Помогите с парой задач из "Начало анализа"

[prowoke]

C Латексом я так и не разобрался, это ужас какой то, там чуть ли не полноценный ЯП. У меня столько времени нету, поэтому некоторые вещи могу неправильно написать, но я постараюсь.

Вот первая задача:

1. Для функции y=f(x) найдите $\Delta f$ при переходе от точки x к точке $x + \Delta x$, если:

a) $f(x) = ax^2$ У меня получается $a(2 \Delta xx+ \Delta x^2)$
а ответе $2ax \Delta x + \Delta x^2$

2. Тоже самое, вот пример:
$f(x) = \sqrt x$ Тут совсем такой ответ, что я понятия не имею как придти к нему.


Ещё задание.

Найти значение производной в точке $y = (3x - 2)^7, x_0 = 3$
Как искать производную в таком случае?


И последнее:
Закон движения некоторой точки по прямой задаётся формулой $s(t) = t^2 + 4t$, где t - время (в секундах), s(t) - отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите скорость и ускорение в момент времени t, если
a) t = 1c

Вот по идеи тут просто надо взять производную функции и подставить нужное мне t. Ан нет, не так.

Ещё у меня есть пару заданий, но там надо писать придел, под приделом дробь, в дроби тригонометрия. Так вот Не смог я нормально это в tex нарисовать, уж очень там всё запаренно. Просто на будущее мне бы хотелось научиться пользоваться им, подскажите, как побыстрее научиться такие вещи делать элементарные. Я вроде гуглил, но нахожу всё по кускам, начинаю комповать и получается ерунда. Просто много вопросов возникает по ходу самостоятельного изучения математики. Я на заочном учусь на программиста, поэтому только так, через форум.

[Someone]

(Оффтоп)

prowoke в сообщении #475162 писал(а):

C Латексом я так и не разобрался, это ужас какой то

Да ладно Вам, простенькие формулы за несколько минут можно научиться набирать. Почитайте http://dxdy.ru/topic8355.html, http://dxdy.ru/topic183.html и посмотрите http://dxdy.ru/topic45202.html. Подробное руководство: http://www.mccme.ru/free-books/llang/newllang.pdf.

prowoke в сообщении #475162 писал(а):

1. Для функции y=f(x) найдите $\Delta f$ при переходе от точки x к точке $x + \Delta x$, если:

a) $f(x) = ax^2$ У меня получается $a(2 \Delta xx+ \Delta x^2)$
а ответе $2ax \Delta x + \Delta x^2$

Ну, опечатка, видимо.
$\Delta f(x)=a(x+\Delta x)^2-ax^2=ax^2+2ax\Delta x+a\Delta x^2-ax^2=2ax\Delta x+a\Delta x^2$
($\Delta x$ - это один символ, поэтому $\Delta x^2$ всегда нужно понимать как $(\Delta x)^2$.)

prowoke в сообщении #475162 писал(а):

2. Тоже самое, вот пример:
$f(x) = \sqrt x$ Тут совсем такой ответ, что я понятия не имею как придти к нему.

Что у Вас получилось и какой там "такой" ответ?

prowoke в сообщении #475162 писал(а):

Найти значение производной в точке $y = (3x - 2)^7, x_0 = 3$
Как искать производную в таком случае?

По формуле производной сложной функции, разумеется. Скачайте себе таблицу производных и выучите её наизусть.

prowoke в сообщении #475162 писал(а):

Вот по идеи тут просто надо взять производную функции и подставить нужное мне t. Ан нет, не так.

Что именно там "не так"? У нас телепаты не водятся.

prowoke в сообщении #475162 писал(а):

Ещё у меня есть пару заданий, но там надо писать придел, под приделом дробь, в дроби тригонометрия. Так вот Не смог я нормально это в tex нарисовать, уж очень там всё запаренно.

Да пустяки. Предел - \lim\limits_{x\to a}, дробь - \frac{числитель}{знаменатель}, тригонометрические функции - \sin x, \cos x, \tg x (не забывайте фигурные скобки для группировки символов и пробелы после команд).

-- Сб авг 13, 2011 11:39:32 --

P.S. Да, а что это за "Начало анализа"?

[prowoke]

В $f(x) = \sqrt{x} $ ответ такой $\frac { \Delta x }{\sqrt { x + \Delta x } + \sqrt{x}}$. Но вроде нахождение
$\Delta y$ происходит так: $\Delta y = \sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}$. В чём ошибка? Обычное вроде приращение функции.

Далее
Закон движения некоторой точки по прямой задаётся формулой $s(t) = t^2 + 4t$ , где t - время (в секундах), s(t) - отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите скорость и ускорение в момент времени t, если
a) t = 1c
b) t = 2.1 c
Ответы там такие
a) 3 m/c, 2 $m/c^2$
b) 5.2 m/c 2 $m/c^2$

Моя логика:
После взятие производной от этой функции, мы получаем
$2t + 4$ Подставляем переменную из a) t = 1 c. Получаем $2 \cdot 1 + 4 = 6$
Т.е. в момент времени t=1 c скорость будет 6m/c, Далее берём 2 производную для нахождения ускорения и получаем $2m/c^2$
Но тут вроде всё верно. Я мб неправильно понял про производную или ещё что-то? Но вроде всё логично. Мгновенная скорость в момент времени t находится взятием производной функции, которая это движение описывает и потом подставляем время.


Далее:
Найти значение производной в точке $X_0$
$y = (4-5x)^7, x_0 = -2$ Решаю: $y = 7(4-5x)^6 \cdot (4-5x)' = 7(4-5x)^6 \cdot (-5) = 7 \cdot 14^6 \cdot (-5)$
В ответе 20. Значит что-то не так делаю. Там есть ещё аналогичное задание и там же я ошибку допускаю где-то. А вот это $y = (3x - 2)^7, x_0 = 3$ я решил.


И ещё пару вопросов:


$y=6x, x_0 = \frac {\pi}{24}$. Ну я нахожу производную от тангенса, она равна
$y' = \frac {1} {\cos6x} , Далее подставляю $ В ответе 12. Опять не то.

Ну и вот последнее.

$ \lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x - \sin x}{\cos 3x + \cos x} Моё решение: = \lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac {2 \cdot \sin \frac{3x - x}{2} \cdot \cos \frac{3x + x}{2} }{2 \cdot \cos \frac{3x + x}{2} \cdot \cos \frac{3x - x}{2} } = \tg \frac{\pi}{2} $

В ответе 0. Но т.к. тангес такой не имеет смысла, то видимо ответ неверен. Ух, Вроде всё, нигде ошибки не допустил.

[bot]

prowoke в сообщении #475305 писал(а):

В $f(x) = \sqrt{x} $ ответ такой $\frac { \Delta x }{\sqrt { x + \Delta x } + \sqrt{x}}$. Но вроде нахождение
$\Delta y$ происходит так: $\Delta y = \sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}$. В чём ошибка? Обычное вроде приращение функции.

Ошибки нет - есть тождество $\sqrt a - \sqrt b=\frac{a-b}{\sqrt a + \sqrt b}$

Цитата:

$s(t) = t^2 + 4t$

Опечатка в условии. Под данный ответ подходит $s(t) = t^2 + t$

Цитата:

$y = (4-5x)^7, x_0 = -2$

Ваши вычисления верные.

Цитата:

$y=6x, x_0 = \frac {\pi}{24}$. Ну я нахожу производную от тангенса

Какого тангенса? Нет его в условии.

Цитата:

$\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x - \sin x}{\cos 3x + \cos x}$

Здесь и преобразования не нужны - числитель стремится к -2, а знаменатель к нулю, следовательно предела не существует (символически в данном случае пишут $\lim=\infty$).

[prowoke]

Там такое должно было быть:
$y=\tg6x, x_0 = \frac {\pi}{24}$
И я сказал, что я нахожу производную от тангенса, которая равна
$ \frac {1} {\cos^2 6x}$
Правильно иду? А учебник: Мордкович 10-11 класс, там задачник и учебник.
Почему уже в который раз мои ответы, которые вы говорите, что они верны, не сходятся в ответе с задачником. Такое кол-во опечаток возможно?

[maxmatem]

prowoke
Вы неправильно нашли производную функции $y=\tg6x, x_0 = \frac {\pi}{24}$. Ведь здесь работает правило нахождение производной сложной функции.
Т.е. Если вам дано $y=f(g(x))$, то $y'=f'(g(x))g'(x)$.
В вашем случаи $f(x)=\tg x$ , а $g(x)=6x$.
Кстати ответ у Мордковича совершенно верный.