + \alpha M_{osc} \left (\ddot{\vec{r}}_{osc}+\eta \ddot{\vec{r}}_p\right ) \\ \ddot{\vec{r}}_{osc}+\omega^2 \vec{r}_{osc}= \alpha \ddot{\vec{r}}_p (t)\end{cases} \eqno (4a)$$

Если захотеть вывести закон сохранения из теоремы Нетер, то пожалуйста, из уравнений (4a) или полного Лагранжиана формально что-то получится, практически, как в электродинамике.

Если положить $\alpha = 0$, то мы получаем "невозмущенную", расцепленную систему уравнений. Обычно такое приближение является нулевым приближением в теории возмущений (ТВ). Возьмите любое сечение упругого рассеяния частицы во внешнем поле в квантовой электродинамике в первом Борновском приближении и Вы увидите качественно такую же картину - частица рассеивается, а фотоны не излучаются (осцилляторы не возбуждаются).

Наша задача проще и допускает точное аналитическое решение, поэтому мы этим фактом и воспользуемся, чтобы делать заключения точно, а не гадать "пертурбативно". Для этого давайте перепишем нашу "самосогласованную систему" в другом виде, а именно:

$$\large \begin{cases} M_p \left (1-\alpha \eta \frac{M_{osc}}{M_p}\right ) \ddot{\vec{r}}_p (t) = \vec{F}_{ext}(\vec{r}_p|t) + \alpha M_{osc} \ddot{\vec{r}}_{osc} \\ \ddot{\vec{r}}_{osc}+\frac{\omega^2}{1-\frac{\alpha^2 M_{osc}}{M_p \left (1-\alpha \eta \frac{M_{osc}}{M_p}\right )}} \vec{r}_{osc} = \frac{\alpha}{1-\frac{ \alpha^2 M_{osc}}{M_p \left (1-\alpha \eta \frac{M_{osc}}{M_p}\right )}}\frac{\vec{F}_{ext}(\vec{r}_p|t)}{M_p \left (1-\alpha \eta \frac{M_{osc}}{M_p}\right ) }\end{cases} \eqno (4b)$$

Теперь получается, что реакция на внешнюю силу другая - инерционный член уравнения для частицы изменился за счет самодействия, собственная частота осциллятора тоже изменилась, ну и коэффициент эффективности возбуждения колебаний при внешней силе тоже изменился. Видите, я намеренно сгруппировал "поправки", как множители при массах и "константе взаимодействия". Теория возмущений дала бы разложения этих поправок в ряды, а у нас все получилось точно. И мы точно можем сказать, что наша попытка спасти законы сохранения провалилась: мы даже в отсутствии внешней силы получили уравнения, нарушающие былое согласие с экспериментальными данными.

Но как же так? Мы же старались не вмешиваться в волновое уравнение, а, например, собственная частота, согласно новым уравнениям, все таки изменилась. В чем же дело?

Отцы теории говорили, что мы придумали лажу потому, что не поняли физики, как следует и надо менять весь подход, все понимание проблемы. Легко сказать, но трудно сделать. В математике мы не ошиблись, она была проста, а в физике тоже, как будто исходили из первых принципов и фундаментальных идей. Может быть наша частица не элементарная? А тогда какая? Вспомните попытки считать электрон не элементарным. Да это просто поклеп на фундаментальную физику! Электрон элементарен и точечен, и все тут! И вместо переосмысления основ люди стали делать перенормировки констант в негодных уравнениях. В нашем конкретном случае это делается просто - все новоявленные множители при массах и константе связи (ну там, единица минус что-то) полагаются равными единице. И, знаете, работает! Согласие масс, частот и константы связи с экспериментом восстанавливается! Наша точно перенормированная система уравнений выглядит, как паинька:

$$\large\begin{cases} M_p \ddot{\vec{r}}_p (t) = \vec{F}_{ext}(\vec{r}_p|t) + \alpha M_{osc} \ddot{\vec{r}}_{osc} \\ \ddot{\vec{r}}_{osc}+\omega^2 \vec{r}_{osc} = \alpha\frac{\vec{F}_{ext}(\vec{r}_p|t)}{M_p }\end{cases}\eqno (5)$$

Осцилляторное уравнение так же хорошо, как и прежде - ускорение частицы, равное внешней силе, поделенной на массу частицы, по-прежнему определяет возбуждение колебаний осциллятора, уравнение для самой фундаментальной частицы приобрело некий маленький член "трения" (потери на излучение), и все константы в перенормированной системе уравнений только физические, ну те, из (1) и (2), и ничего голого и в помине нет.

Кстати, любителям ренорм-группы: если задействовать идеологию голых (затравочных) частиц для оправдания перенормировок, то мы получили вообще точные соотношения между голыми константами и физическими, например: $(M_p)_{physical}=(M_p)_{bare} \left (1-\alpha_{bare} \eta_{bare} \frac{(M_{osc})_{bare}}{(M_p)_{bare}}\right )$ и нечто подобное для массы осциллятора и константы взаимодействия. Можно изучать полюс Ландау, асимптотическую свободу, или еще что-то, что там получится. Мне, однако, это не интересно и я этого не делал. Мура все это. Потому что я то знаю, почему мы изменили уравнения во второй раз: в первый раз мы ведь облажались. Не было никаких затравочных частиц и их взаимодействий ни в эксперименте, ни в проекте теории, а просто наши уравнения оказались хуже исходных и мы ничего лучшего не придумали, чем насильственно изменить уравнения еще раз. Это я сам изменил уравнения, а не голые частицы абсорбировали поправки, если хотите всю голую правду.

Мне говорят - нужно наложить "физические требования", чтобы негодная теория (4b) правильно описывала массы и константу взаимодействия, и на этом основании изменить в (4b) численные значения коэффициентов. Короче, стоит только потребовать от негодной теории правильных результатов, как она даст! В смысле, она даст нам самим написать их. Ха-ха! И после этого они говорят, что понимают физику! Сейчас проверим, как они понимают.

Посмотрим на (5) - последнюю версию уравнений. Что мы видим? Осцилляторное уравнение практически отцепилось от "механического" и накачивается непосредственно внешней силой. Это еще ничего, это экспериментаторы подтверждают, но уравнение для частицы приобрело колебания $\ddot{\vec{r}}_r$ в виде внешней силы! Например, внешняя сила кратковременно толкнула частицу и сгинула, осциллятор тронулся по (5) колебаться и затем остался с этими, свободными теперь колебаниями, а бедная частица должна им следовать! Для нее эти свободные колебания стали известной внешней вынуждающей силой и на все времена. Ожидали ли перенормировщики такого вот конца? Нет, конечо. Они вообще взаимодействие $L_{int}$ "адиабатически выключают", когда нет внешней силы и по их понятиям наша элементарная частица должна стать ну совершенно свободной, хотя и рассеянной. А знаете почему они выключают взаимодействие (3)? Не могут никак его учесть даже в отсутствии внешней силы - задача и без внешней силы сложна, нелинейна, многочастична, вот и не могут. А мы смогли. (Я еще не выписал этого в явном виде, но даже при учете медленного затухания колебаний член $\ddot{\vec{r}}_r$ остается в уравнении для частицы).

И бесполезно мне тут возражать, что, мол, и последние наши уравнения (5) не верны или не адекватны. Верны и адекватны. А что вы хотели, когда придумывали "правильное" взаимодействие частицы и осциллятора, что оно будет односторонним? Оно уже было односторонним в (1), но вас это не устроило. Осцилляции частицы есть обратное действие осциллятора на частицу, описания которого мы так рьяно добивались, и не надо от него отказываться. Так что будем расхлебывать заваренную кашу. Да и ничего особенного тут и нет, если подумать. Перенормированные уравнения получились правильными, а неправильными были и остаются наши представления о физике явления. Еще немного терпения, и наши представления исправятся, стоит лишь немного поработать с полученной точной системой. Мы же верим в правильность перенормированных решений?

Объединим кинетические члены в уравнении для частицы в один:

$${\vec{r}}_p -\alpha \frac{M_{osc}}{M_p}{\vec{r}}_{osc}={\vec{R}}\eqno (6) $$

$$\begin{cases} M_p \ddot{\vec{R}}(t) = \vec{F}_{ext}(\vec{r}_p|t) \\ \ddot{\vec{r}}_{osc}+\omega^2 \vec{r}_{osc} = \alpha\frac{\vec{F}_{ext}(\vec{r}_p|t)}{M_p }\end{cases}\eqno (7)$$

Уравнение для $\vec{R}$ выглядит, как уравнение для центра инерции двухчастичнй системы, а уравнение для колебаний - как уравнение для относительного движения двух частиц, связанных упругим потенциалом, причем внешяя сила действует только на одну из частиц. Не верите? Возьмите пару связанных частиц с $m_1$ и $m_2$, сделайте замены переменных

$$\vec{R} = \frac{m_1 \vec{r}_1 +m_2 \vec{r}_2 }{M_{tot}} = \vec{r}_1-\frac{m_2}{M_{tot}}(\vec{r}_1-\vec{r}_2),\quad \vec{r}_r = \vec{r}_1-\vec{r}_2\eqno (8)$$

Вы получите (7) с $M_p=M_{tot}$, $M_{osc}=\mu$ и $\alpha =M_{tot}/m_1$. Амплитуда звуковых волн $r_{osc}$ будет , конечно, отличаться от истинной амплитуды колебаний $r_r$ за счет дополнительного коэффициента преобразования механических колебаний в звуковые и за счет ослабления амплитуды звука при наблюдении системы на расстоянии $R$ (что-нибудь вида $1/R^2$). Так что разумно предположить, что наша частица - часть осциллятора, потому то он и возбуждается, когда частицу толкают. То есть, мы имеем дело со сложной (камертончик), а не элементарной системой. Вот она, правильная физика. Для такой (и более сложной, многомодовой) системы естесственным языком описания является язык глобальных (центр масс) и "внутренних" (относительных) переменных. В их терминах даже не сцепленные друг с другом уравнения описывают сложную систему, а не независимые физические системы, так как независимые друг от друга уравнения написаны просто в разделяющихся переменных. Короче, правильным оказывается квази-частичное описание. Такого понимания физики в теории элементарных частиц еще нет. Там все коллективные возбуждения мыслятся как истинные "элементарные частицы", свободно летающие в пустом пространстве. Даже вечно слепленные вкучу кварки и нелинейные глюконы замысливались, как свободные, в смысле, с определенными квантовыми числами и Лагранжианами свободных частиц частицы, но только "сильно взаимодействующие", а ля (3) или еще крепче.

Продолжаем. Если внешяя сила однородна в пространстве (не имеет пространственных аргументов), то система (7) совпадает по форме с исходной парой уравнений, про которую мы умно думали, что там энергия не сохраняется. Сохраняется. Работа внешней силы складывается из работы по ускорению центра тяжести связанной системы и по накачке колебаний (увеличение внутренней энергии системы). Эти работы, как я сказал, аддитивны, и нечего нам было спасать в исходных уравнениях, если бы мы правильно их понимали.

Исходные уравнения (1), (2b) почти совпадают с перенормированной системой (7). Разница в аргументе силы. Вот как надо было "включать" взаимодействие". Кабы мы заранее знали устройство нашей частицы, или хотя бы полагали нашу частицу не элементарной, а с чем-то связанной, с внутренними степенями свободы, то не проходили бы все тяжкие гадания (3) и метания (4a)->(5), не терпели бы позор неудач, не краснели бы, выдумывая голяка, чтобы объяснить случайное везение при "перенормировании" констант.

Такая же ситуация "с перенормировками" имеет место и в квантовой теории поля, только там физику еще не поняли, а неудачи выдали за достижения. Ведь главное - это численное согласие "с экспериментом", а если для него в теории "нужны" и голые частицы, то да, и они есть, просто на эксперименте они не наблюдаются.

Самодействие

Раз частица воздействует на осциллятор, то она должна воздействовать и на саму себя. Она должна воздействовать на все, что есть, а есть она сама и осциллятор. Такова железная логика полевого описания. Подражая ей самодействие есть и у нас в (3), как положено. При этом наша частица в (3) еще и затравочная.

Поляризация вакуума

Поляризация вакуума это ужасно хитроумное физическое явление, происходящее с затравочными частицами и модифицирующее константу связи. Она у нас тоже есть, а как же! Возьмите негодные уравнения (4b) безо всякой там внешней силы и решайте по теории возмущений. Вы получите поправки к затравочной константе взаимодействия. Для солидности можно даже диаграммную технику придумать для членов такого ряда ТВ.

Инфракрасные расходимости

Они неизбежны потому, что они есть, правда. Решение уравнения (истинного) осциллятора после окончания действия внешней силы обратно пропорционально частоте. Слабосвязанная система получает очень большую амплитуду колебаний, это физично. "Погасить" такую амплитуду могут другие осцилляторы, реально возбуждаемые в реальных системах (и которых мы не рассматривали ради простоты) и/или усреднение по времени. Тогда среднее значение координаты частицы очень близко к координате центра инерции системы, что, как правило, и наблюдают экспериментаторы. В квантовой электродинамике этому соответствует инклюзивная картина.

Вообще экспериментально наблюдают в первую очередь некоторую среднюю динамику центра масс, ведь соответствующее уравнение (1) пишется для одной точки, а тело то макроскопическое, не одноточечное. И как мы про это забыли, и кто нас дернул объявлять частицу точечной? Небесные мы механики!

В случае неоднородной в пространстве силы, наши перенормированные точные уравнения (7) не совпадают с исходными (1)-(2), ведь точка приложения силы не совпадает с центром инерции. Но это ничего, и численные, и аналитические решения уравнений физичны, переделывать уже ничего не надо. Может оказаться, что внешнюю силу в (7) можно разложить в ряд "вокруг R" по градиенту, если неоднородность слабая.

Непоместившаяся часть (окончание) находится в следующем сообщении.

Подробности и ссылки можни найти здесь: http://www.science20.com/qed_reformulat ... ions-81791

[photon]

Основные выкладки, будьте добры, приводите непосредственно в теме, внешние ссылки можно, но тогда, когда без них трудно обойтись (например, чтобы не дублировать громоздкие второстепенные преобразования),

а пока переезжаем

[VladimirKalitvianski]

Почему перенормировки могут иногда работать и почему от этого только хуже

То, что мы выдвинули неправильные уравнения (4) - это закономерно. Ведь мы взяли в голову не то, действовали, значит, не наверняка. Но почему тогда уравнения (5) (т.е., (4) с измененными константами) "работают"? Если объяснять совсем общо, то потому, что ошибочное "взаимодействие" (3) в данном случае оставило уравнения дифференциальными, второго порядка, хоть и изменило кинетические члены и связало уравнения. Так вот, возврат кинетических членов к их прежним значениям исправляет эффект нашего неуклюжего "улучшения" физики уравнений (1) и (2), но оставляет связь новых уравнений, которая в данном конкретном случае на удачу оказывается правильной. Это везение. Чаще невезет, если действовать по таким вот "рецептам включения взаимодействия".

Есть и более техническое обьяснение. Задачу о двух связанных частицах, на одну из которых действует внешняя сила, можно записать в каких угодно переменных - в собственных координатах частиц $\vec{r}_1, \vec{r}_2$, в координатах центра масс и относительных координатах $\vec{R}_{CM}, \vec{r}_r$, а также в смешанных координатах $\vec{r}_1, \vec{r}_r = \vec{r}_1 - \vec{r}_2$. Последний случай особенно поучителен. Фактически мы с ним и имеем дело.

Уравнения в смешанных переменных можно записать так:

$$\begin{cases}m_1 \ddot{\vec{r}}_1 = \vec{F}_{ext}(\vec{r}_1|t) - m_2 ( \ddot{\vec{r}}_1 - \ddot{\vec{r}}_r ) \\ m_2 \ddot{\vec{r}}_r+k \vec{r}_r= m_2 \ddot{\vec{r}}_1 \end{cases} \eqno (9)$$

или

$$\begin{cases}(m_1+m_2) \ddot{\vec{r}}_1 = \vec{F}_{ext}(\vec{r}_1|t) + m_2 \ddot{\vec{r}}_r \\ \mu \ddot{\vec{r}}_r+k \vec{r}_r = \frac{m_2}{M_{tot}} \vec{F}_{ext}(\vec{r}_1|t) \end{cases} \eqno (10)$$

а соответствующий Лагранжиан равен:

$$L = \frac{m_1 \vec{v}_1^2}{2}+\frac{m_2 \vec{v}_r^2}{2} - U(\vec{r}_r)-V_{ext}(\vec{r}_1|t)-m_2\left ( \vec{v}_1\vec{v}_r - \frac{\vec{v}_1^2}{2}\right ) \eqno (11)$$

Видите, последний, билинейно-квадратичный член очень похож на наш Лагранжиан взаимодействия (3). Обратите внимание, в смешанных переменных уравнение для первой частицы в (10) содержит полную массу системы, а не массу первой частицы. Это потому, что внешняя сила, хоть и тянет за первую частицу, волочит всю систему целиком.

Точная система уравнений в смешанных переменных (9) так же хороша, как и в любых других переменных, но так же неудобна для отыскания решений, как и система в собственных (абсолютных) координатах. Переменные там не разделены и ее надо как-то преобразовывать. Но! Ее можно порешать и по теории возмущений (ТВ), выбрав в качастве начального приближения уравнения:

$$\begin{cases}m_1 \ddot{\vec{r}}_1^{(0)} = \vec{F}_{ext}(\vec{r}_1^{(0)}|t) \\ m_2 \ddot{\vec{r}}_r^{(0)}+k \vec{r}_r^{(0)}= 0 \end{cases} \eqno (12)$$

Они расцеплены (независимы друг от друга) и легко решаются. Они получаются, если пренебречь "Лагранжианом взаимодействия" (последним членом) в (11). Далее, поскольку в нулевом приближении уравнение первой частицы содержит только массу первой частицы, а не полную массу, и возмущением служит кинетический член, то изрядная доля поправок будет фактически "достраивать" в решениях $m_1$ до $M_{tot}$ и $m_2$ до $\mu$. Ну и оставшаяся часть возмущения будет выдавать на гора эффекты связывания уравнений. В нашем простом случае это достройка решения $\vec{r}_1^{(0)}$ до $\vec{r}_1 = \vec{R}+\frac{m_2}{M_{tot}}\vec{r}_r$. Осциллятор начинает колебаться в высших приближениях и координата первой частицы приобретает осциллирующие пертурбативные поправки, сводящиеся к разложению в ряд осциллирующего члена $\frac{m_2}{M_{tot}}\vec{r}_r$. Параметром разложения служит отношение $\varepsilon\prime = \frac{m_2}{m_1}$.

Итак, все правильно - если начнем решать (9) по ТВ не с тех масс, не с тех частот, не с тех констант связи и с гладкого решения, то и поправки ТВ получим, исправляющие эти недочеты начального приближения. Точное решение, разумеется, будет правильным.

Правильные уравнения в смешанных переменных (9) совпадают по форме с неправильными уравнениями (4a), поэтому и решения уравнений (4a) совпадают по форме с решениями уравнений в смешанных переменных. Но в (4a) массы в нулевом приближении уже правильные ($M_p = M_{tot}$) - такими они "унаследованы" нами из феноменологических уравнений (1)-(2). Поэтому никакие поправки к ним уже не нужны (они будут только все портить), а осциллирующая часть в $\vec{r}_p$ нужна. Перенормировки на практике как раз и делают эту работу - привнесенные нами ненужные поправки к правильным константам в решениях отбрасываются, а остальные поправки в решения оставляются, что и дает правильную осциллирующую часть в $\vec{r}_p$.

Ничего математически и физически разумного в перенормировочном предписании, конечно, не содержится, а "успех" перенормировок случаен, так же как и закономерен неуспех в более сложных случаях при таком вот способе "введения взаимодействия". Все калибровочные (и не только) теории страдают из-за наших концептуальных ошибок (что есть что и как влкючать взаимодействие), но далеко не все "перенормируются". Чувствуете, какие открываются перспективы, если начать переосмысливать физические явления и переделывать теоретические схемы? Теоретическая физика станет более феноменологической, открытой для интеграции новых, еще не открытых элементарных возбуждений в спектрах сложных систем, а "принцип локальной калибровочной инвариантности", задуманный для получения неправильных уравнений в надежде, что перенормировки вывезут, будет примером, того как не надо поступать. Ну и Хиггса, конечно, нет.

Подробности и ссылки можни найти здесь: http://www.science20.com/qed_reformulat ... ions-81791

[photon]

перенес в Дискуссионную физику

[ИгорЪ]

Второе слагаемое в (3), которое вы называете самодействием есть просто кинетический член. Т.о. при вводе $\eta$ просто меняется масса частицы. Так?

[VladimirKalitvianski]

ИгорЪ в сообщении #477705 писал(а):

Второе слагаемое в (3), которое вы называете самодействием есть просто кинетический член. Т.о. при вводе $\eta$ просто меняется масса частицы. Так?

Да, это так, Игорь. Вспомни самодействие электрона в классической электродинамике. Оно дает кинетический член в правую часть уравнения (см. Фейнмановские лекции, главу об электромагнитной массе). Я ввел этот член намеренно, подражая логике электродинамики. Но даже без него ($\eta=0$) происходит изменение кинетического члена осциллятора и, следовательно, константы связи. Логика такого введения взаимодействия ошибочна ибо исходит из ошибочного понимания (т.е., непонимания) физического явления.

[ИгорЪ]

VladimirKalitvianski в сообщении #477158 писал(а):

Это еще ничего, это экспериментаторы подтверждают, но уравнение для частицы приобрело колебания в виде внешней силы! Например, внешняя сила кратковременно толкнула частицу и сгинула, осциллятор тронулся по (5) колебаться и затем остался с этими, свободными теперь колебаниями, а бедная частица должна им следовать! Для нее эти свободные колебания стали известной внешней вынуждающей силой и на все времена.

Тут описка видимо $r_r$ что это?
В (4а) законы сохранения есть, а в (4б) нет ? Но это ведь одни и те же уравнения... И что плохого в эксперименте, можно уточнить? По поводу ренормгруппы - пока вижу конечную ренормировку параметров, вполне известную и понятную вещь. Помнится такое в твердом теле частенько бывало.

[VladimirKalitvianski]

ИгорЪ в сообщении #477759 писал(а):

VladimirKalitvianski в сообщении #477158 писал(а):

Это еще ничего, это экспериментаторы подтверждают, но уравнение для частицы приобрело колебания в виде некой внешней силы! Например, внешняя сила $F_{ext}(t)$ кратковременно толкнула частицу и сгинула, осциллятор тронулся по (5) колебаться и затем остался с этими, свободными теперь колебаниями, а бедная частица должна им следовать! Для нее эти свободные колебания стали известной внешней вынуждающей силой и на все времена.

Тут описка видимо $r_r$ что это?
В (4а) законы сохранения есть, а в (4b) нет ? Но это ведь одни и те же уравнения... И что плохого в эксперименте, можно уточнить? По поводу ренормгруппы - пока вижу конечную ренормировку параметров, вполне известную и понятную вещь. Помнится такое в твердом теле частенько бывало.

Да, это маленькая описка ($\ddot{r}_{osc}$). Маленькая потому, что ниже я рассматриваю двухчастичную систему с несколько иными обозначениями и там этот $r_r$ есть в уравнении первой частицы на том же месте.

Закон "сохранения" есть и в (4a), и в (4b), с чего ты взял обратное?

Закон сохранения "энергии" с Лагранжианом взаимодействия (3) выглядит так: кинетическая энергия первой частицы плюс ее потенциальная энергия во внешнем поле (= полная энергия первой частицы $E_p$) плюс кинетическая энергия осциллятора плюс его потенциальная энергия (= полная энергия свободного осциллятора $E_{osc}$) плюс минус Лагранжиан взаимодействия (3) равно константе. Производная по времени от этого всего равна нулю. Казалось бы, что еще желать? Но этот закон не выглядит суммой полных энергий частицы и осциллятора $E_p+E_{osc} = const $. То есть, не получилось такого, что когда $E_p$ на сколько-то убывает, то $E_{osc}$ на столько же прибывает, как мы задумывали.

Это так потому, что $E_{osc}$ есть внутренняя энергия системы и ее "аддитивным партнером" является энергия центра масс, а не энергия первой частицы. Отсюда и перекрестный член. В электродинамике этого еще не понимают. Записанный через энергию центра масс, закон сохранения становится "понятнее".

Вопрос по эксперимену я не понял.

Перенормировка является конечной, если $\eta$ не бесконечна, а определяется конечным обрезанием, как и и в КЭД.

Я не помню истинных перенормировок в твердом теле; там есть вычисления. Например, если два тела связываются, то их массы никак не меняются, но появляется объект с суммарной массой. Это типичное вычисление и я хочу, чтобы в наших теориях остались только типичные вычисления, а не перенормировки типа 1+2=3 -> 1.

[zubik67]

VladimirKalitvianski в сообщении #477158 писал(а):

Почему перенормировки могут иногда работать и почему от этого только хуже

Ну и Хиггса, конечно, нет.

А что есть?

[ИгорЪ]

VladimirKalitvianski в сообщении #477771 писал(а):

Закон "сохранения" есть и в (4a), и в (4b), с чего ты взял обратное?

т.е. здесь

VladimirKalitvianski в сообщении #477158 писал(а):

И мы точно можем сказать, что наша попытка спасти законы сохранения провалилась: мы даже в отсутствии внешней силы получили уравнения, нарушающие былое согласие с экспериментальными данными.

имеется ввиду провал в эксперименте? В каком? Или "негодность" закона сохранения?

[VladimirKalitvianski]

zubik67 в сообщении #477775 писал(а):

VladimirKalitvianski в сообщении #477158 писал(а):

Почему перенормировки могут иногда работать и почему от этого только хуже

Ну и Хиггса, конечно, нет.

А что есть?

Если Вы не знаете, зачем нужен Хиггс в Стандартний модели, то узнайте. Он нужен, среди всего прочего, чтобы "дать" массы бесмассовым калибровочным частицам, которые решено все считать калибровочнымы, включая электроны. Это такой "механизм от Бога". Как будто феноменологические массы не были достаточно хороши. Хиггс это заплатка в весьма надуманной конструкции. Его не может быть в природе по одной этой причине. А что есть? Посмотрим на экспериментальные данные, поанализируем их беспристрастно, примем к сведению. Или Вы хотите, чтобы чей-то теоретический пердак объявился в природе?

-- 25.08.2011, 21:11 --

ИгорЪ в сообщении #477777 писал(а):

VladimirKalitvianski в сообщении #477771 писал(а):

Закон "сохранения" есть и в (4a), и в (4b), с чего ты взял обратное?

т.е. здесь

VladimirKalitvianski в сообщении #477158 писал(а):

И мы точно можем сказать, что наша попытка спасти законы сохранения провалилась: мы даже в отсутствии внешней силы получили уравнения, нарушающие былое согласие с экспериментальными данными.

имеется ввиду провал в эксперименте? В каком? Или "негодность" закона сохранения?

Игорь, но ведь собственная частота осциллятора в (4) изменилась по сравнению с (2)! Отключи внешнюю силу, у нас осциллятор стал не тот! Инерция тела (реакция на внешнюю силу) тоже изменилась! Разве это не провал "улучшения" или уточнения теоретического описания? Я же об этом прямо пишу - хотели добиться балланса энергии в рамках установленных экспериментально уравнениях частицы и осциллятора, а получили вообще не те динамические системы. И какой прок от формального закона сохранения, если он выполняется не для наших динамических систем? Это провал теоретической конструкции, провал перехода от (1)-(2) к (4) с помощью (3).

[ИгорЪ]

VladimirKalitvianski в сообщении #477780 писал(а):

Игорь, но ведь собственная частота осциллятора в (4) изменилась по сравнению с (2)! Отключи внешнюю силу, у нас осциллятор стал не тот! Инерция тела (реакция на внешнюю силу) тоже изменилась!

Это я вижу, но не понимаю в чем криминал то. Ведь 5 и 7 одно и тоже, только что в 5 плохой закон сохр., не понял пока почему, а в 7 хороший, благодаря некоей квазичастичной интерпретации. Но это один и тот же закон в разных переменных. Ладно, подумаю, спать пошел .

[VladimirKalitvianski]

Наверное, я плохо выражаюсь. Система (4) получилась хуже, чем система (2), в этом криминал.

Система (5) стала ближе к (2), а (7) вообще эквивалентна (5). Правильные, точные системы (5) и (7) эквивалентны и их законы сохранения одинаковы, только в (7) перекрестный член отсутствует, так как от смешанных переменных мы уходим.

[epros]

VladimirKalitvianski в сообщении #476774 писал(а):

Я все пытаюсь объяснить почему люди делают перенормировки констант в КТП

А Вы не слишком заморочились? По-моему, перенормировки в КТП возникают из-за точечности частиц: вылазят бесконечности, которых в природе вроде бы быть не должно. Поскольку от точечности частиц простым образом избавиться не удаётся, то простым образом (перенормировкой) избавляются от бесконечностей. Вот и всё.

[VladimirKalitvianski]

epros в сообщении #477902 писал(а):

VladimirKalitvianski в сообщении #476774 писал(а):

Я все пытаюсь объяснить почему люди делают перенормировки констант в КТП

А Вы не слишком заморочились? По-моему, перенормировки в КТП возникают из-за точечности частиц: вылазят бесконечности, которых в природе вроде бы быть не должно. Поскольку от точечности частиц простым образом избавиться не удаётся, то простым образом (перенормировкой) избавляются от бесконечностей. Вот и всё.

Нет, не слишком, и я знаю, что говорю. Посмотрите на мои формулы. Из-за точечности расходится $\eta$. А точнее, из-за самодействия частицы в точечой модели. Если же Вы выключите самодействие (положите $\eta=0$ или при помощи перенормировки массы частицы $M_p$), то все равно остается вмешательство в кинетический член осциллятора, меняющий как массу $M_{osc}$ (а, значит и частоту $\omega$), так и хорошую константу связи $\alpha$. Разумеется, эффект самодействия серьезно затмевает этот второй факт, потому то я и написал простенькую, но реалистичную модель, чтобы Вам было виднее.

Я этого в данном тексте не написал, а дал ссылку на доклад, где на одном из слайдов говорится, что достаточно сделать перенормировки масс частицы и осциллятора, как частота и константа связи встанут на свои места. Или перенормировку массы частицы и константы связи (как обычно и делают), тогда масса осциллятора и частота "восстановятся". В моем простеньком двухчастичном примере безразмерная "кoнстанта связи" выражается через отношение масс и не является независимой константой ("независимыми" являются массы и коэффициент жесткости пружины).