Второй ребёнок в теории вероятностей.

[Лукомор]

Mihajlo в сообщении #473463 писал(а):

Если у задачи есть два варианта решения с разными результатами, а результат верным должен быть только один, то очевидно, что, как минимум, один вариант решения является ошибочным. Как это доказать?

(Оффтоп)

Как изысканно Вы издеваетесь! Снимаю шляпу!

Все Ваши ошибки уже указаны многократно!
Повторюсь ещё раз.
Ваша первая ошибка в том, что Вы решаете совсем другую задачу.
В исходной задаче не требуется найти вероятность того, что у любого мальчика есть брат, каковая вероятность равна 1/2 (или брат, или сестра, равновероятно). Вы же пока именно эту задачу и решаете...
В исходной же задаче требуется найти вероятность того, что "У Сидоровых (родителей) два ребёнка - мальчика", каковая вероятность равна 1/3.
Выше я привёл два равноправильных способа решения задачи:
1.По количеству вариантов семей
(всего три варианта, из них один "двухмальчиковый", все варианты -равновероятны);
2. По головам детей (всего шесть детей, из них два мальчика имеют брата, все шесть вариантов - равновероятны).
Оба правильных решения дают, естественно, единственно-правильный ответ:$P=\frac13$.
Вы же попадаете впросак между первым и вторым способом, что не есть хорошо...
Итак...
Если сравнивать Ваше решение с первым правильным способом, то Ваша следующая ошибка заключается в том, что вы две семьи, в которых есть мальчик и девочка считаете по одному разу, и это правильно, а семью Сидоровых, одну между прочим семью, считаете два раза - в этой семье у двух мальчиков, по- вашему, есть братья - у старшего брата Сидорова есть младший брат, это как бы один вариант, да кроме того, у младшего брата Сидорова есть ещё старший брат, это второй вариант. И это не правильно!
Две семьи у папы Сидорова получилось - два варианта. Одна семья это старший сын и его брат, всего двое детей.
Другая семья - младший сын и его брат, это ещё двое других детей. Поэтому в вашем решении фигурируют четыре семьи (3+1 лишняя), из которых две - "двухмальчиковых" (1+1 лишняя).
Соответственно, вместо $P=\frac13$ получаете $P=\frac{1+1}{3+1}=\frac24=\frac12$.
Тут всё понятно...
Теперь сравним Ваше решение со вторым правильным способом (по головам).
Здесь Вы совершенно правильно считаете, что два мальчика имеют братьев - это два варианта.
В этом способе так будет правильно.
Два мальчика имеют сестёр - это ещё два варианта, это тоже правильно.
Но вы не учитываете здесь ещё двух братьев, именно тех, которые есть у двух девочек, и это не правильно.
В этом Ваша ещё одна ошибка.
Вы косвенно полагаете, что если в семье есть хотя бы одна девочка, то у неё уже не может быть брата, а только сестра.
Однако, при этом способе решения обязательно нужно смотреть с позиции каждого из шести детей.
То есть у одной девочки есть старший брат, это пятый вариант.
И ещё у одной девочки есть младший брат, это шестой вариант.
Таким образом, при втором способе подсчёта вероятность должна быть равна $P=\frac26=\frac13$,
Вы же потеряли пятый и шестой вариант и получили $P=\frac2{6-2}=\frac24=\frac12$.

(Оффтоп)

Да, и я уже не знаю, что делать дальше, если до Вас опять не дойдёт.
Может быть сделать просто: показать правильное решение Вашему ученику, а?
Он поймёт, и Вам объяснит...

-- Чт авг 04, 2011 20:46:42 --

Lukin в сообщении #473486 писал(а):

Если у задачи два варианта решения и оба правильные, значит условия сформулированы не категорично, не полно, позволяют несколько интерпретаций, моделей, а значит нет и ошибочного решения (параллельные пересекаются ?).

Если у задачи два варианта решения и оба правильные, значит они обязаны привести нас к одинаковому ответу.
Если они приводят к разным ответам, значит один из них - неправильный ( или оба )!
Если же задача сформулирована не категорично, неполно, то любое решение будет ошибочным, а любая модель будет только иллюстрировать эту ошибку.

[Lukin]

Mihajlo в сообщении #473528 писал(а):

Повторю условие задачи, которое сформулировано категорично и полно:
У Сидорова двое детей. Точно известно, что один из них мальчик. Какова вероятность, что у Сидорова оба мальчики?
Ответ правильный 1/3. Его экспериментально на аналоге задачи о монетах проверил один из форумчан. Следовательно, в моём варианте решения (=1/2) допущена ошибка. Её, родимую, и нужно найти.

Эксперимент "с монетами" я тоже провел програмно, процедурные тонкости мы обсудили 4 страницы назад. Как правильно сказал Лукомор дело в вопросе, а не в бросании монетки. Он же Вам последние страниц 6 пересказывает одно и тоже разными словами. В предыдущем посте я попытался указать в чем проблема:

Mihajlo в сообщении #473528 писал(а):

Lukin в сообщении #473486 писал(а):

А вообще, интересно было бы как-то "формализовать". Например, $m$ -предикат "быть мальчиком", $a,\neg a$ - объектные переменные, $P(x)$ - вероятность события $x$.
$ ((P(m(a) \land m(\neg a)) < (P(m(a) \land \neg m(\neg a))) \to m(a)$ (случай $\frac{1}{3}$)

Вы что, действительно хотите, чтобы я эту ахинею рассказал своему ученику?

Если Вы сами не понимаете эту ахинею, то зачем же еще ученику пересказывать. Игнорируйте непонятное, у Вас это хорошо получается.

Лукомор в сообщении #473534 писал(а):

Если у задачи два варианта решения и оба правильные, значит они обязаны привести нас к одинаковому ответу. Если они приводят к разным ответам, значит один из них - неправильный ( или оба )! Если же задача сформулирована не категорично, неполно, то любое решение будет ошибочным, а любая модель будет только иллюстрировать эту ошибку.

Ох.. Если условия не категоричны, то существуют несовместимые модели, каждая из которых внутренне непротиворечива. О какой ошибке можно говорить внутри модели ? Если считаете, что единственно верное непротиворечивое и полное вероятностное пространство при данных условиях это $\{MD,DM,MM\}$, то попробуйте доказать.
Только не на уровне "у Васи брат Петя".
Не хотите меня слушать, прислушайтесь к заслуженным участникам

gris в сообщении #472759 писал(а):

А я всё о своём: вы получили письмо от одноклассницы: "А у меня двое детей. Ксюша уже в десятый перешла". Если вы до сих пор ничего не слышали о семейной жизни упомянутой однокласницы, то можете ли оценить вероятность того, что у Ксюши есть братик?

[Лукомор]

Lukin в сообщении #473564 писал(а):

Не хотите меня слушать, прислушайтесь к заслуженным участникам
gris в сообщении #472759 писал(а):
А я всё о своём: вы получили письмо от одноклассницы: "А у меня двое детей. Ксюша уже в десятый перешла". Если вы до сих пор ничего не слышали о семейной жизни упомянутой однокласницы, то можете ли оценить вероятность того, что у Ксюши есть братик?

Вероятностное пространство в этом случае содержит всего лишь два равновероятных исхода: $\{M, D\}$
т.к. в этой задаче нас интересует только пол одного ребёнка из двух - это "брат/сестра Ксюши".
И это совсем другая задача... Вот именно эту задачу и решает Mihajlo.
Только он решает её дважды: Первый раз: Ксюша - старшая дочка. Вопрос в этом случае - каков пол младшего ребёнка? Вероятностное пространство здесь: $\{M, D\}$, или $\{KM, KD\}$, где К=Ксюша.
Ответ: $P_1=\frac12$
Второй раз: Ксюша младшая дочка. Вопрос в этом случае: каков пол старшего ребёнка?
Вероятностное пространство здесь: $\{M, D\}$, или $\{MK, DK\}$, что то же самое.
Ответ: $P_2=\frac12$
А вот потом он, вдруг, зачем-то результаты этих двух расчётов складывает, делит пополам и считает, что решил совершенно другую задачу. Ту самую, в которой вероятностное пространство $\{MM, MD, DM\}$.
Но, если бы он хотел решить эту задачу правильно, то полученные две половинки он сложил бы так, как это принято в теории вероятностей: $P(MX)=P_1+P_2-P_1\cdot P_2=\frac12+\frac12-\frac{1\cdot 1}{2\cdot 2}=\frac34$. И это получилась бы как раз вероятность того, что "в семье из двух детей хотя бы один мальчик".
Потом он эти две половинки перемножил бы, и получил вероятность того, что в семье оба - мальчики.
$P(MM)=P_1\cdot P_2=\frac{1\cdot 1}{2\cdot 2}=\frac14$.
И после этого, поделив $P(MM)$ на $P(MX)$, получил бы "вероятность того, что в семье два мальчика, при условии, что хотя бы один ребёнок - мальчик". И эта вероятность получилась бы, как и положено , равной $P=\frac13$.
И не нужно было бы девяти страниц обсуждений тривиальной, в общем-то, хрестоматийной задачки.
Может и Вы тогда не стали бы нам рассказывать про "нечёткость постановки задачи о подбрасывании правильной монеты".

[PAV]

Лукомор в сообщении #473599 писал(а):

Вероятностное пространство в этом случае содержит всего лишь два равновероятных исхода: $\{M, D\}$
т.к. в этой задаче нас интересует только пол одного ребёнка из двух - это "брат/сестра Ксюши".

И все-таки я полагаю, что в такой постановке ответ должен быть 2/3. Потому что здесь речь идет не о брате у случайно выбранной девочки, а все-таки о семье одноклассницы, про которую нам известно, что детей двое и один ребенок - девочка.

[gris]

К сожалению, я сейчас редкими наездами в инете и не могу в должной мере отслеживать ход обсуждений. Но меня тема очень интересует. Хотя я остаюсь при своём мнении (= мнению Лукомора=мнению PAV, кстати. Это я там специально мальчика на девочку поменял ), меня больше интересует методическая сторона дела.
Да, задача вроде бы хрестоматийная и простая, но стоит немного пошевелить условия, как возникают споры. Причём трудно бывает объяснить свою позицию даже людям, в математике достаточно разбирающимся. Я, конечно, не позиционирую себя, как специалиста по ТВ, но имею к этому стремление . Мне хотелось бы увидеть (придумать) такое объяснение, которое было бы верно и убедительно.
Конкретно для задачи досточтимого Mihajlo: хотелось бы построить несколько "шевелений" условия, при которых неочевидность их эквивалентности первоначальной задаче возрастает.

[Лукомор]

PAV в сообщении #473603 писал(а):

И все-таки я полагаю, что в такой постановке ответ должен быть 2/3. Потому что здесь речь идет не о брате у случайно выбранной девочки, а все-таки о семье одноклассницы, про которую нам известно, что детей двое и один ребенок - девочка.

И всё-таки нужно различать о ком мы ведём речь: об однокласснице у которой двое детей из них одна девочка или об этой девочке, у которой есть братик или сестричка.
Пока мы говорим об однокласснице - у неё действительно с вероятностью 1/3 будет две девочки, и с вероятностью 2/3 - девочка и мальчик.
Если же мы говорим о девочке Ксюше, то у неё с вероятностью 1/2 будет братик и с вероятностью 1/2 - сестричка.

[Лукомор]

Лукомор в сообщении #473608 писал(а):

Если же мы говорим о девочке Ксюше, то у неё с вероятностью 1/2 будет братик и с вероятностью 1/2 - сестричка.

Чтобы сделать это утверждение ещё более наглядным, переформулируем задачу от gris следующим образом:
"У одноклассницы двое детей Ксюша и Женя.
Какова вероятность, что Женя - девочка, а не мальчик?!"
Тут уже без вариантов, вероятность равна $P=\frac12$

[Александрович]

(Оффтоп)

Уважаемые господа-математики! Вам не надоело мусолить элементарную задачу?

[Лукомор]

(Оффтоп)

Александрович в сообщении #473638 писал(а):

Уважаемые господа-математики! Вам не надоело мусолить элементарную задачу?

Честно говоря, забавно!
Я поиском пробежался по данной теме в интернете, оказывается эта задачка всплывает и мусолится на разных околоматематических форумах периодически, с интервалом примерно в три года.
Навскидку, нашёл обсуждения 2002, конца 2004, 2008 и 2011 года...
И каждый раз возникают многостраничные споры...
"Может, что-то в консерватории подправить?!" (с) Жванецкий.

[Александрович]

Лукомор в сообщении #473651 писал(а):

И каждый раз возникают многостраничные споры...

Но, не всегда!
http://forum.teorver.ru/viewtopic.php?t ... sc&start=0

[PAV]

Лукомор в сообщении #473637 писал(а):

Чтобы сделать это утверждение ещё более наглядным, переформулируем задачу от gris следующим образом:
"У одноклассницы двое детей Ксюша и Женя.
Какова вероятность, что Женя - девочка, а не мальчик?!"
Тут уже без вариантов, вероятность равна $P=\frac12$

Ну откуда же здесь $\frac12$ ?! Начнем: "У одноклассницы двое детей". Четыре элементарных исхода: ММ, МД, ДМ, ДД. Равновероятные.

Дополнительная информация: "Их зовут Ксюша и Женя". Для данной задачи это равносильно тому, что один ребенок - девочка. Остается три исхода. И вероятность оказывается $\frac13$.

[gris]

С задачей в первоначальой постановке всё ясно.
Неясности возникают тогда, когда вместо слов "один из детей мальчик" употребляются такие слова:
"одного из детей зовут Сергей"
"Миша вчера ходил в кино"
"мама приходила в магазин с белобрысым мальчиком, своим сыном"
то есть неявным указанием на то, что в семье по крайней мере один из детей — мальчик.

И вот тут вероятность того, что второй тоже мальчик меняется с $\dfrac13$ на $\dfrac12$, чему приводятся объяснения.

Хотелось бы для вероятности $\dfrac13$ получить хотя бы ещё одну формулировку условия.
Получается, что если мы хоть как-то идентифицируем мальчика — старшинством ли, цветом волос, именем и т.п., то вероятность для второго быть мальчиком становится $\dfrac12$.
Хотя порядок рождения однозначно разделяет детей, а вот цвет волос нет.

Вот ещё формулировка: "в семье двое детей. Среди них есть голубоглазый школьник с отвратительным характером, который вчера ходил в кино. Какова вероятность, что второй ребёнок мальчик?"

[PAV]

gris в сообщении #473667 писал(а):

Неясности возникают тогда, когда вместо слов "один из детей мальчик" употребляются такие слова:
"одного из детей зовут Сергей"
"Миша вчера ходил в кино"
"мама приходила в магазин с белобрысым мальчиком, своим сыном"
то есть неявным указанием на то, что в семье по крайней мере один из детей — мальчик.

И вот тут вероятность того, что второй тоже мальчик меняется с $\dfrac13$ на $\dfrac12$, чему приводятся объяснения.

Нет, в этом случае вероятность не меняется, коль скоро вопрос по-прежнему относится к семье. Было объяснено, что если мы задаем вопрос относительно случайно взятого ребенка из семьи с двумя детьми, то тогда вероятность равна $\frac12$.

-- Пт авг 05, 2011 17:14:34 --

А для семьи вероятность станет равной $\frac12$ только если мы укажем пол+старшинство одного из детей, то есть точно идентифицируем, идет ли речь о старшем или младшем ребенке. А если старшинство не указано, а указан только пол (любым способом), то ответ тот же, потому что тогда для случая разнополых детей у нас была только одна возможность выбрать ребенка, пол которого мы указали, а для однополых - две возможности, и это компенсировало разность в количестве семей.

[gris]

PAV, то есть если некий мальчик говорит по телевизору: "Нас у мамы двое", то вероятность второго братика будет $\dfrac12$? Ведь мы не получили информации о его старшинстве? К сожалению, я не понял, что означают Ваши слова "то ответ тот же"
То ли $\dfrac12$, то ли $\dfrac13$

[PAV]

gris в сообщении #473683 писал(а):

PAV, то есть если некий мальчик говорит по телевизору: "Нас у мамы двое", то вероятность второго братика будет $\dfrac12$? Ведь мы не получили информации о его старшинстве?

Да, $\frac12$, потому что здесь в качестве объекта генеральной совокупности выступает ребенок, а не семья.

-- Пт авг 05, 2011 18:44:58 --

PAV в сообщении #473670 писал(а):

А если старшинство не указано, а указан только пол (любым способом), то ответ тот же

"тот же" = $\frac13$