2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите с парой задач из "Начало анализа"
Сообщение13.08.2011, 05:04 


19/08/10
75
C Латексом я так и не разобрался, это ужас какой то, там чуть ли не полноценный ЯП. У меня столько времени нету, поэтому некоторые вещи могу неправильно написать, но я постараюсь.

Вот первая задача:

1. Для функции y=f(x) найдите $\Delta f$ при переходе от точки x к точке $x + \Delta x$, если:

a) $f(x) = ax^2$ У меня получается $a(2 \Delta xx+  \Delta x^2)$
а ответе $2ax \Delta x +  \Delta x^2$

2. Тоже самое, вот пример:
$f(x) = \sqrt x$ Тут совсем такой ответ, что я понятия не имею как придти к нему.


Ещё задание.

Найти значение производной в точке $y = (3x - 2)^7, x_0 = 3$
Как искать производную в таком случае?


И последнее:
Закон движения некоторой точки по прямой задаётся формулой $s(t) = t^2 + 4t$, где t - время (в секундах), s(t) - отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите скорость и ускорение в момент времени t, если
a) t = 1c

Вот по идеи тут просто надо взять производную функции и подставить нужное мне t. Ан нет, не так.

Ещё у меня есть пару заданий, но там надо писать придел, под приделом дробь, в дроби тригонометрия. Так вот Не смог я нормально это в tex нарисовать, уж очень там всё запаренно. Просто на будущее мне бы хотелось научиться пользоваться им, подскажите, как побыстрее научиться такие вещи делать элементарные. Я вроде гуглил, но нахожу всё по кускам, начинаю комповать и получается ерунда. Просто много вопросов возникает по ходу самостоятельного изучения математики. Я на заочном учусь на программиста, поэтому только так, через форум.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с парой задач из "Начало анализа"
Сообщение13.08.2011, 10:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва

(Оффтоп)

prowoke в сообщении #475162 писал(а):
C Латексом я так и не разобрался, это ужас какой то
Да ладно Вам, простенькие формулы за несколько минут можно научиться набирать. Почитайте http://dxdy.ru/topic8355.html, http://dxdy.ru/topic183.html и посмотрите http://dxdy.ru/topic45202.html. Подробное руководство: http://www.mccme.ru/free-books/llang/newllang.pdf.

prowoke в сообщении #475162 писал(а):
1. Для функции y=f(x) найдите $\Delta f$ при переходе от точки x к точке $x + \Delta x$, если:

a) $f(x) = ax^2$ У меня получается $a(2 \Delta xx+ \Delta x^2)$
а ответе $2ax \Delta x + \Delta x^2$
Ну, опечатка, видимо.
$\Delta f(x)=a(x+\Delta x)^2-ax^2=ax^2+2ax\Delta x+a\Delta x^2-ax^2=2ax\Delta x+a\Delta x^2$
($\Delta x$ - это один символ, поэтому $\Delta x^2$ всегда нужно понимать как $(\Delta x)^2$.)

prowoke в сообщении #475162 писал(а):
2. Тоже самое, вот пример:
$f(x) = \sqrt x$ Тут совсем такой ответ, что я понятия не имею как придти к нему.
Что у Вас получилось и какой там "такой" ответ?

prowoke в сообщении #475162 писал(а):
Найти значение производной в точке $y = (3x - 2)^7, x_0 = 3$
Как искать производную в таком случае?
По формуле производной сложной функции, разумеется. Скачайте себе таблицу производных и выучите её наизусть.

prowoke в сообщении #475162 писал(а):
Вот по идеи тут просто надо взять производную функции и подставить нужное мне t. Ан нет, не так.
Что именно там "не так"? У нас телепаты не водятся.

prowoke в сообщении #475162 писал(а):
Ещё у меня есть пару заданий, но там надо писать придел, под приделом дробь, в дроби тригонометрия. Так вот Не смог я нормально это в tex нарисовать, уж очень там всё запаренно.
Да пустяки. Предел - \lim\limits_{x\to a}, дробь - \frac{числитель}{знаменатель}, тригонометрические функции - \sin x, \cos x, \tg x (не забывайте фигурные скобки для группировки символов и пробелы после команд).

-- Сб авг 13, 2011 11:39:32 --

P.S. Да, а что это за "Начало анализа"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с парой задач из "Начало анализа"
Сообщение14.08.2011, 08:13 


19/08/10
75
В $f(x) = \sqrt{x} $ ответ такой $\frac { \Delta x }{\sqrt { x + \Delta x } + \sqrt{x}}$. Но вроде нахождение
$\Delta y$ происходит так: $\Delta y = \sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}$. В чём ошибка? Обычное вроде приращение функции.

Далее
Закон движения некоторой точки по прямой задаётся формулой $s(t) = t^2 + 4t$ , где t - время (в секундах), s(t) - отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите скорость и ускорение в момент времени t, если
a) t = 1c
b) t = 2.1 c
Ответы там такие
a) 3 m/c, 2 $m/c^2$
b) 5.2 m/c 2 $m/c^2$

Моя логика:
После взятие производной от этой функции, мы получаем
$2t + 4$ Подставляем переменную из a) t = 1 c. Получаем $2 \cdot 1 + 4 = 6$
Т.е. в момент времени t=1 c скорость будет 6m/c, Далее берём 2 производную для нахождения ускорения и получаем $2m/c^2$
Но тут вроде всё верно. Я мб неправильно понял про производную или ещё что-то? Но вроде всё логично. Мгновенная скорость в момент времени t находится взятием производной функции, которая это движение описывает и потом подставляем время.


Далее:
Найти значение производной в точке $X_0$
$y = (4-5x)^7, x_0 = -2$  Решаю: $y = 7(4-5x)^6 \cdot (4-5x)' = 7(4-5x)^6 \cdot (-5) = 7 \cdot 14^6 \cdot (-5)$
В ответе 20. Значит что-то не так делаю. Там есть ещё аналогичное задание и там же я ошибку допускаю где-то. А вот это $y = (3x - 2)^7, x_0 = 3$ я решил.


И ещё пару вопросов:


$y=6x, x_0 = \frac {\pi}{24}$. Ну я нахожу производную от тангенса, она равна
$y' = \frac {1} {\cos6x} , Далее подставляю $ В ответе 12. Опять не то.

Ну и вот последнее.

$
\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x - \sin x}{\cos 3x + \cos x}
Моё решение:

=  \lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}} 
\frac {2 \cdot \sin \frac{3x - x}{2} \cdot \cos \frac{3x + x}{2} }{2 \cdot \cos \frac{3x + x}{2} \cdot \cos \frac{3x - x}{2} }

= \tg \frac{\pi}{2}

$

В ответе 0. Но т.к. тангес такой не имеет смысла, то видимо ответ неверен. Ух, Вроде всё, нигде ошибки не допустил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с парой задач из "Начало анализа"
Сообщение14.08.2011, 10:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
prowoke в сообщении #475305 писал(а):
В $f(x) = \sqrt{x} $ ответ такой $\frac { \Delta x }{\sqrt { x + \Delta x } + \sqrt{x}}$. Но вроде нахождение
$\Delta y$ происходит так: $\Delta y = \sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}$. В чём ошибка? Обычное вроде приращение функции.

Ошибки нет - есть тождество $\sqrt a - \sqrt b=\frac{a-b}{\sqrt a + \sqrt b}$
Цитата:
$s(t) = t^2 + 4t$

Опечатка в условии. Под данный ответ подходит $s(t) = t^2 + t$

Цитата:
$y = (4-5x)^7, x_0 = -2$
Ваши вычисления верные.

Цитата:
$y=6x, x_0 = \frac {\pi}{24}$. Ну я нахожу производную от тангенса

Какого тангенса? Нет его в условии.

Цитата:
$\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x - \sin x}{\cos 3x + \cos x}$

Здесь и преобразования не нужны - числитель стремится к -2, а знаменатель к нулю, следовательно предела не существует (символически в данном случае пишут $\lim=\infty$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с парой задач из "Начало анализа"
Сообщение14.08.2011, 23:47 


19/08/10
75
Там такое должно было быть:
$y=\tg6x, x_0 = \frac {\pi}{24}$
И я сказал, что я нахожу производную от тангенса, которая равна
$
\frac {1} {\cos^2 6x}$
Правильно иду? А учебник: Мордкович 10-11 класс, там задачник и учебник.
Почему уже в который раз мои ответы, которые вы говорите, что они верны, не сходятся в ответе с задачником. Такое кол-во опечаток возможно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с парой задач из "Начало анализа"
Сообщение15.08.2011, 00:50 
Аватара пользователя


15/08/09
1465
МГУ
prowoke
Вы неправильно нашли производную функции $y=\tg6x, x_0 = \frac {\pi}{24}$. Ведь здесь работает правило нахождение производной сложной функции.
Т.е. Если вам дано $y=f(g(x))$, то $y'=f'(g(x))g'(x)$.
В вашем случаи $f(x)=\tg x$ , а $g(x)=6x$.
Кстати ответ у Мордковича совершенно верный.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group