Плоская метрика на гомологической сфере Пуанкаре

[epros]

alcoholist в сообщении #472624 писал(а):

Это только в римановом смысле... так что не увлекайтесь

Да я вроде не очень увлекаюсь - у нас же везде, кроме одной точки, была евклидова метрика.

alcoholist в сообщении #472624 писал(а):

А в произвольном метрическом пространстве и непонятно что такое угол -- непонятно даже между чем и чем угол)))

Хм. Касательно между чем и чем: Разве в произвольном метрическом пространстве не определим малый отрезок (а точнее - пара точек с малым расстоянием между ними)?

С углом, конечно, всё не так просто. Но, по моему, при наличии малого треугольника (для которого все длины сторон определены метрикой, которая предполагается непрерывной), углы можно определить по теореме косинусов. Конечно в таком определении есть некий произвол - с учётом того, что метрика может быть задана не квадратичной формой. Да и правило треугольника здесь сильно желательно (чтобы получились хоть сколько-нибудь осмысленные углы). Но чем не определение? Или нет?

Разумеется, формулу, связывающую сумму углов и площадь треугольника с соответствующей компонентой тензора Римана, мы получим только для Римановой метрики... Но я и не настаиваю ни на чём ином.

[Kallikanzarid]

Цитата:

Разве в произвольном метрическом пространстве не определим малый отрезок (а точнее - пара точек с малым расстоянием между ними)?

$$d(x, y) = \begin{cases}0, & x = y, \\ 100^{100}, & x \neq y.\end{cases}$$

Смотря, что называть малым :)

Цитата:

при наличии малого треугольника

А у нас уже появились треугольники?

Цитата:

Конечно в таком определении есть некий произвол - с учётом того, что метрика может быть задана не квадратичной формой.

Держите меня семеро Это я о том, что для понятия квадратичности у нас должно быть понятие линейности; проще говоря, вы можете ввести квадратичную форму только на векторном пространстве, а та же сфера им не является. Но, например, тор не имеет совместимой с обычной топологией структуры топологического векторного пространства, но на нем существует плоская риманова метрика.

Я ранее интересовался подобным вопросом у серьезных дядек с mathoverflow:
http://mathoverflow.net/questions/45154 ... y-a-metric

[epros]

Kallikanzarid в сообщении #472634 писал(а):

А у нас уже появились треугольники?

Три точки $\equiv$ треугольник. Грубо говоря.

Kallikanzarid в сообщении #472634 писал(а):

Это я о том, что для понятия квадратичности у нас должно быть понятие линейности; проще говоря, вы можете ввести квадратичную форму только на векторном пространстве, а та же сфера им не является

Разумеется это не векторное пространство. Однако ж пара близких точек - эквивалент вектора касательного пространства. Правда при наличии гладкости ... но не будем сильно заморачиваться.

[Kallikanzarid]

epros в сообщении #472638 писал(а):

Разумеется это не векторное пространство. Однако ж пара близких точек - эквивалент вектора касательного пространства. Правда при наличии гладкости ... но не будем сильно заморачиваться.

При наличии гладкости у вас есть и настоящие векторы касательного пространства, а вот при ее отсутствии заморачиваться как раз надо и очень серьезно :)

ЗЫ: я обновил свой предыдущий пост, добавил контрпример.

-- Вт авг 02, 2011 00:34:25 --

Цитата:

для которого все длины сторон определены метрикой, которая предполагается непрерывной

Можно доказать, что любая метрика непрерывна. Вы же вводите непрерывность с ее помощью

Цитата:

углы можно определить по теореме косинусов

В таком определении углов очень мало смысла, потому что легко можно получить ситуацию, когда угол между двумя кривыми определяется по-разному в зависимости от того, какие две точки на них выбрать для образования треугольника. А в другом контексте вы угол определить не можете.

[alcoholist]

epros в сообщении #472633 писал(а):

Хм. Касательно между чем и чем: Разве в произвольном метрическом пространстве не определим малый отрезок (а точнее - пара точек с малым расстоянием между ними)?

С углом, конечно, всё не так просто. Но, по моему, при наличии малого треугольника (для которого все длины сторон определены метрикой, которая предполагается непрерывной), углы можно определить по теореме косинусов. Конечно в таком определении есть некий произвол - с учётом того, что метрика может быть задана не квадратичной формой. Да и правило треугольника здесь сильно желательно (чтобы получились хоть сколько-нибудь осмысленные углы). Но чем не определение? Или нет?

Извините, бессмыслица:(
Пример. Нормированная плоскость... с такси-метрикой, например: ни углов, ни кривизны

[epros]

Kallikanzarid в сообщении #472634 писал(а):

Смотря, что называть малым :)

Меньше наперёд заданного положительного $\varepsilon$.

Kallikanzarid в сообщении #472639 писал(а):

а вот при ее отсутствии заморачиваться как раз надо и очень серьезно :)

А если всё же попробовать не заморачиваться, то что произойдёт?

Kallikanzarid в сообщении #472639 писал(а):

Можно доказать, что любая метрика непрерывна. Вы же вводите непрерывность с ее помощью

Это чтобы не было таких примеров, как Вы привели. Или я сказал что-то не то?

Kallikanzarid в сообщении #472639 писал(а):

В таком определении углов очень мало смысла, потому что легко можно получить ситуацию, когда угол между двумя кривыми определяется по-разному в зависимости от того, какие две точки на них выбрать для образования треугольника.

Каким же образом угол между пересекающимися гладкими кривыми может оказаться от чего-то зависимым, если точки брать достаточно близко к точке пересечения, а метрика такова, что $\lim\limits_{x \to x_0} d(x_0,x) = 0$, а не как у Вас в примере?

[alcoholist]

epros в сообщении #472633 писал(а):

Да я вроде не очень увлекаюсь - у нас же везде, кроме одной точки, была евклидова метрика.

ну, и одна ложка точка может все испортить

[epros]

alcoholist в сообщении #472644 писал(а):

Извините, бессмыслица:(
Пример. Нормированная плоскость... с такси-метрикой, например: ни углов, ни кривизны

Э-ээ, уточните пожалуйста. Это что-то вроде $d(A,B) = |x_A - x_B| + |y_A - y_B|$?

alcoholist в сообщении #472647 писал(а):

ну, и одна ложка точка может все испортить

Так мы ж через неё ничего не проводим. В чём проблема-то?

[Kallikanzarid]

epros в сообщении #472646 писал(а):

Меньше наперёд заданного положительного $\varepsilon$.

epros в сообщении #472646 писал(а):

А если всё же попробовать не заморачиваться, то что произойдёт?

См. мой пример.

epros в сообщении #472646 писал(а):

Это чтобы не было таких примеров, как Вы привели. Или я сказал что-то не то?

Приведенная мной метрика непрерывна в топологии, определенной ей самой :)

epros в сообщении #472646 писал(а):

если точки брать достаточно близко к точке пересечения

См. мой пример.

epros в сообщении #472648 писал(а):

Так мы ж через неё ничего не проводим. В чём проблема-то?

Поставлена задача: можно ли продолжить евклидову метрику на эту точку? Доказано - невозможно. Никаких проблем :)))

alcoholist в сообщении #472644 писал(а):

Пример. Нормированная плоскость... с такси-метрикой, например: ни углов, ни кривизны

Та самая, которая эквивалентна евклидовой? Или вы что-то хитрое подразумеваете?

[epros]

Kallikanzarid в сообщении #472652 писал(а):

Приведенная мной метрика непрерывна в топологии, определенной ей самой :)

У нас топология определена тем условием, что наше пространство гомеоморфно $S^2$. И вообще, обычно сначала есть некая топология (например, определены некоторые координаты, в терминах которых уже можно вводить понятие сколь угодно малой окрестности и т.п.), а уж потом на всём этом мы определяем метрику. По крайней мере, я говорил именно о такой задаче. Вспомним, что начали мы именно со сферы. Выкололи и унесли отдельную точку уже потом.

P.S. Я понимаю, что Ваша метрика "непрерывна в топологии, определенной ей самой". Однако в ней просто нет таких $y \ne x$, которые бы лежали к $x$ ближе, чем, например, $\varepsilon=1$.

[Kallikanzarid]

epros в сообщении #472655 писал(а):

У нас топология определена тем условием, что наше пространство гомеоморфно $S^2$. ... По крайней мере, я говорил именно о такой задаче.

На 4й странице есть мое решение - вас оно устраивает?

[alcoholist]

Kallikanzarid в сообщении #472652 писал(а):

Та самая, которая эквивалентна евклидовой? Или вы что-то хитрое подразумеваете?

она индуцирует ту же топологию, что и евклидова метрика... только ни кривизны, ни углов, увы:(

[Kallikanzarid]

alcoholist в сообщении #472665 писал(а):

она индуцирует ту же топологию, что и евклидова метрика... только ни кривизны, ни углов, увы:(

В смысле, она не индуцируется никакой римановой метрикой на плоскости?

(Оффтоп)

А что там с моим доказательством-то?

[alcoholist]

epros в сообщении #472648 писал(а):

Э-ээ, уточните пожалуйста. Это что-то вроде $d(A,B) = |x_A - x_B| + |y_A - y_B|$?

да

-- Пн авг 01, 2011 21:54:57 --

Kallikanzarid в сообщении #472667 писал(а):

В смысле, она не индуцируется никакой римановой метрикой на плоскости?

кто не индуцируется?

[Kallikanzarid]

alcoholist в сообщении #472669 писал(а):

кто не индуцируется?

Такси-метрика. Не существует римановой метрики такой, что порожденная ей метрика совпадает с такси-метрикой - вы это имели ввиду?