2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12  След.
 
 Re: Второй ребёнок в теории вероятностей.
Сообщение04.08.2011, 21:34 
Аватара пользователя
Mihajlo в сообщении #473463 писал(а):
Если у задачи есть два варианта решения с разными результатами, а результат верным должен быть только один, то очевидно, что, как минимум, один вариант решения является ошибочным. Как это доказать?

(Оффтоп)

Как изысканно Вы издеваетесь! :roll: Снимаю шляпу! :lol:

Все Ваши ошибки уже указаны многократно!
Повторюсь ещё раз.
Ваша первая ошибка в том, что Вы решаете совсем другую задачу.
В исходной задаче не требуется найти вероятность того, что у любого мальчика есть брат, каковая вероятность равна 1/2 (или брат, или сестра, равновероятно). Вы же пока именно эту задачу и решаете...
В исходной же задаче требуется найти вероятность того, что "У Сидоровых (родителей) два ребёнка - мальчика", каковая вероятность равна 1/3.
Выше я привёл два равноправильных способа решения задачи:
1.По количеству вариантов семей
(всего три варианта, из них один "двухмальчиковый", все варианты -равновероятны);
2. По головам детей (всего шесть детей, из них два мальчика имеют брата, все шесть вариантов - равновероятны).
Оба правильных решения дают, естественно, единственно-правильный ответ:$P=\frac13$.
Вы же попадаете впросак между первым и вторым способом, что не есть хорошо...
Итак...
Если сравнивать Ваше решение с первым правильным способом, то Ваша следующая ошибка заключается в том, что вы две семьи, в которых есть мальчик и девочка считаете по одному разу, и это правильно, а семью Сидоровых, одну между прочим семью, считаете два раза - в этой семье у двух мальчиков, по- вашему, есть братья - у старшего брата Сидорова есть младший брат, это как бы один вариант, да кроме того, у младшего брата Сидорова есть ещё старший брат, это второй вариант. И это не правильно!
Две семьи у папы Сидорова получилось - два варианта. Одна семья это старший сын и его брат, всего двое детей.
Другая семья - младший сын и его брат, это ещё двое других детей. Поэтому в вашем решении фигурируют четыре семьи (3+1 лишняя), из которых две - "двухмальчиковых" (1+1 лишняя).
Соответственно, вместо $P=\frac13$ получаете $P=\frac{1+1}{3+1}=\frac24=\frac12$.
Тут всё понятно...
Теперь сравним Ваше решение со вторым правильным способом (по головам).
Здесь Вы совершенно правильно считаете, что два мальчика имеют братьев - это два варианта.
В этом способе так будет правильно.
Два мальчика имеют сестёр - это ещё два варианта, это тоже правильно.
Но вы не учитываете здесь ещё двух братьев, именно тех, которые есть у двух девочек, и это не правильно.
В этом Ваша ещё одна ошибка.
Вы косвенно полагаете, что если в семье есть хотя бы одна девочка, то у неё уже не может быть брата, а только сестра.
Однако, при этом способе решения обязательно нужно смотреть с позиции каждого из шести детей.
То есть у одной девочки есть старший брат, это пятый вариант.
И ещё у одной девочки есть младший брат, это шестой вариант.
Таким образом, при втором способе подсчёта вероятность должна быть равна $P=\frac26=\frac13$,
Вы же потеряли пятый и шестой вариант и получили $P=\frac2{6-2}=\frac24=\frac12$.

(Оффтоп)

Да, и я уже не знаю, что делать дальше, если до Вас опять не дойдёт.
Может быть сделать просто: показать правильное решение Вашему ученику, а?
Он поймёт, и Вам объяснит... :P


-- Чт авг 04, 2011 20:46:42 --

Lukin в сообщении #473486 писал(а):
Если у задачи два варианта решения и оба правильные, значит условия сформулированы не категорично, не полно, позволяют несколько интерпретаций, моделей, а значит нет и ошибочного решения (параллельные пересекаются ?).


Если у задачи два варианта решения и оба правильные, значит они обязаны привести нас к одинаковому ответу.
Если они приводят к разным ответам, значит один из них - неправильный ( или оба :-) )!
Если же задача сформулирована не категорично, неполно, то любое решение будет ошибочным, а любая модель будет только иллюстрировать эту ошибку.

 
 
 
 Re: Второй ребёнок в теории вероятностей.
Сообщение04.08.2011, 23:28 
Mihajlo в сообщении #473528 писал(а):
Повторю условие задачи, которое сформулировано категорично и полно:
У Сидорова двое детей. Точно известно, что один из них мальчик. Какова вероятность, что у Сидорова оба мальчики?
Ответ правильный 1/3. Его экспериментально на аналоге задачи о монетах проверил один из форумчан. Следовательно, в моём варианте решения (=1/2) допущена ошибка. Её, родимую, и нужно найти.

Эксперимент "с монетами" я тоже провел програмно, процедурные тонкости мы обсудили 4 страницы назад. Как правильно сказал Лукомор дело в вопросе, а не в бросании монетки. Он же Вам последние страниц 6 пересказывает одно и тоже разными словами. В предыдущем посте я попытался указать в чем проблема:
Mihajlo в сообщении #473528 писал(а):
Lukin в сообщении #473486 писал(а):
А вообще, интересно было бы как-то "формализовать". Например, $m$ -предикат "быть мальчиком", $a,\neg a$ - объектные переменные, $P(x)$ - вероятность события $x$.
$ ((P(m(a) \land m(\neg a)) < (P(m(a) \land \neg m(\neg a))) \to m(a)$ (случай $\frac{1}{3}$)

Вы что, действительно хотите, чтобы я эту ахинею рассказал своему ученику?

Если Вы сами не понимаете эту ахинею, то зачем же еще ученику пересказывать. Игнорируйте непонятное, у Вас это хорошо получается.
Лукомор в сообщении #473534 писал(а):
Если у задачи два варианта решения и оба правильные, значит они обязаны привести нас к одинаковому ответу. Если они приводят к разным ответам, значит один из них - неправильный ( или оба )! Если же задача сформулирована не категорично, неполно, то любое решение будет ошибочным, а любая модель будет только иллюстрировать эту ошибку.

Ох.. Если условия не категоричны, то существуют несовместимые модели, каждая из которых внутренне непротиворечива. О какой ошибке можно говорить внутри модели ? Если считаете, что единственно верное непротиворечивое и полное вероятностное пространство при данных условиях это $\{MD,DM,MM\}$, то попробуйте доказать.
Только не на уровне "у Васи брат Петя".
Не хотите меня слушать, прислушайтесь к заслуженным участникам
gris в сообщении #472759 писал(а):
А я всё о своём: вы получили письмо от одноклассницы: "А у меня двое детей. Ксюша уже в десятый перешла". Если вы до сих пор ничего не слышали о семейной жизни упомянутой однокласницы, то можете ли оценить вероятность того, что у Ксюши есть братик?

 
 
 
 Re: Второй ребёнок в теории вероятностей.
Сообщение05.08.2011, 09:31 
Аватара пользователя
Lukin в сообщении #473564 писал(а):
Не хотите меня слушать, прислушайтесь к заслуженным участникам
gris в сообщении #472759 писал(а):
А я всё о своём: вы получили письмо от одноклассницы: "А у меня двое детей. Ксюша уже в десятый перешла". Если вы до сих пор ничего не слышали о семейной жизни упомянутой однокласницы, то можете ли оценить вероятность того, что у Ксюши есть братик?

Вероятностное пространство в этом случае содержит всего лишь два равновероятных исхода: $\{M, D\}$
т.к. в этой задаче нас интересует только пол одного ребёнка из двух - это "брат/сестра Ксюши".
И это совсем другая задача... Вот именно эту задачу и решает Mihajlo.
Только он решает её дважды: Первый раз: Ксюша - старшая дочка. Вопрос в этом случае - каков пол младшего ребёнка? Вероятностное пространство здесь: $\{M, D\}$, или $\{KM, KD\}$, где К=Ксюша.
Ответ: $P_1=\frac12$
Второй раз: Ксюша младшая дочка. Вопрос в этом случае: каков пол старшего ребёнка?
Вероятностное пространство здесь: $\{M, D\}$, или $\{MK, DK\}$, что то же самое.
Ответ: $P_2=\frac12$
А вот потом он, вдруг, зачем-то результаты этих двух расчётов складывает, делит пополам и считает, что решил совершенно другую задачу. Ту самую, в которой вероятностное пространство $\{MM, MD, DM\}$.
Но, если бы он хотел решить эту задачу правильно, то полученные две половинки он сложил бы так, как это принято в теории вероятностей: $P(MX)=P_1+P_2-P_1\cdot P_2=\frac12+\frac12-\frac{1\cdot  1}{2\cdot 2}=\frac34$. И это получилась бы как раз вероятность того, что "в семье из двух детей хотя бы один мальчик".
Потом он эти две половинки перемножил бы, и получил вероятность того, что в семье оба - мальчики.
$P(MM)=P_1\cdot P_2=\frac{1\cdot 1}{2\cdot 2}=\frac14$.
И после этого, поделив $P(MM)$ на $P(MX)$, получил бы "вероятность того, что в семье два мальчика, при условии, что хотя бы один ребёнок - мальчик". И эта вероятность получилась бы, как и положено , равной $P=\frac13$.
И не нужно было бы девяти страниц обсуждений тривиальной, в общем-то, хрестоматийной задачки.
Может и Вы тогда не стали бы нам рассказывать про "нечёткость постановки задачи о подбрасывании правильной монеты".

 
 
 
 Re: Второй ребёнок в теории вероятностей.
Сообщение05.08.2011, 09:54 
Аватара пользователя
Лукомор в сообщении #473599 писал(а):
Вероятностное пространство в этом случае содержит всего лишь два равновероятных исхода: $\{M, D\}$
т.к. в этой задаче нас интересует только пол одного ребёнка из двух - это "брат/сестра Ксюши".


И все-таки я полагаю, что в такой постановке ответ должен быть 2/3. Потому что здесь речь идет не о брате у случайно выбранной девочки, а все-таки о семье одноклассницы, про которую нам известно, что детей двое и один ребенок - девочка.

 
 
 
 Re: Второй ребёнок в теории вероятностей.
Сообщение05.08.2011, 10:01 
Аватара пользователя
К сожалению, я сейчас редкими наездами в инете и не могу в должной мере отслеживать ход обсуждений. Но меня тема очень интересует. Хотя я остаюсь при своём мнении (= мнению Лукомора=мнению PAV, кстати. Это я там специально мальчика на девочку поменял :oops: ), меня больше интересует методическая сторона дела.
Да, задача вроде бы хрестоматийная и простая, но стоит немного пошевелить условия, как возникают споры. Причём трудно бывает объяснить свою позицию даже людям, в математике достаточно разбирающимся. Я, конечно, не позиционирую себя, как специалиста по ТВ, но имею к этому стремление :-) . Мне хотелось бы увидеть (придумать) такое объяснение, которое было бы верно и убедительно.
Конкретно для задачи досточтимого Mihajlo: хотелось бы построить несколько "шевелений" условия, при которых неочевидность их эквивалентности первоначальной задаче возрастает.

 
 
 
 Re: Второй ребёнок в теории вероятностей.
Сообщение05.08.2011, 10:57 
Аватара пользователя
PAV в сообщении #473603 писал(а):
И все-таки я полагаю, что в такой постановке ответ должен быть 2/3. Потому что здесь речь идет не о брате у случайно выбранной девочки, а все-таки о семье одноклассницы, про которую нам известно, что детей двое и один ребенок - девочка.

И всё-таки нужно различать о ком мы ведём речь: об однокласснице у которой двое детей из них одна девочка или об этой девочке, у которой есть братик или сестричка.
Пока мы говорим об однокласснице - у неё действительно с вероятностью 1/3 будет две девочки, и с вероятностью 2/3 - девочка и мальчик.
Если же мы говорим о девочке Ксюше, то у неё с вероятностью 1/2 будет братик и с вероятностью 1/2 - сестричка.

 
 
 
 Re: Второй ребёнок в теории вероятностей.
Сообщение05.08.2011, 13:13 
Аватара пользователя
Лукомор в сообщении #473608 писал(а):
Если же мы говорим о девочке Ксюше, то у неё с вероятностью 1/2 будет братик и с вероятностью 1/2 - сестричка.

Чтобы сделать это утверждение ещё более наглядным, переформулируем задачу от gris следующим образом:
"У одноклассницы двое детей Ксюша и Женя.
Какова вероятность, что Женя - девочка, а не мальчик?!"

Тут уже без вариантов, вероятность равна $P=\frac12$

 
 
 
 Re: Второй ребёнок в теории вероятностей.
Сообщение05.08.2011, 13:18 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Уважаемые господа-математики! Вам не надоело мусолить элементарную задачу?

 
 
 
 Re: Второй ребёнок в теории вероятностей.
Сообщение05.08.2011, 15:02 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Александрович в сообщении #473638 писал(а):
Уважаемые господа-математики! Вам не надоело мусолить элементарную задачу?

Честно говоря, забавно!
Я поиском пробежался по данной теме в интернете, оказывается эта задачка всплывает и мусолится на разных околоматематических форумах периодически, с интервалом примерно в три года.
Навскидку, нашёл обсуждения 2002, конца 2004, 2008 и 2011 года...
И каждый раз возникают многостраничные споры...
"Может, что-то в консерватории подправить?!" (с) Жванецкий.

 
 
 
 Re: Второй ребёнок в теории вероятностей.
Сообщение05.08.2011, 15:20 
Аватара пользователя
Лукомор в сообщении #473651 писал(а):
И каждый раз возникают многостраничные споры...

Но, не всегда!
http://forum.teorver.ru/viewtopic.php?t ... sc&start=0

 
 
 
 Re: Второй ребёнок в теории вероятностей.
Сообщение05.08.2011, 15:52 
Аватара пользователя
Лукомор в сообщении #473637 писал(а):
Чтобы сделать это утверждение ещё более наглядным, переформулируем задачу от gris следующим образом:
"У одноклассницы двое детей Ксюша и Женя.
Какова вероятность, что Женя - девочка, а не мальчик?!"
Тут уже без вариантов, вероятность равна $P=\frac12$


Ну откуда же здесь $\frac12$ ?! Начнем: "У одноклассницы двое детей". Четыре элементарных исхода: ММ, МД, ДМ, ДД. Равновероятные.

Дополнительная информация: "Их зовут Ксюша и Женя". Для данной задачи это равносильно тому, что один ребенок - девочка. Остается три исхода. И вероятность оказывается $\frac13$.

 
 
 
 Re: Второй ребёнок в теории вероятностей.
Сообщение05.08.2011, 15:59 
Аватара пользователя
С задачей в первоначальой постановке всё ясно.
Неясности возникают тогда, когда вместо слов "один из детей мальчик" употребляются такие слова:
"одного из детей зовут Сергей"
"Миша вчера ходил в кино"
"мама приходила в магазин с белобрысым мальчиком, своим сыном"
то есть неявным указанием на то, что в семье по крайней мере один из детей — мальчик.

И вот тут вероятность того, что второй тоже мальчик меняется с $\dfrac13$ на $\dfrac12$, чему приводятся объяснения.

Хотелось бы для вероятности $\dfrac13$ получить хотя бы ещё одну формулировку условия.
Получается, что если мы хоть как-то идентифицируем мальчика — старшинством ли, цветом волос, именем и т.п., то вероятность для второго быть мальчиком становится $\dfrac12$.
Хотя порядок рождения однозначно разделяет детей, а вот цвет волос нет.

Вот ещё формулировка: "в семье двое детей. Среди них есть голубоглазый школьник с отвратительным характером, который вчера ходил в кино. Какова вероятность, что второй ребёнок мальчик?"

 
 
 
 Re: Второй ребёнок в теории вероятностей.
Сообщение05.08.2011, 16:09 
Аватара пользователя
gris в сообщении #473667 писал(а):
Неясности возникают тогда, когда вместо слов "один из детей мальчик" употребляются такие слова:
"одного из детей зовут Сергей"
"Миша вчера ходил в кино"
"мама приходила в магазин с белобрысым мальчиком, своим сыном"
то есть неявным указанием на то, что в семье по крайней мере один из детей — мальчик.

И вот тут вероятность того, что второй тоже мальчик меняется с $\dfrac13$ на $\dfrac12$, чему приводятся объяснения.


Нет, в этом случае вероятность не меняется, коль скоро вопрос по-прежнему относится к семье. Было объяснено, что если мы задаем вопрос относительно случайно взятого ребенка из семьи с двумя детьми, то тогда вероятность равна $\frac12$.

-- Пт авг 05, 2011 17:14:34 --

А для семьи вероятность станет равной $\frac12$ только если мы укажем пол+старшинство одного из детей, то есть точно идентифицируем, идет ли речь о старшем или младшем ребенке. А если старшинство не указано, а указан только пол (любым способом), то ответ тот же, потому что тогда для случая разнополых детей у нас была только одна возможность выбрать ребенка, пол которого мы указали, а для однополых - две возможности, и это компенсировало разность в количестве семей.

 
 
 
 Re: Второй ребёнок в теории вероятностей.
Сообщение05.08.2011, 17:40 
Аватара пользователя
PAV, то есть если некий мальчик говорит по телевизору: "Нас у мамы двое", то вероятность второго братика будет $\dfrac12$? Ведь мы не получили информации о его старшинстве? К сожалению, я не понял, что означают Ваши слова "то ответ тот же" :cry:
То ли $\dfrac12$, то ли $\dfrac13$

 
 
 
 Re: Второй ребёнок в теории вероятностей.
Сообщение05.08.2011, 17:44 
Аватара пользователя
gris в сообщении #473683 писал(а):
PAV, то есть если некий мальчик говорит по телевизору: "Нас у мамы двое", то вероятность второго братика будет $\dfrac12$? Ведь мы не получили информации о его старшинстве?


Да, $\frac12$, потому что здесь в качестве объекта генеральной совокупности выступает ребенок, а не семья.

-- Пт авг 05, 2011 18:44:58 --

PAV в сообщении #473670 писал(а):
А если старшинство не указано, а указан только пол (любым способом), то ответ тот же


"тот же" = $\frac13$

 
 
 [ Сообщений: 174 ]  На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group