Второй ребёнок в теории вероятностей.

[venco]

Mihajlo в сообщении #472520 писал(а):

"Я спокоен, я абсолютно спокоен!"
Итак, ещё раз с самого начала.
Текст спорной задачи:
У Сидорова двое детей. Точно известно, что один из них мальчик. Какова вероятность, что у Сидорова оба мальчики?
Договоримся: следующее предложение обозначим буквой Z:
Здесь есть ошибка?
Всего два допустимых случая: Z
Случай 1. Ребёнок, о котором точно известно, что это мальчик, является первым у Сидорова. Z
Тогда вторым ребёнком может быть М или Д. Z
Случай 2. Ребёнок, о котором точно известно, что это мальчик, является вторым у Сидорова. Z
Тогда первым ребёнком может быть М или Д. Z
1) Вероятность того, что в случае 1 будут оба М, = 1/2. Z
2) Вероятность того, что в случае 2 будут оба М, = 1/2. Z
Т.е. имеет место точно либо 1) либо 2). Z
Третий (иной) случай быть не может. Z
Суммируя 1) и 2) выходим на 1/2. Z
Вопрос: в какой точке сего логического построения произошёл съезд с пути истинного?

Вот здесь:

Цитата:

1) Вероятность того, что в случае 1 будут оба М, = 1/2. Z
2) Вероятность того, что в случае 2 будут оба М, = 1/2. Z

Почему вы решили, что вероятности = 1/2?

[Mihajlo]

venco в сообщении #472636 писал(а):

Вот здесь:
Цитата:
1) Вероятность того, что в случае 1 будут оба М, = 1/2. Z
2) Вероятность того, что в случае 2 будут оба М, = 1/2. Z
Почему вы решили, что вероятности = 1/2?

Это интересное замечание. Может быть действительно ошибка здесь? Послушайте, как я рассуждаю.
Один ребёнок точно мальчик. И всё теперь зависит от пола другого ребёнка, вероятность того, что он (другой ребёнок) М = 1/2. Что здесь не так?

[venco]

Mihajlo в сообщении #472642 писал(а):

venco в сообщении #472636 писал(а):

Вот здесь:
Цитата:
1) Вероятность того, что в случае 1 будут оба М, = 1/2. Z
2) Вероятность того, что в случае 2 будут оба М, = 1/2. Z
Почему вы решили, что вероятности = 1/2?

Это интересное замечание. Может быть действительно ошибка здесь? Послушайте, как я рассуждаю.
Один ребёнок точно мальчик. И всё теперь зависит от пола другого ребёнка, вероятность того, что он (другой ребёнок) М = 1/2. Что здесь не так?

Априорно равная вероятность у 4-х вариантов ММ, МД, ДМ, ДД. После того, как вам сообщили, что мальчик точно есть, остались 3 равновероятных варианта: ММ, МД, ДМ. Теперь вы хотите разбить ситуацию на два случая - старший или младший этот мальчик. В случае МД и ДМ нам могли сказать о мальчике без выбора. В случае ММ могли сказать как о младшем, так и о старшем, причём нам неизвестно с какой вероятностью. Пусть в этом случае с вероятностью $p$ этот мальчик - младший. Итого, в вашем случае 1) объединены исходные МД и ММ (с вероятностью $p$), а в вашем случае 2) объединены ДМ и ММ (с вероятностью $1-p$).
Соответственно, вероятность второго ребёнка - мальчика равна $\frac p{1+p}$ в случае 1) и $\frac {1-p}{2-p}$ в случае 2).
Теперь осталось объединить эти вероятности с учётом того, что вероятность случая 1) $\frac {1+p}3$, а случая 2) $\frac {2-p} 3$, и получится опять же $\frac 1 3$.

[Лукомор]

Mihajlo в сообщении #472635 писал(а):

Я же очень просил не рассматривать другие, быть может вполне правильные, решения. Давайте плясать не от девочки, положение которой по условию не ясно, а от мальчика, который точно есть. И точно есть другой ребёнок. Вероятность, что он М = 1/2.

Я всё понял!
У Вас нет ошибки, Вы просто решаете другую задачу!
Вы всё правильно решили.
Действительно, у каждого мальчика в каждой семье с двумя детьми с вероятностью 1/2 есть брат, и с вероятностью 1/2 есть сестра.
Это правильный ответ на вопрос "Какова вероятность, что у мальчика есть брат?"!!!.
В исходной же задаче, которую Вы не смогли решить, спрашивается , буквально,
"Какова вероятность того, что у родителей ровно два сына, если один из них (любой) -мальчик?".
Эта вероятность равна 1/3.
Поскольку решение этой задачи Вы просите не рассматривать, обсуждать более нечего...

[gris]

А я всё о своём: вы получили письмо от одноклассницы: "А у меня двое детей. Ксюша уже в десятый перешла". Если вы до сих пор ничего не слышали о семейной жизни упомянутой однокласницы, то можете ли оценить вероятность того, что у Ксюши есть братик?

[venco]

gris в сообщении #472759 писал(а):

"Ксюша уже в десятый перешла"

Такой фразой скорее о старшем ребёнке говорят.

[Лукомор]

gris в сообщении #472759 писал(а):

можете ли оценить вероятность того, что у Ксюши есть братик

У Ксюши есть братик $P=\frac12$
У Ксюши есть сестра $P=\frac12$

[PAV]

Лукомор в сообщении #473058 писал(а):

gris в сообщении #472759 писал(а):

можете ли оценить вероятность того, что у Ксюши есть братик

У Ксюши есть братик $P=\frac12$
У Ксюши есть сестра $P=\frac12$

Вы же сами противоречите тому, что отстаивали до того. Если нет информации о том, что Ксюша - старший или младший ребенок, то ответ будет $\frac23$

-- Ср авг 03, 2011 10:32:38 --

venco в сообщении #472823 писал(а):

gris в сообщении #472759 писал(а):

"Ксюша уже в десятый перешла"

Такой фразой скорее о старшем ребёнке говорят.

Не соглашусь. Может быть и старший, и младший. Тут скорее роль играет возраст одноклассницы, по нему можно-таки сделать осмысленное предположение о возможном возрасте детей.

[Лукомор]

PAV в сообщении #473073 писал(а):

Вы же сами противоречите тому, что отстаивали до того. Если нет информации о том, что Ксюша - старший или младший ребенок, то ответ будет 2/3

Ничему я не противоречу...
Спросите у любой Ксюши есть ли у неё братик или сестрёнка, и с вероятностью 1/2 она ответит - есть братик, с вероятностью 1/2 - есть сестрёнка.
Потому что пол и старшинство второго ребёнка от наличия или отсутствия Ксюши никак не зависят. Спросите у Ксюшиной мамы, две у неё дочки или сын и дочка, и с вероятностью 1/3 услышите, что у неё две дочки, а с вероятностью 2/3 - дочка и сын.

[Mihajlo]

Лукомор в сообщении #472731 писал(а):

у каждого мальчика в каждой семье с двумя детьми с вероятностью 1/2 есть брат, и с вероятностью 1/2 есть сестра.

Помогите установить разницу приведенного суждения от ниже следующего:
В каждой семье с двумя детьми, если один из них мальчик, то другой ребёнок есть М или Д (каждый с вероятностью 1/2). Никак 1/3 не получается.

[Lukin]

Разногласие кроется в следующем.
В условии указан пол и не указано старшинство ребенка.
Предположим, старшинство в условии неважно, значит и в ответе речь должна идти только о поле второго ребенка, независимо от его старшинства. Вероятность, конечно, $\frac{1}{2}$
Теперь предположим, что старшинство в условии важно, тогда и в ответе оно должно быть важно, независимо от пола второго ребенка, т.е. пространство будет таким: $\{MM_1,MD,DM,M_1M\}$, где $M$ - мальчик о котором речь идет в условии. Вероятность, конечно, $\frac{1}{2}$

Ну и вариант Лукомора.
Предположим, старшинство в условии неважно, а в ответе либо важно, либо нет (в зависимости от пола второго ребенка). Так, если второй ребенок девочка, то важно, является ли мальчик в условии старшим или младшим (пространство $\{MD,DM\}$), а если второй ребенок – мальчик, то это, вроде как, и неважно (пространство $\{MM\}$). Общий ответ получается объединением этих пространств $\{MD,DM,MM\}$.

Лукомор тяготеет к асимметрии требований к условию и к ответу, а Mihajlo к симметрии.

[Лукомор]

Mihajlo в сообщении #473291 писал(а):

Лукомор в сообщении #472731 писал(а):
у каждого мальчика в каждой семье с двумя детьми с вероятностью 1/2 есть брат, и с вероятностью 1/2 есть сестра.

Помогите установить разницу приведенного суждения от ниже следующего:
В каждой семье с двумя детьми, если один из них мальчик, то другой ребёнок есть М или Д (каждый с вероятностью 1/2).

Никакой разницы! Это правильное утверждение.

Mihajlo в сообщении #473291 писал(а):

Никак 1/3 не получается.

Это неправильное утверждение.
Всё получается!
Семей, в которых два мальчика - 1/3.
Семей, в которых мальчик и девочка - 2/3.
Вот смотрите:
Три разных семьи.
В одной два мальчика.
В другой ст. мальчик и мл. девочка.
В третьей ст. девочка и мл. мальчик.
Сколько всего детей в трёх семьях?
Правильный ответ - шесть детей.
Четыре мальчика и две девочки.
При этом:
У двух мальчиков есть сестра.
У двух мальчиков есть брат.
Таким образом, вероятность того, что у одного любого мальчика есть брат равна 1/2.
Но!!! Два мальчика, у которых есть сестра - они из двух разных семей.
А два мальчика, у которых есть брат - это два родных брата!!!
Они из одной семьи.
Теперь о девочках.
У каждой из двух девочек есть брат, и ни у одной девочки нет сестры!!!
С вероятностью 100% у каждой из девочек есть брат!.
Привожу два правильных варианта решения.
1.
Можно считать по семьям:
Три семьи - в одной семье два мальчика.
В двух семьях - мальчик и девочка.
Вероятность - одна треть.
2.
Можно ( хотя и не нужно) считать по детям.
Шесть детей.
У двух мальчиков есть брат.
У двух мальчиков есть сестра.
У двух девочек есть брат.
Вероятность - две шестых или одна треть.
3.
Нельзя считать только по мальчикам.
Четыре мальчика.
У двух мальчиков братья, у двух мальчиков -сёстры.
Вероятность - одна вторая. Это неверно!!!
Здесь мы, либо по первому варианту дважды посчитали семью братьев Сидоровых (у Сидорова Паши есть брат Саша, это одна семья; у Сидорова Саши есть брат Паша - это другая семья). Так считать нельзя, потому что у Паши и Саши одна Сидорова мама!!!
Либо мы не посчитали по второму варианту девочкиных братьев.
Мальчиков у которых есть брат - посчитали.
Мальчиков у которых есть сестра - посчитали.
А мальчиков, которые братья двух девочек - их то мы не посчитали!!!
Вот и получилась двойная итальянская бухгалтерия.
Хоть так понятно?!

-- Чт авг 04, 2011 07:32:18 --

Lukin в сообщении #473328 писал(а):

Лукомор тяготеет к асимметрии требований к условию и к ответу

Лукомор тяготеет к истине!
Вы рассмотрели три разных задачи и получили три правильных ответа.
Исходная задача, об которую споткнулся Mihajlo, одна из этих трёх.
Правильный ответ к этой задаче - 1/3.
gris предложил другую задачу с другим условием и другим вероятностным пространством.
Правильный ответ к его задаче - 1/2.

[Mihajlo]

Лукомор в сообщении #473365 писал(а):

Хоть так понятно?!

Так понятно. И раньше было понятно, когда рассматривалось одновременно несколько семей. Но: где ошибка в моём варианте суждений? Близится сентябрь, будет встреча с моим учеником. Я ему что? Неужели приводить другой вариант решения? Если у задачи есть два варианта решения с разными результатами, а результат верным должен быть только один, то очевидно, что, как минимум, один вариант решения является ошибочным. Как это доказать?

[Lukin]

Mihajlo в сообщении #473463 писал(а):

Так понятно. И раньше было понятно, когда рассматривалось одновременно несколько семей. Но: где ошибка в моём варианте суждений? Близится сентябрь, будет встреча с моим учеником. Я ему что? Неужели приводить другой вариант решения? Если у задачи есть два варианта решения с разными результатами, а результат верным должен быть только один, то очевидно, что, как минимум, один вариант решения является ошибочным. Как это доказать?

Если у задачи два варианта решения и оба правильные, значит условия сформулированы не категорично, не полно, позволяют несколько интерпретаций, моделей, а значит нет и ошибочного решения (параллельные пересекаются ?). Доказать ошибочность того или иного решения нельзя (если вывод верен из данных посылок), можно лишь доказать ошибочной той или иной интерпретации.
А вообще, интересно было бы как-то "формализовать". Например, $m$ -предикат "быть мальчиком", $a,\neg a$ - объектные переменные, $P(x)$ - вероятность события $x$.
$ ((P(m(a) \land m(\neg a)) < (P(m(a) \land \neg m(\neg a))) \to m(a)$ (случай $\frac{1}{3}$)
Т.е. вероятность того, что заданным свойством обладает и этот и противоположный объект, меньше, вероятности того, что заданным свойством обладает этот объект, а противоположный объект обладает противоположным свойством.

[Mihajlo]

Lukin в сообщении #473486 писал(а):

Если у задачи два варианта решения и оба правильные, значит условия сформулированы не категорично, не полно,...

Повторю условие задачи, которое сформулировано категорично и полно:
У Сидорова двое детей. Точно известно, что один из них мальчик. Какова вероятность, что у Сидорова оба мальчики?
Ответ правильный 1/3. Его экспериментально на аналоге задачи о монетах проверил один из форумчан. Следовательно, в моём варианте решения (=1/2) допущена ошибка. Её, родимую, и нужно найти.

Lukin в сообщении #473486 писал(а):

А вообще, интересно было бы как-то "формализовать". Например, $m$ -предикат "быть мальчиком", $a,\neg a$ - объектные переменные, $P(x)$ - вероятность события $x$.
$ ((P(m(a) \land m(\neg a)) < (P(m(a) \land \neg m(\neg a))) \to m(a)$ (случай $\frac{1}{3}$)

Вы что, действительно хотите, чтобы я эту ахинею рассказал своему ученику?